高中三角函数典型例题(教用).doc

【典型例题】：
1、已知，求的值．
解：因为，又，
联立得
解这个方程组得
2、求的值。
解：原式

3、若，求的值．
解：法一：因为
所以
得到，又，联立方程组，解得

所以
法二：因为
所以，
所以，所以，
所以有
4、 求证：。

5、求函数在区间上的值域。
解：因为，所以，由正弦函数的图象，得到
，所以

6、求下列函数的值域．
（1）； （2）)
解：（1）
=
令，则
利用二次函数的图象得到
(2)
=
令，则
则利用二次函数的图象得到
7、若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式。
解：由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以
又由，得到可以取
8、已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若求f(x)的最大值、最小值．数的值域．
解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x

所以最小正周期为π．
(Ⅱ)若，则，所以当x=0时，f(x)取最大值为当时，f(x)取最小值为
9、已知，求（1）；（2）的值.
解：（1）；
(2)
.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过
程简化。
10、求函数的值域。
解：设，则原函数可化为
，因为，所以
当时，，当时，，
所以，函数的值域为。
11、已知函数；（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数的图像关于直线对称。
解：

(1)所以的最小正周期，因为，
所以，当，即时，最大值为；
(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，
因为，
，
所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

12 、已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。
综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。