四川省川大附中2020-2021学年高一数学上学期期末调研考试试题.doc

四川省川大附中2020-2021学年高一数学上学期期末调研考试试题

四川省川大附中2020-2021学年高一数学上学期期末调研考试试题

年级：
姓名：

8

四川省川大附中2020-2021学年高一数学上学期期末调研考试试题
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{2，3，4}，N＝{3，4}．则
A．{2，3，4} B．{1，2，5} C．{3，4} D．{1，5}
2．下列函数中，与函数y＝x相等的是
A． B． C． D．
3．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且．
若角α的终边上有一点P（x，3），则x的值为
A．-4 B．4 C．-3 D．3
4．设函数则f（f（0））的值为
A．2 B．3 C．e3-1 D．e2-1
5．已知扇形的圆心角为30°，面积为3π，则扇形的半径为
A． B．3 C． D．6
6．函数f（x）＝lnx＋2x-9的零点所在区间是
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
7．已知函数，则函数f（x）的递减区间是
A．（k∈Z） B．（k∈Z）
C．（k∈Z） D．（k∈Z）
8．函数的图象大致为
A． B．
A． D．
9．已知函数，先将函数f（x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，最后得到函数y＝g（x）的图象，则的值为
A．1 B． C．0 D．
10．已知函数在[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是
A．[2，4] B．[-2，＋∞） C．[-4，-2] D．（-∞，-4]
11．若，b＝log32，c＝ln2，则a，b，c的大小关系为
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
12．设函数，．若g（x）的值不小于0，则x的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题．
13．计算tan330°的值为________．
14．已知函数y＝a2x-1＋1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（x0，y0），则x0的值为________．
15．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对区间（-∞，0]上的任意x1，x2，当x1≠x2时，都有．若实数t满足f（2t＋1）≤f（t-3），则t的取值范围是________．
16．已知函数（ω＞0）在上单调，且将函数f（x）的图象向右平移4π个单位长度后与原来的图象重合．当x∈（0，4π）时，使得不等式成立的x的最大值为________．
三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算下列各式的值：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
18．已知tanθ＝-2，且．
（Ⅰ）求sinθ，cosθ的值；
（Ⅱ）求的值．
19．已知函数．
（Ⅰ）用函数单调性的定义证明函数f（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）当x∈[1，3]时，求函数g（x）＝log3f（x）的最值．
20．1986年4月26日，一场地震造成乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸并引起大火．这一事故导致约8吨的强辐射物严重泄露，事故所在地被严重污染．主要辐射物是锶90，它每年的衰减率为2.47％．经专家模拟估计，辐射物中锶90的剩余量低于原有的8.46％时，事故所在地才能再次成为人类居住的安全区；要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年．设辐射物中原有的锶90有a（0＜a＜8）吨．
（Ⅰ）设经过t（t∈N*）年后辐射物中锶90的剩余量为P（t）吨，试求P（t）的表达式，并计算经过800年后辐射物中锶90的剩余量；
（Ⅱ）事故所在地至少经过多少年才能再次成为人类居住的安全区？（结果保留为整数）
参考数据：ln0.0846＝-2.47，ln0.9753＝-0.03．
21．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，）的最小值为-2，其图象经过点（0，-1），且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）-k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求出x1＋x2的值．
22．已知函数的定义域为R，其中a为实数．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝1时，是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得成立？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
川大附中2020-2021学年度上学期期末高一级调研考试
数学参考答案及评分意见
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：
1．D；2．B；3．A；4．B；5．D；6．C；7．A；8．C；9．A；10．B；11．A；12．D
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：
13．；14．；15．；16．．
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）原式

＝π．
（Ⅱ）原式

．
18．解：（Ⅰ）由tanθ＝-2，得sinθ＝-2cosθ．
∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴．
∵，∴sinθ＞0，cosθ＜0．
∴，．
（Ⅱ）原式
．
∵tanθ＝-2，∴原式．
19．解：（Ⅰ）任取x1，x2∈R，且x1＜x2．
则
．
∵x1＜x2，∴，即．
又∵，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在R上单调递增．
（Ⅱ）令t＝f（x），函数g（x）＝log3f（x）化为h（t）＝log3t．
由（Ⅰ）知当x∈[1，3]时，函数f（x）单调递增．
∴当x＝1时，函数f（x）有最小值；
当x＝3时，函数f（x）有最大值．∴．
又函数h（t）＝log3t在上单调递增，
∴当，即x＝1时，函数h（t）有最小值-1，即g（x）有最小值-1；
当，即x＝3时，函数h（t）有最大值-2＋log37，即g（x）有最大值-2＋log37．
20．解：（Ⅰ）由题意，得P（t）＝a（1-2.47%）t，t∈N∗．
化简，得P（t）＝0.9753ta，t∈N∗．
∴P（800）＝0.9753800a．
∴经过800年后辐射物中锶90的剩余量为0.9753800a吨．
（Ⅱ）由（Ⅰ），知P（t）＝0.9753ta，t∈N∗．
由题意，得0.9753ta＜0.0846a，
不等式两边同时取对数，得ln0.9753t＜ln0.0846．
化简，得tln0.9753＜ln0.0846．
由参考数据，得-0.03t＜-2.47．
∴．
又∵，∴事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区．
21．解：（Ⅰ）由题意，得A＝2，．
∴T＝π，．∴f（x）＝2sin（2x＋φ）．
又函数f（x）的图象经过点（0，-1），则2sinφ＝-1．
由，得．∴．
（Ⅱ）由题意，关于x的方程f（x）-k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，
即函数y＝f（x）与y＝k的图象在上有且仅有两个交点．
由（Ⅰ）知．
令，则y＝2sint．
∵，∴．
则y∈[-2，2]．其函数图象如图所示．

由图可知，实数k的取值范围为（-2，]∪[1，2）．
①当k∈[1，2）时，t1，t2关于对称，则．
解得；
②当时，t1，t2关于对称，则．
解得．
综上，实数k的取值范围为（-2，]∪[1，2），x1＋x2的值为或．
22．解：（Ⅰ）由题意，函数的定义域为R，
则不等式ax2-2ax＋1≥0对任意x∈R都成立．
①当a＝0时，1≥0显然成立；
②当a≠0时，欲使不等式ax2-2ax＋1≥0对任意x∈R都成立，
则解得0＜a≤1．
综上，实数a的取值范围为[0，1]．
（Ⅱ）当a＝1时，．
∴当x∈R时，f（x）min＝0．
令．显然在x∈[-1，1]上递增，则．
∴9x＋9-x＋m（3x-3-x）-1＝t2＋mt＋1．
令，．
若存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得成立，则只需h（t）min≥0．
①当即时，函数h（t）在上单调递增．
则．解得，与矛盾；
②当即时，函数h（t）在上单调递减，
在上单调递增．则．
解得-2≤m≤2；
③当即时，函数h（t）在上单调递减．
则．解得，与矛盾．
综上，存在实数m满足条件，其取值范围为[-2，2]．