2023年高考数学一轮复习新课标版 题组专题层级快练 41-50.pdf
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1、专题层级快练(四十一)一、单项选择题1.(2022天津耀华中学模拟)已知等差数列斯的各项均为正数,6=1,且所的+|,a n 成等比数列.若pq=10,则他一的=()A.14 B.15C.16 D.17答案B解析 设等差数列飙的公差为d,由题意分析知办0,因为。3,。4+|,内成等比数列,所以伍+耳即+3,=(1+2办(1+10孙 即 44d2 36d45=0,所以(d=一!|舍去)所以 诙=町/所以|(pr)=15.2.(2022江苏海安中学调研)有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三 十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一 天的2倍
2、,第一天屠了 5两肉,共屠了 30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该 屠夫前5天所屠肉的总两数为()A.35 B.75C.155 D.315答案C解析由题意可得该屠夫每天屠的肉的重量成等比数列,记首项为.,公比为4,前项和 为Sn,所以。1=5,4=2,所以前5天所屠肉的总两数为S 5=I:二=5*=155.故选C.3.数列诙的前项和为S”.若点(小S)在函数yu)=/+2x的图象上,则政021=()A.2 021 B.4 041C.4 042 D.4 043答案D解析因为点(八,S)在函数段)=/十2%的图象上,所以S”=4+2乩当八=1时,i=S i=3,当时,a,(=5-5M-i
3、=n2+2n-(n-l)2+2(n-l)=2n+l,又0=3符合上式,所以为=2+1.所以 42 021=2x 2 021+1=4 043.故选 D.4.4知为,瓦均为等差数列,且42=8,46=16,4=4,4=恁,则由为,瓦的公 共项组成的新数列金的通项公式Cn=()A.3n+4 B.6n+2C.6n+4D.2n+2答案C 解析 设斯的公差为4,九的公差为d2,期一。2 8 c,%一 12 则=2,42=不工=彳=3.,.ana2(n2)x 2=2+4,bnb2(n2)x 3=3-2.数列%为 6,8,10,12,14,16,18,20,22,数列为为 1,4,7,10,13,16,19,
4、22,品是以10为首项,以6为公差的等差数列.二.cn10+(-l)x 6=6+4.5.(2021江西七校联考)在正项数列念中,0=2,且点PQna”,ln斯+l)5N*)在直线%y+ln2=0上.若数列为的前八项和S”满足S200,则的最小值为()A.2 B.5C.6 D.7答案D解析 将点P的坐标(In a”,lnG+i)S N*)代入y+ln2=0中,可得a+i=2a,所以62(1 2)是首项为2,公比为2的等比数列,S=2仆1-2,令S200,则2十202,所1 2以”的最小值为7.6.谢尔宾斯基三角形(S ierpinski t ria ng le)是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基
5、在1915年提 出.其构造方法是:(1)取一个实心的等边三角形(图1);(2)沿三边中点的连线,将它分成四个小三角形;(3)挖去中间的那一个小三角形(图2);(4)对其余三个小三角形重复(1)(2)(4)(图3).制作出来的图形如图4,.图1 图2 图3 图4若图1的面积为1,则图4阴影部分的面积为()A岛B.1C27 D&。64 U-Z1答案C解析 设图1的面积为因为图2被挖去的面积占图1面积的点 则图2阴影部分的面积 为%,同理图3被挖去的面积占图2面积的点所以图3阴影部分的面积为)7,按此规律,图1、图2、图3、阴影部分的面积组成等比数列:a,l a,僚,(孤,公比为京77由已知图1的面
6、积为1,则图4阴影部分的面积为荒,选C.二、多项选择题7.已知数列斯中,ai=l,他=2,且V1,nN*,其前项和满足S+i+ST=2(S“+1),贝(1()A.。7=13 B.。8=14C.S 7=43 D.8=64答案BC解析 由S+i+S LinZlS n+l),得斯+1斯=2(22).因为政-41=1,所以为从第二项 起为等差数列,且公差d=2.故47=02+54=2+5x 2=12,。8=。2+6=14,所以A错误,B正确;Si=a-6X(奥+劭),6X(2+12),1+-2-=43,$8=a i T7X(”2+。8)221+7X-(早一=57,所以C正确,D错误.故选BC8.(20
