2021-2022版高中数学-第八章-向量的数量积与三角恒等变换-8.2.4-三角恒等变换的应用课时.doc

2021-2022版高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2.4 三角恒等变换的应用课时素养评价新人教B版必修第三册

2021-2022版高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2.4 三角恒等变换的应用课时素养评价新人教B版必修第三册

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三角恒等变换的应用
(15分钟　30分)
1.若α∈,则-等于 (　　)
A.cos α-sin α　 B.cos α+sin α
C.-cos α+sin α　 D.-cos α-sin α
【解析】选B.因为α∈,
所以sin α<0,cos α>0,
则-=-
=|cos α|-|sin α|=cos α-(-sin α)=cos α+sin α.
2.设5π<θ<6π,cos=a,那么sin等于 (　　)
A.- B.-
C.- D.-
【解析】选D.若5π<θ<6π,则<<,
则sin=-=-.
3.设a=(sin 56°-cos 56°),b=cos 50°cos 128°+cos 40°cos 38°,c=,d=(cos 80°-2cos250°+1),则a,b,c,d的大小关系为 (　　)
A.a>b>d>c　 B.b>a>d>c
C.d>a>b>c 　　 D.c>a>d>b
【解析】选B.a=sin 56°cos 45°-cos 56°sin 45°
=sin(56°-45°)=sin 11°=cos 79°,
b=cos 50°cos 128°+cos 40°cos 38°
=sin 40°(-sin 38°)+cos 40°cos 38°=cos(40°+38°)
=cos 78°,c==cos 81°,
d=(cos 80°-2cos250°+1)
=[cos 80°-(2cos250°-1)]
=(cos 80°+cos 80°)=cos 80°,
所以b>a>d>c.
【补偿训练】
的值为 (　　)
A.1　　　B.　　　C.　　　D.2
【解析】选C.原式=
===.
4.(2020·郑州高一检测)若sin=,
则cos= (　　)
A. B.- C. D.-
【解析】选D.依题意cos=2cos2-1
=2cos2-1
=2sin2-1=-1=-.
5.若sin+2cos=0,则tan=　　　　,tan θ=　　　　. 
【解析】由sin+2cos=0,得tan=-2,
则tan θ==.
答案:-2　
6.若θ∈,sin 2θ=,则sin θ=　　　　. 
【解析】由于θ∈,则2θ∈,
所以cos 2θ<0,sin θ>0,因为sin 2θ=,
所以cos 2θ=-=-
=-.
又cos 2θ=1-2sin2θ,
所以sin θ===.
答案:
(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知函数f(x)=cos2·cos2,则f等于 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.由降幂公式,f(x)=cos2·
cos2=·
,
即f(x)=·=·=,
所以f==.
2.(2020·广州高一检测)已知函数f(x)=2cos2x-2sin2x+1,则 (　　)
A.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为2π,最大值为1
C.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为π,最大值为1
【解析】选C.f(x)=2·-2·+1
=1+cos 2x-1+cos 2x+1=2cos 2x+1,
故T==π,f(x)max=2+1=3.
3.已知450°<α<540°,则
的值是 (　　)
A.-sin B.cos
C.sin D.-cos
【解析】选A.因为450°<α<540°,
所以225°<<270°,所以cos α<0,sin<0,
所以原式=
=
==
===-sin .
4.若cos α=-,α是第三象限的角,则= (　　)
A.- 　 B. C.2 　 D.-2
【解析】选A.因为α是第三象限角,cos α=-,
所以sin α=-.所以==
=·
===-.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·如皋高一检测)下列选项中,值为的是 (　　)
A.cos 72°cos 36° B.sinsin
C.+ D.-cos215°
【解析】选AB.cos 72°cos 36°=
====,故A满足.
sinsin=sincos===,故B满足.
+===4,故C不满足.
-cos215°==-cos 30°
=-,故D不满足.
6.已知函数f=, 则有 (　　)
A.函数f的图象关于直线x= 对称
B.函数f的图象关于点 对称
C.函数f的最小正周期为
D.函数f在 内单调递减
【解析】选BD. 因为f===-tan x,所以f的图象不是轴对称图形,关于点 对称,周期为π ,在 内单调递减.
【补偿训练】
1.(2020·济南高一检测)已知函数f(x)=sin x·sin-的定义域为[m,n](m<n),值域为,则n-m的值可能是 (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】选AB.f(x)=sin x·sin-
=sin x-
=(1-cos 2x)+sin 2x-
=
=sin,值域为,
sin∈,
所以2x-∈,
故x∈,k∈Z,
kπ+-=,
所以n-m最大为.
2.已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x,下列命题正确的是 (　　)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)在区间上为增函数
C.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
D.函数f(x)的图象可由函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度得到
【解析】选BC.f(x)=sin xcos x-cos2x
=sin 2x-
=sin-,
所以f(x)最小正周期T==π,A错误;
当x∈时,2x-∈,
此时f(x)=sin单调递增,
所以f(x)在上单调递增,B正确;
当x=时,2x-=,
是f(x)=sin的对称轴,
所以x=是f(x)的一条对称轴,C正确;
将f(x)=sin 2的图象向右平移个单位得到
y=sin 2=sin的图象,D错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.化简=　　　　. 
【解析】=
==tan.
答案:tan
8.已知α∈,且2sin2α-sin α·cos α-3cos2α=0,则=　　　　. 
【解析】因为α∈,且2sin2α-sin α·cos α-3cos2α=0则(2sin α-3cos α)·(sin α+cos α)=0,
又因为α∈,sin α+cos α>0,
所以2sin α=3cos α,又sin2α+cos2α=1,
所以cos α=,sin α=,所以
===.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知三点A,B,C的坐标分别为A(cos α,sin α)α≠,k∈Z,B(3,0),C(0,3),若·=-1,求的值.
【解析】=(3-cos α,-sin α),
=(-cos α,3-sin α),
因为·=-1,
所以(cos α-3)·cos α+sin α(sin α-3)=-1,
整理得:sin α+cos α=　①,
=
==2sin αcos α,
由①平方得1+2sin αcos α=,
所以2sin αcos α=-,即=-.
10.在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cos α,sin α),
b=(-sin β,cos β),c=.
(1)若|a+b|=|c|,求sin(α-β)的值;
(2)设α=,0<β<π,且a∥(b+c).求β的值.
【解析】(1)因为a=(cos α,sin α),b=(-sin β,cos β),c=,
所以|a|=|b|=|c|=1,
且a·b=-cos αsin β+sin αcos β=sin(α-β),
因为|a+b|=|c|,所以|a+b|2=|c|2,
即a2+2a·b+b2=1,
所以1+2sin(α-β)+1=1,即sin(α-β)=-.
(2)因为α=,所以a=,
由题意:b+c=,
因为a∥(b+c),
所以--=0,
所以sin β-cos β=,
所以sin=.
又因为0<β<π,所以-<β-<π,
所以β-=,即β=.

1.已知coscos=,则sin4θ+cos4θ的值为　　　　. 
【解析】因为coscos
=
=(cos2θ-sin2θ)=cos 2θ=.所以cos 2θ=.
故sin4θ+cos4θ=+
=+=.
答案:
2.已知函数f(x)=.
(1)求f的值;
(2)当x∈时,求g(x)=f(x)+sin 2x的最大值和最小值.
【解析】(1)f(x)=
=
===
=2cos 2x.
所以f=2cos=2cos=-.
(2)由(1)知f(x)=2cos 2x,
g(x)=f(x)+sin 2x=cos 2x+sin 2x
=sin.
因为x∈,所以≤2x+≤,
所以g(x)max=,g(x)min=-1.