湖北省智学联盟2020-2021学年高二数学上学期12月联考试题.doc

湖北省智学联盟2020-2021学年高二数学上学期12月联考试题

湖北省智学联盟2020-2021学年高二数学上学期12月联考试题

年级：
姓名：

12

湖北省智学联盟2020-2021学年高二数学上学期12月联考试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．设命题，，则P的否定形式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知等差数列的前n项和为，若，则一定有（ ）
A． B． C． D．
3．2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，如表为某小型工厂2~5月份生产的口罩数（单位：万）
x
2
3
4
5
y
2.2
3.8
5.5
m
若y与x线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数m的值为（ ）
A．6.5 B．6.9 C．7.1 D．7.6
4．关于直线l，m及平面，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．电影《夺冠》讲述的是中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造了一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映，在《夺冠》上映当天，夫妇两人带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，若他们随机入座，则每个小孩子都有家长相邻陪坐的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为F，且准线与双曲线相交于A，B两点，若为等边三角形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为2的正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中，点F与H的距离为（ ）

A．0 B．2 C．3 D．
8．设抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，,则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分；部分选对的得3分；有选错的得0分．
9．一组数据共有7个数，记得其中有10，3，5，3，4，3，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数，中位数，众数依次成等比数列，这个数可能为（ ）
A． B． C．3 D．
10．已知数列，满足，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，点M是正方体中的线段上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点M，使平面
B．点M存在无数个位置满足
C．若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值
D．存在点M，使异面直线与AB所成的角是

12．已知点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点分别为A．B，连接OA，OB，则（ ）
A．若直线，则 B．的最小值为
C．直线AB过定点 D．点O到直线AB距离的最大值为
三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13．某校高一，高二，高三年级人数比为，现按分层抽样的方法从三个年级一共抽取150人来进行某项问卷调查，若每人被抽取的概率是0.04，则该校高二年级人数为________．
14．若从8名大学毕业生中选3个人到某山区小学支教，则甲、乙两人中至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________．（用数字作答）
15．已知O为坐标原点，，为椭圆的左右焦点，点P是位于椭圆C上第一象限的一点，点Q是以为底的等腰三角形内切圆的圆心，过作与点M，，则椭圆的离心率为________．
16．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥．“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”现有一如图所示的“鳖臑”，其中平面ABC，，且，过A点分别作于点E，于点F，连接EF，设三棱锥的外接球表面积为，四棱锥的外接球表面积为，则________．

四、解答题（本大题6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）
已知集合：非空集合．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）从下面①②③三个条件中选择一个填入下面空缺的横线上，然后解答下面的问题：
是否存在实数a，使得是的________?若存在求出a的取值范围．若不存在说明理由．
①充分不必要条件 ②必要不充分条件 ③充要条件
18．（本小题满分12分）
已知圆M与直线相切于点，圆心M在x轴上．
（Ⅰ）求圆M的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线l与圆M交于A，B两点，且，求直线l的方程．
19．（本小题满分12分）
若则称数列是的“数列”，设是的“数列”，且是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）若，，q=2，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列是的“数列”，在（Ⅰ）的条件下，求数列的前n项和．
20．（本小题满分12分）
由于受疫情的影响，美国某州的一个小区505人参加某次核酸检测，根据年龄段使用分层抽样的方法从中随机抽取101人，记录其核酸检测结果（阴性或阳性）现将核酸检测呈阴性的人员，按年龄段分为5组：，，，，，得到如图所示频率分布直方图，其中年龄在的有20人．

（Ⅰ）估计核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数；
（Ⅱ）用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数；
（Ⅲ）若将该小区此次核酸检测呈阳性的人随机分到A，B，C三所医院进行隔离治疗，求每所医院至少分到一人的概率．
21．（本小题满分12分）
如图在四棱锥中，，平面SAD．平面ABCD．平面SDC两两互相垂直，，，M是SA中点，N是直线BC上的动点．

（Ⅰ）求证：平面SBC；
（Ⅱ）设直线MN与平面SAD所成的角的大小为，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
若椭圆与椭圆满足，则称这两个椭圆相似，m叫相似比，已知圆的离心率为，椭圆M与椭圆C相似，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）椭圆M的左右顶点分别为A、B，过A，B两点分别作斜率为k，的直线，分别交椭圆于D、E两点，，P为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值．

湖北智学联盟2022届高二年级12月联考
数学参考答案
一、单项选择题：
1．C 2．D 3．C 4．C 5．C 6．A 7．D 8．B
二、多项选择题：
9．BD 10．BC 11．ABC 12．ACD
三、填空题：
13．1200 14．25 15． 16．
四、解答题
17．解答：
（Ⅰ）∵方程表示圆
∴
整理得 解得
∴．
（Ⅱ）∵方程（其中a为常数）表示焦点在x轴上的椭圆
∴，∴
若选①
∵是的充分不必要条件，∴A是B的真子集，
∴，∴
若选②
∵是的必要不充分条件，∴B是A的真子集，
又∵B是非空集合，∴，∴
若选③
∵是的充要条件，∴
∴，∴．
18．解答：
（Ⅰ）由题可知，设圆的方程为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，，
∴圆的方程为．
（Ⅱ）设l为，即
由题意知圆心到直线l的距离
∴，∴
∴直线l为
即为或．
19．解答：
（Ⅰ）由题设可知，，∴
∴
．
（Ⅱ）∵数列是的“数列”，
∴∴
∴

∴
∴ ∴．
20．解答：
（Ⅰ）（1）由频率直方图可知
，
，
所以，所以中位数在．
令中位数为x，则，
解得，故中位数为50．
（Ⅱ）可知呈阴性年龄在的有20人，
所以该样本中所有呈阴性有人
用样本估计总体，该小区呈阳性的人数为人．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，该小区呈阳性的人数为5，每个人分到每所医院的可能性是相等的5人分到A，B，C三所医院的分法总共有种
每所医院至少分到一人的分法可分为下面两类：
①一所医院分1人，另两所医院各分2人，有种方法
②一所医院分3人，另两所医院各分1人，有种方法
一共有150种方法
所以每所医院至少分到一人的概率为．
21．解答：
（Ⅰ）取线段SB中点Q，连结CQ，MQ，
则且，
又∵，
∴，且，∴四边形MQCD是平行四边形
∴，∴平面SBC．
（Ⅱ）在平面ABCD内，过B作BG垂直于AD，作BH垂直于CD，
∵平面平面ABCD，∴平面SAD，∴
同理，∴平面ABCD
同理平面SDC，平面SAD
∴SD，AD，CD两两垂直．
如图建立空间直角坐标系，则
平面SAD的一个法向量为
设，
则N点坐标为
∴，
设，则，
①当时，
②当时，
∵，∴
综上所述，的取值范围是．

22．解答：
（Ⅰ）∵椭圆C的离心率为∴
又∵椭圆M与椭圆C相似，
∴可设椭圆M的方程为
∵椭圆M经过点∴，解得
∴椭圆M的标准方程为．
（Ⅱ）法1：设，，由题意得直线AD的方程为
联立，消去y得，
所以，所以，
所以，
所以D点坐标为
同理可得，E点坐标为
直线DE的方程可表示为
即
化简得
所以直线DE过定点
又因为，所以点P在以AM为直径的圆上，
令Q为AM的中点，此时Q点的坐标为，
为定值．
法2：设DE为，，
联立消去x得
所以
∵ 即
∴ 即
∴
∴ ∴或（舍）
所以直线DE过定点
又因为，所以点P在以AM为直径的圆上，
令Q为AM的中点，此时Q点的坐标为，
为定值．