7、22沧衡八校联盟)一个弹性小球从100 m高处自由落下,每次着地后又跳回原来高度2的方再落下.设它第n次着地时,经过的总路程记为S“,则当时,下列说法正确的是()A.5500C.S”的最小值为苧B.S S 400D.S”的最大值为400答案AC解析本题考查利用等比数列解决实际问题.第一次着地时,共经过了 100m,第二次着地 时,共经过了(100+100X,X2)m,第三次着地时,共经过了-2 2A2 I 2100+100X-X2+100X(jj X2j m,以此类推,第次着地时,共经过了 100+100丐400T _住22 1-V31-3X2+100 x(jj X2+-+100 x X2 m
8、.所以 S=100+-弓100+4Oo l(|,则S”是关于的增函数,所以当 22时,S”的最小值为S 2,且$2=挚.又 5m=1OO+4Oo1-(jJ 1 0),则q+3+3d=ll,6十,解得d=2,9=2.所以斯=2八一1,bn=2nx.,2n 1(2)由(1)得金=亍厂当n=l时,Ti=l;当”22时,3 5 23 2n-=1+米+.+*+册,2-3T2n-l-.2,2,2,.2 2n 1(1、2n1 2n+3一,传郎=1+驻+,-1 bFT-=1+2(1-2,厂1 卜=3,所以=6一等言(八22).又”=1时,7=1也符合.综上所述,=6今草.13.(2022重庆一中模拟)已知S”
9、是数列斯的前几项和,且m=1,斯+12斯=3.(1)证明数歹U斯+3是等比数列,并求数列为的通项;(2)是否存在整数匕使得&2 021?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.答案(1)证明见解析外=2+】一3(2)见解析解析(1)证明:由斯+i2。”=3,得。”+3=2(即+3),即;+;3=2.又=1,故数歹1。+3是以4为首项,2为公比的等比数列,所以斯+3=42-1=2+1,所以 an=2n+i3.4(12”)(2)由(1)得 Sn=一3八=2#2-3八一4,又当 时,S-5w-i=2,+2-3n-4-2n+1+3(n-l)+4=2n+1-30,S 9=2-3x 9-4=2 048
10、-27-4=2 0172 021,故存在整数%满足条件,%的最小值为10.圄|重点班选做题,14.在“全面脱贫”行动中,贫困户小王2021年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元,用于农产品、土特产品加工厂的原材料进货,因产品质优价廉,上市后供不应求,据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月底缴房租800元和水电费400元,余款作 为资金全部用于再进货,如此继续,预计2021年小王的农产品加工厂的年利润为(取1.2=7.4,1212=9)()A.25 000 元 B.26 000 元C.31 520 元 D.36 000 元答案C解析1月月底小王手中现款为(1+20%)x100
11、00-800400=10800(元),设月月底小王手中现款为an,n+月月底小王手中现款为an+i,则 斯+1=1.2即一1 200,即 为+i 6 000=1.2(即一6 000),所以数列斯-6 000是首项为4 800,公比为1.2的等比数列,故 a i2-6 000=4 800 x 1.2,即02=4 800 x 1.2“+6 000=41 520,所以年利润为41 52010 000=31 520元.故选C.15.(2021全国乙卷,文)设%是首项为1的等比数列,数列为满足儿=等.已知内,3a2,9的成等差数列.(1)求许和与的通项公式;(2)记S”和分别为诙和丛的前项和.证明:Tn
12、.答案 斯=(;)-1,bn=/(2)略解析(1)设等比数列知的公比为q(qWO),则以=夕一.又因为3。2,9。3成等差数列,所以2x 342=41+943,即6q=l+9/,解得所以,n bn-,(2)证明:由(1)得一=3_ 3厂2 3乙=g+号H-1-令,1 1,2,3 一32+3 nl,n3 3+i,一可得x(1 1-2=1 J_ 1 _“_3入-J 3“_1_ “3,“一3十32十十十3-3+-1 3“+-2 3“+1-2-2.3“3+”3 所以Tn=3 _ n _3_2n+3 4 3n-2 3n=4-4-3w 2+3 3 2n.匕 2+3 3 尔因为干尸一了:手=丁丁,所以木厂可
13、,所以2八+3 34-3-4 3,p3 所吟2+3 3-43 434 3”,即3A8C=a S zA8C,高度为2t Z,3 Sabc 2g 3贝U 8c 2a,:.h=-=5。4 34ABe 215.(2022上海徐汇中学模拟)用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥,放 在水平桌面上,被一阵风吹倒,如图所示,则被吹倒后该无底圆锥的最高点到桌面的距离为答案5小cm解析 设圆锥的底面半径为广,母线长为1.根据题意知/=10 cm,且故r=5 cm.所以圆锥的轴截面为等边三角形,且边长为10cm.故被吹倒后该无底圆锥的最高点到桌面的距离为边长为10 cm的等边三角形的高,此高为5小
