2021-2022学年高中数学-第三章-不等式-4.2-简单线性规划课时素养评价北师大版必修5.doc

2021-2022学年高中数学 第三章 不等式 4.2 简单线性规划课时素养评价北师大版必修5

2021-2022学年高中数学 第三章 不等式 4.2 简单线性规划课时素养评价北师大版必修5

年级：
姓名：

二十二　简单线性规划
(20分钟　35分)
1.若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域内,则2x-y的最小值为 (　　)
A.-6　 B.-2　 C.0　 D.2
【解析】选A.如图,曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示,

令z=2x-y,
则y=2x-z,
作直线y=2x,在封闭区域内平行移动直线y=2x,
当经过点A(-2,2)时,z取得最小值,
此时z=2×(-2)-2=-6.
【补偿训练】
(2020·南宁高一检测)若x,y满足|y|≤2-x且|x|≤1,则2x+y的最小值为 (　　)
A.-7　　 　B.-5　　 　C.1　　　 D.4
【解析】选B.作出x,y满足|y|≤2-x,且|x|≤1,对应的平面区域如图,
由z=2x+y得y=-2x+z,
平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线的截距最小,此时z最小,由解得A(-1,-3),
此时z=2×(-1)+(-3)=-5,则2x+y的最小值为-5.

2.(2020·西安高一检测)若变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x-y的最小值是 (　　)
A.-3 B.0 C. D..
【解析】选A.由约束条件作出可行域如图,

化目标函数z=2x-y为y=2x-z,
由图可知,当直线y=2x-z经过A(0,3)时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为-3.
3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则a的值为 (　　)

A.-3 B.3 C.-1 D.1
【解析】选A.-==,即a=-3.
4.(2020·全国Ⅲ卷)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为　　　　. 
【解析】不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(含边界),

因为z=3x+2y,所以y=-+,易知截距越大,则z越大,平移直线y=-,
当y=-+经过A点时截距最大,此时z最大,
由,得,A(1,2),
所以zmax=3×1+2×2=7.
答案:7
5.若变量x,y满足约束条件且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是　　　　. 
【解析】画出可行域,如图所示.由图可知,当目标函数过A点时有最大值;过B点时有最小值.联立得方程组⇒故A(4,4);对x+y=8,令y=0,则x=8,故B(8,0),所以a=5×4-4=16,b=5×0-8=-8,则a-b=16-(-8)=24.

答案:24
6.已知x,y满足约束条件
(1)求目标函数z=2x+y的最大值和最小值;
(2)求z=的取值范围.
【解析】作出可行域如图所示.

(1)作直线l:2x+y=0,并平移此直线,当平移直线过可行域内的A点时,z取最小值;当平移直线过可行域内的B点时,z取得最大值.
解得A.
解得B(5,3).
所以zmax=2×5+3=13,zmin=2×1+=.
(2)z==,可看作区域内的点(x,y)与点D(-5,-5)连线的斜率,
由图可知,kBD≤z≤kCD.
又B(5,3),C,
所以kBD==,
kCD==,
所以z=的取值范围是.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2020·石家庄高一检测)若x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值为 (　　)
A.10 B.8 C.5 D.3
【解析】选D.由约束条件作出可行域如图,

化目标函数z=x+2y为直线方程的斜截式,y=-x+,由图可知,当直线y=-x+过A(3,0)时,直线在y轴上的截距最大,z最大值为3.
2.(2020·绵阳高一检测)已知实数x,y满足条件+≤2,则2x+y的最大值为 (　　)
A.3 B.5 C.6 D.7
【解析】选D.实数x,y满足条件+≤2,如图所示,

所以在A处2x+y的取最大值为7.
3.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组确定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=·的最大值为 (　　)
A.3　　　 B.4　 C.3　　 D.4
【解析】选B.由线性约束条件
画出可行域如图阴影部分(含边界)所示,

目标函数z=·=x+y,
将其化为y=-x+z,结合图形可知,
当目标函数的图像过点(,2)时,z最大,将点(,2)代入z=x+y,得z的最大值为4.
4.(2020·成都高一检测)已知EF为圆(x-1)2+(y+1)2=1的一条直径,点M(x,y)的坐标满足不等式组则·的取值范围为 (　　)
A. B.[4,13]
C.[4,12] D.
【解析】选D.不等式组作出可行域如图,A(-2,1),B(0,1),C,
因为D(1,-1),O(0,0),M(x,y),=-,
所以·=(-)·(-)
=·+-·-·
=-+=-1=(x-1)2+(y+1)2-1,
所以当x=-2,y=1时,
·取最大值为12,
当x=-,y=时,
·取最小值,
所以·的取值范围是.

