广西玉林市陆川县2022-2023学年高一数学第一学期期末检测试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．为了鼓励大家节约用水，遵义市实行了阶梯水价制度，下表是年遵义市每户的综合用水单价与户年用水量的关系表．假设居住在遵义市的艾世宗一家年共缴纳的水费为元，则艾世宗一家年共用水（）
分档
户年用水量
综合用水单价/（元）
第一阶梯
（含）

第二阶梯
（含）

第三阶梯
以上

A. B.
C. D.
2．已知函数（其中）的图象如下图所示，则的图象是（ ）

A. B.
C. D.
3．已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.2
4．命题P：“，”的否定为　　
A.， B.，
C.， D.，
5．设，则的大小关系（）
A. B.
C. D.
6．表示不超过实数的最大整数，是方程的根，则（ ）
A. B.
C. D.
7．已知 是定义在上的奇函数，且当时，，那么
A. B.
C. D.
8．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学研究表明，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏M震级之间的关系为.已知两次地震的能量与里氏震级分别为与，若，则（）
A. B.3
C. D.
9．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B.
C. D.
10．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
11．若、是全集真子集，则下列四个命题①；②；③；④中与命题等价的有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
12．一个球的表面积是，那么这个球的体积为
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知函数，关于方程有四个不同的实数解，则的取值范围为__________
14．对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点关联函数”．若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
15．函数的定义域为D，给出下列两个条件：
①对于任意，当时，总有；
②在定义域内不是单调函数.
请写出一个同时满足条件①②的函数，则______________.
16．_________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并
18．已知，且在第三象限，
（1）和
（2）.
19．已知函数是定义在R上的奇函数
（1）用定义法证明为增函数；
（2）对任意，都有恒成立，求实数k的取值范围
20．设函数的定义域为A，集合.
（1）；
（2）若集合是的子集，求实数a的取值范围.
21．已知函数的一系列对应值如下表：

（1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式；
（2）根据（1）的结果，若函数周期为，当时，方程 恰有两个不同的解，求实数的取值范围.
22．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式：.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、B
【解析】设户年用水量为，年缴纳税费为元，根据题意求出的解析式，再利用分段函数的解析式可求出结果.
【详解】设户年用水量为，年缴纳的税费为元，
则，即，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，解得，
所以艾世宗一家年共用水.
故选：B
2、A
【解析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.
【详解】解：由图象可知：，
因，所以由可得：，
由可得：，
由可得：，
因此有，
所以函数是减函数，，所以选项A符合，
故选：A
3、D
【解析】利用同角三角函数关系式可求，再应用和角正切公式即求.
【详解】∵，，
∴，，
∴.
故选：D.
4、B
【解析】“全称命题”的否定是“特称命题”根据全称命题的否定写出即可
【详解】解：命题P：“，”的否定是：，
故选B
【点睛】本题考察了“全称命题”的否定是“特称命题”，属于基础题.
5、C
【解析】判断与大小关系，即可得到答案.
【详解】因为，，，
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查对数函数、指数函数的性质，关键是与中间量进行比较，然后得三个数的大小关系，属于基础题.
6、B
【解析】先求出函数的零点的范围，进而判断的范围，即可求出.
【详解】由题意可知是的零点，
易知函数是（0，）上的单调递增函数，
而，，
即
所以，
结合性质，可知.
故选B.
【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题
7、C
【解析】由题意得，，故，故选C
考点：分段函数的应用.
8、A
【解析】利用对数运算和指数与对数互化求解.
【详解】由题意得：，，
两式相减得：,
又因为，
所以，
故选：A
9、B
【解析】判断函数的单调性，再借助零点存在性定理判断作答.
【详解】函数在R上单调递增，而，，
所以函数的零点所在区间为.
故选：B
10、A
【解析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
11、B
【解析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论
【详解】解：由得Venn图，