14、cm.g|重点班选做题16.(2022高考调研原创题)如图1所示,已知正方体的面对角线长为m沿阴影面将正方体切割成两块,拼成如图2所示的几何体,答案(2+也)/解析 由已知得正方体的棱长为半。,则正方体的表面积为3。2,新几何体的表面积比原来 多了两个阴影部分的面积,少了正方体两个面的面积,故所求几何体的表面积为3a 2+2x乎/2x a2=(2+也)/.17.(2019课标全国山)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为 长方体A3CO挖去四棱锥。一ENGH后得到的几何体,其中。为长方体的中心,E,F,G,”分别为所在棱的中点,AB=BC=6 c m,A4i=4 cm.3
15、D打印所用原料密度为0.9 g/cnP.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.答案118.8解析 由题易得长方体ABCO-A/iGDi的体积为6x 6x 4=144(cm3),四边形EFG”为平行 四边形,如图所示,连接GE,HF,易知四边形EFG”的面积为矩形3CG3面积的一半,即日X6X4=12!?),所以V四棱锥o-gh=9r,所以 r=2,因为2r=43,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积最大,所以最大球的直3 4 9兀径2R=3,贝1J R=5,此时球的体积RS:-.故选b.10.(2022.湖南衡阳八中月考)如图,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=巾
16、,BDLCD,将其沿对角线80折成四面体A BCD,使平面A 8D_L平面BCD若四面体ABCD的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为()A.3冗C.4n答案A解析本题考查四面体外接球的表面积.设的中点是E,连接OE,X E,过点4作A于点。,连接OE,如图.VA7)=1,BD=巾,由勾股定理得 BA,D,:.A O=孚.平面 A 80_L平面 BCD,且平面 A BOG 平面 BCD=BO,A OU平面 A BD,A O LBD,:.A O_L平面 38,.A,OA.OE.,:OE=CD=,:.A石=出。2+。2=坐A又:台。,。,即三角形BCD为直角三角形,:.BE=CE=DE=A E,即
17、石为四面体 A BCD的外接球球心,该球的表面积5=4 n=3n.故选A.二 填空题11.(2017课标全国II)长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球。的球面上,则 球O的表面积为.答案14 JI解析 设长方体的外接球半径为七 则2/?=严”乔=如,所以球0的表面积S=4n 尺2=ji(2R)2=14ji.12.已知三棱锥P-DEF的各顶点都在球面上,PDLED,所_1_平面PDE,DE=4,EF=3.若该球的体积为12要H,则三棱锥P-DEF的表面积为.答案27解析本题考查三棱锥及其外接球的有关计算.如图所示,因为瓦LL平面PDE,所以EFA.DE,EFLPE,EF1DP.因为
18、PDLED,EFQDE=E,所以 EDJ_ 平面 DEF,所以 PDJ_)尸.设尸尸的中点为0,则尸0=0/=00=0E,所以。为三棱锥PDEF外接球的球心,设球 的半径为匚由题知解得厂=雪所以尸方=.在 Rt a DEF 中,DE=4,EF=3,所以 DF DE2+EF2=5.在 Rt APDF 中,PD=7pF?DF?=3.在 Rt APDE 中,PE=d2+DE2=5.所以三棱锥 PDEF 的表面积为 Sadef+5apde+5apef=tX3X4+zX3X4+zX3X 乙 乙 乙5+|x 3X5=27.13.(2021八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底
19、面半 径分别为4和5,则该圆台的体积为.答案61n解析 方法一:.球的直径为10,半径为5,而圆台的下底面半径为5,.如图将圆台补为圆锥石。2,02c=5.020=402c2-01。2=3Y 4设 01=%,则-=、,=12.Ji I J J二.V 圆锥 0i=;X16n X 12=64 北,V 圆锥 EO2=p25n 义 15=125 n./.V 圆台=125 Ji 64 n=61 n.方法二:依题意可知圆台的下底面为球的大圆,作球的轴截面如图所示,则圆台的高为/=/5242=3,故体积为 V=|x n X3X(52+42+5x 4)=61 Ji.14.(2022浙江台州高三月考)半球内有一