【误区警示】对·进行转化是本题的易错点.
5.(2020·太原高一检测)设x,y满足不等式组且的最大值为,则实数a的值为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.作出不等式组对应的平面区域如图:

可知a≥-2,的几何意义是可行域内的点与Q(-4,0)连线的斜率,直线x+y-2=0与直线y=x+a的交点为A,
当x=1-,y=1+时,的最大值为,解得a=2,所以实数a的值为2.
【光速解题】本题可直接将选项中的值代入求解.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2020·成都高一检测)已知实数x,y满足不等式组若当且仅当x=1,y=3时,y-ax取得最大值,则实数a的取值范围是　　　　. 
【解题指南】由题意作出其平面区域,将z=y-ax化为y=ax+z,z相当于直线y=ax+z的纵截距,由几何意义可得.
【解析】由题意作出其平面区域,
将z=y-ax化为y=ax+z,
z相当于直线y=ax+z的纵截距,
则由图可知,当且仅当x=1,y=3时y-ax取得最大值就是目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解是B(1,3),则a>1.

答案:(1,+∞)
【补偿训练】
(2020·咸阳高一检测)已知实数x,y满足,若z=x+my的最大值为10,则m=　　　. 
【解析】作出可行域,如图,△ABC内部(含边界),其中A(2,4),B(2,1),C(-1,1),若A是最优解,则2+4m=10,m=2,检验符合题意;若B是最优解,则2+m=10,m=8,检验不符合题意,若m=8,则z最大值为34;若C是最优解,则-1+m=10,m=11,检验不符合题意;
所以m=2.

答案:2
7.已知约束条件若目标函数z=x+ay(a>0)恰好在点(2,2)处取得最大值,则a的取值范围为　　　　. 
【解析】如图,线性约束条件对应的可行域为图中的三角形区域ABC.
线性目标函数z=x+ay(a>0)
化为y=-x+,
当z最大时,最大,
根据图形只要->kAB=-3,
所以a>.

答案:
8.实数x,y满足不等式组则W=的取值范围是　　　. 
【解析】画出题中不等式组所表示的可行域如图所示,目标函数W=表示阴影部分的点与定点A(-1,1)的连线的斜率,由图可知点A(-1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值,最大值趋近于1,
但永远达不到1,
故-≤W<1.

答案:[-,1)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·渭南高一检测)若x,y满足条件
(1)求目标函数z=x-y+的最值;
(2)求点(x,y)到直线y=-x-2的距离的最大值.
【解析】(1)根据条件,作出可行域如图,
则直线x+y=1,-x+y=1,2x-y=2的交点分别为A(3,4),B(0,1),C(1,0).

平移直线x-y+=0,
由图形可知过点A时,
z取得最小值zmin=×3-4+=-2;过点C时,
z取得最大值zmax=+=1.
故z的最大值为1,
最小值为-2.
(2)由图形可知,
所求的最大值即点A到直线x+y+2=0的距离,
则d==.
10.已知x,y满足条件求:
(1)4x-3y的最大值和最小值;
(2)x2+y2的最大值和最小值.
【解析】(1)不等式组
表示的公共区域如图阴影所示:

其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2),
设z=4x-3y.
直线4x-3y=0经过原点(0,0).
作一组与4x-3y=0平行的直线l:4x-3y=t.
则当l过C点时,t值最小;
当l过B点时,t值最大.
因为zmax=4×(-1)-3×(-6)=14,
zmin=4×(-3)-3×2=-18.
故4x-3y的最大值为14,
最小值为-18.
(2)设u=x2+y2,则为点(x,y)到原点(0,0)的距离.结合不等式组所表示的区域,不难知道:点B到原点的距离最大;而当(x,y)在原点时,距离为0.
因为umax=(-1)2+(-6)2=37,umin=0,
所以x2+y2的最大值为37,最小值为0.

1.太极图被称为“中华第一图”,从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫等标记物,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组来表示A=,设点(x,y)∈A,则z=x+y的取值范围是 (　　)

A. B.
C. D.
【解答】选C.由题意可知:z=x+y与x2+(y-1)2=1相切时,切点在上方时取得最大值,

如图可得,≤1,
解得1-≤z≤1+,z=x+y的最大值为1+.
当下移与圆x2+y2=4相切时,z=x+y取最小值,
同理=2,
即z的最小值为-2,
所以z∈.
2.已知实数x,y满足条件若目标函数z=x+ay仅在点(0,1)处取得最小值,求a的取值范围.
【解析】由x,y满足约束条件
作出可行域,如图阴影部分.

当a=0时,z=x,z值仅在点B(0,1)处取得最小值;
当a≠0时,
由z=x+ay得直线族y=-x+.
当直线斜率0<-≤1时,
z值不在点B(0,1)处取得最小值;
当直线斜率->1,
即-1<a<0时,
z值仅在点B(0,1)处取得最小值;
当直线斜率-1<-<0,
即a>1时,z值不在点B(0,1)处取得最小值;
当直线斜率-=-1,
即a=1时,z值在点B(0,1),
A(1,0)之间任意一点处取得最小值;
当直线斜率-<-1,
即0<a<1时,z值仅在点B(0,1)处取得最小值.
综上所述,实数a的取值范围是(-1,1).