①；
②；
③；
④；
故和命题等价的有①③，
故选：B
【点睛】本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了Venn图的应用，属于基础题
12、B
【解析】先求球半径，再求球体积.
【详解】因为，所以,选B.
【点睛】本题考查球表面积与体积，考查基本求解能力，属基础题.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】作出的图象如下：

结合图像可知，，故
令得：或，令得： ，且
等号取不到，
故，故填.
点睛：一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高.
14、C
【解析】先求得函数的零点为，进而可得的零点满足，由二次函数的图象与性质即可得解.
【详解】由题意，函数单调递增，且，
所以函数的零点为，
设的零点为，
则，则，
由于必过点，
故要使其零点在区间上，则或，
即或，所以，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题目条件转化为函数零点的范围，再由二次函数的图象与性质即可得解.
15、
【解析】根据题意写出一个同时满足①②的函数即可.
【详解】解：易知：，上单调递减，上单调递减，
故对于任意，当时，总有；
且在其定义域上不单调.
故答案为：.
16、
【解析】根据诱导公式可求该值.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”．本题属于基础题.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）46 （2）n的最大值为14
【解析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}中有3个数（1，2，3）与
In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得
集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46
（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In
不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，
这与A为稀疏集相矛盾
再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集
事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都稀疏集，且A1∪B1=I14
当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：
A2={，，，}，B2={，，}
当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，
可以分为下列3个稀疏集的并：
A3={，，，，}，B3={，，，，}
最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，
它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14
综上可得，n的最大值为14
18、（1），
（2）
【解析】（1）利用同角三角函数关系求解即可.
（2）利用同角三角函数关系和诱导公式求解即可.
【小问1详解】
已知，且在第三象限，
所以，
【小问2详解】
原式
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据函数单调性定义及指数函数的单调性与值域即可证明；
（2）由已知条件，利用函数的奇偶性和单调性，可得对恒成立，然后分离参数，利用基本不等式求出最值即可得答案.
【小问1详解】
证明：设，则，
由，可得，即，又，，
所以，即，则在上为增函数；
【小问2详解】
解：因为任意，都有恒成立，且函数是定义在R上的奇函数，
所以对恒成立，
又由（1）知函数在上为增函数，所以对恒成立，
由，有，
所以对恒成立，
设，由递减，可得，
所以，当且仅当时取得等号，
所以，即的取值范围是.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由函数的定义域、指数函数的性质可得，，再由集合的并集运算即可得解；
（2）由集合的交集运算可得，再由集合的关系可得，即可得解.
【详解】由可得，所以，
，
（1）所以；
（2）因为，所以，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为.
【点睛】本题考查了函数定义域及指数不等式的求解，考查了集合的运算及根据集合间的关系求参数，属于基础题.
21、（1）（2）
【解析】（1）根据表格提供的数据画出函数图象，求出、和、的值，写出的解析式即可；
（2）由函数的最小正周期求出的值，再利用换元法，令，结合函数的图象求出方程恰有两个不同的解时的取值范围
【详解】解：(1)绘制函数图象如图所示：

设的最小正周期为，得．由得
又解得,
令，即，，
据此可得：，又，令可得
所以函数的解析式为
(2)因为函数的周期为，又，所以
令，因为，所以
在上有两个不同的解，等价于函数与的图象有两个不同的交点，，
所以方程在时恰好有两个不同的解的条件是，
即实数的取值范围是

【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题，属于中档题
22、（1），；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】(1)根据奇函数定义及给定函数值列式计算作答.
(2)用函数单调性定义证明单调性的方法和步骤直接证明即可.
(3)利用(1)，(2)的结论脱去法则“f”，解不等式作答.
【小问1详解】
因数是定义在上的奇函数，则，即，
解得，即有，，解得，
所以，.
【小问2详解】
由(1)知，，，

因，则，而，因此，，即，
所以函数在上是增函数.
【小问3详解】
由已知及(1)，(2)得：，解得，
所以不等式的解集为：.