20、个内接正方体,若正方体的棱长为小,则这个半 球的体积为.答案18 n解析方法一:过正方体的对角面A4CC作截面如图所示,设半球的半径为R,半球球心 为O,因为正方体的棱长为加,所以CG=加,o c=乎A O C在Rt ZiGC。中,由勾股定理,得CC12+OC2=OC2,即(、同+(、份)2=r2,所以r=3.故V2,半球=Q兀夫=18 H.方法二:将其补成球和内接长方体,原正方体的棱长为黄,则(2/?)2=6+6+(2班)2,所以R2=3.故 V半球=冗&=i8 ji.圄|重点班选做题,15.【多选题】(2022青岛市高三质量检测)在南方不少地区,经常看到人们头上戴一种用木 片、竹蔑或苇蒿等
21、材料制作的斗笠,用来遮阳或避雨,随着旅游和文化交流活动的开展,斗 笠也逐渐成为一种时尚旅游产品,有一种外形为圆锥形的斗笠,称为“灯罩斗笠”,根据人 的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用,不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母 线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量.现有一个“灯罩斗笠”(如图),帽坡长为 20厘米,帽底宽2帅厘米,关于此斗笠,下面说法正确的是()A.斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120B.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为10即平方厘米C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一球上,则该球的表面积为1 600 口平方厘米D.此
22、斗笠放在平面上,可以盖住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为(2S 一30)厘米答案 ACD解析 斗笠的轴截面如图所示,由题意可知S B=20,AB=2()V,设。为AB的中点,连接SO,则 sinNOS B=?f=峥p=坐,所以NOS B=60,贝|NAS B=120,所以选项 A 正 o D ZU Z确;当截面三角形过斗笠顶点和斗笠侧面上两条互相垂直的母线时,截面三角形的面积最大,且 最大值为:X2()2=200(平方厘米),所以选项B错误;若此斗笠的顶点和底面圆上所有点都在同一个球上,则该球为外接球,设此球的半径为R,球心为01,则01到S,A,8的距离相等,01在S O的延长线上,作出点
23、01,连接49”因为此斗笠的高h=SO=y202-(10V3)2=10,所以OOi=R-10,在AOOi中有肥=(尺-10)2+(10/3)2,解得R=20,则该球的表面积S=4n/?2=i 600%(平方厘米),所以选项C 正确;将此斗笠放在平面上,可以盖住的球的半径最大,则此时球为圆锥的内切球,设内切球的半 径为广,即轴截面三角形的内切圆的半径为r,所以a S AB的面积S a s48=J(20+20+26/5)r=1x 20V3X10,解得/=26。一30(厘米),所以选项D正确.故选ACD.16.(2022湖北武汉适应性测试)已知一圆锥底面圆的直径为3,圆锥的高为芈,在该圆锥 内放置一
24、个棱长为。的正四面体,并且正四面体在该几何体内可以任意转动,则。的最大值 为()A.3 B.y2C.|(小一的 D.羊答案B 解析 依题意,正四面体可以在圆锥内任意转动,故该正四面体最大时内接于圆锥的内切球.设内切球球心为P,半径为r,圆锥底面圆半径为凡 圆锥及其内切球的轴截面如图所示,S 为圆锥顶点,。为底面圆圆心,连接S。贝!Q4=0B=|,因为 S 0=,所以 SA=SB=yl S02-0B2=3,所以S AB为等边三角形,故P是a S AB的中心.连接3P,则3P平分NS B4,所以NP3O=30。,所以t a n 30。=看,即r=坐我=坐X,=当,即正四面体的外接球的半径=坐.又正
25、四面体可以从正方体中截得,如图,正四面体A13OG可由正方体ABCD-AiBGDi截 得,则可知,当正四面体4BDC的棱长为a时,正方体ABCOA/iGDi的棱长为乎a而正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球,所以2r=*X察=够=小,所以a=也.即。的最大值为也.17.(2022沧州联考)某中学开展劳动实习,学习加工制作模具,有一个模具的毛坯直观图如 图所示,是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体,其中圆柱体的底面半径为1,高为 2,半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间,该中空的圆柱形空间 的上、下底面与毛坯的圆柱体底面平行,挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成,则
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