首师大教育统计学课件 第四章 差异量数.pdf
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1、第四章差异量数某研究者得到以下两组成绩:甲组 54 63 72 74 82 88 99乙组 67 71 73 76 79 82 84试问:两组分数的分布是否一样?为什么?哪个均数的代表性更好?为什么?描述数据离散程度的统计量称为差异量。差异量越大,表明数据越分散、不集中;差异 量越小,表明数据越集中,变动范围越小。一组数据的离散程度,常常通过数据的 离中趋势(数据的变异性)特点进行分析。度量指标:全距、平均 差、方差、标准 差、偏态量、峰态量全距是一组数据中的最大值(,maximum与该组数据中最小值 minimum之差,又称极差。R=Xmax Xmin特点:全距是最简单、也是最粗糙、最不可靠
2、的差异量数,其只利用了数据中的极端值,一般情况下用于数据的预备性 检验。2百分位差(百分位距)百分位差是指两个百分位数percentile之差。百分位数又叫百分位点:是量尺上一个点常用的百分位差有两种:P90 P10(包括80%的次数)和P93 P7(包括86%的次数)。用几个百分位距能较好地反映一组数据的差异程度。计算公式(90 A i坨0=Lb+N-fb 如“。(100)f90(10 A iP10-Lb+-N 一九1U 3。Uoo bi)f10公式中:4为某一百分位数所在组下限以下的累积频数 方为某一百分位数所在组的频数生为某一百分位数所在组的精确下限N为总次数见:书P82例4-1百分位数
3、和百分等级-百分等级是一种相对位置量数,是百分位数的 逆走舁3四分位距四分位距是指在一个次数分布中,中间50%次数的距离的一半。在一组数据 中等于P25到P75距离的一半,反映的是 中间50%数据的散布情况。四分位距是第一个四分位数与第三 个四分位数之差的一半,计算公式为:C-42Q=(5.1)例1:求以下一组原始数据的四分位距:39,14,15,28,21,32,19,20,17,22,25,35.解:1)将原始数据排序:14,15,17,19,20,21,22,25,28,32,35,392)求出第一四分位数和第三四分位数的:Ql=(17+19)/2=18;Q3=(28+32)/2=303
4、)求出四分位距:Q二(30-18)/2=6在分组数据中:n-fbQl=Lq+4 25.丫 fQ(5.2 a)3n丫3 r/。3(5.2b)用中位数作集中量时,常用四分位距作差异量。笫二节方装与标准差一、动差概念动差也称为矩:是指力的动势,即作用力与力臂的 乘积。统计学上用此概念表示次数分布的情况。统计动差是次数分布对原点的动势,在统计学中,大多数情况下运用的是次数分布对平均数的动势,即 以平均数所在位置为原点,以各组观测值与平均数的 差为力臂,各组次数为作用力来计算动差。这种以平 均数为原点计算的统计动差叫中心动差。一阶动差(矩)Zf(X又)=0无法表示数据分布差异 N=二阶动差(矩)u _(
5、X又)2 2表示一个分布中离中趋势三阶动差(矩)L=型(/:4 表示一个分布中偏态性指标四阶动差(矩)1112f(X*)4表示一个分布中峰态性 4 N平均差(.average deviation 或者mean deviation)是指一组数据中,每一 个数据与该组数据的平均数离差的绝对值的算术平均数,通常用AD或MD表示。三 本书中均以AD表示。n次数分布表计算公式Ef X XAD=n(5.4)平均差意义明确,计算容易,反应灵敏。但计算时要用绝对值,不适合代数运算,因此 在进一步统计分析中应用较少。SbSb 三、方差和标浓差方差(又称为变异数、均方)是表示一组数据离 散程度的统计指标。一般样本
6、的方差用S2表示,总 体的方差用02表示。标准差standard deviation是方差的算术 平方根。一般样本的标准差用S表示,总体的标准 差用a表示。标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差 异量。1、方差和标准差的定义2,方差和标准差的计算公式原始数据计算公式S2=2X2JX)2(J(5.7)s=1十 ey二 U(5.8)公式(5-5)、36)等价于田7)、(5-8)的黑鲁7结果有出入叱应以原始数据计算公式么?求下列数据的均值和标准差b 8,10,2,5,8,3,2,2,19,126 4,1,3,4,8,8,3,3,4,33试问上述两组分数的分布是否相同?为什计算及结果均数:_ y
7、yN8+lAl以 12 71 一=-=7.110 104x3+1+3x3+8x2+33 71-=7.110 10标准差:次数分布表计算公式2_sf.xc2_m.xcf N N,(5.9)S 二fef-Xc2 NEf-XCA2 I N J(5.10)表57 52名学生数学成绩方差和标准差计算表成绩组中值Xc频数fF*XcF*Xc2计;算95 97.5219519012.590-92.5218517112.5c2 ZfX;(fXcY85-87.53262.522968.75S=J c-n1 J80-82.55412.534031.25280525(3775?75-77.58620480505215
8、2 J70-72.511797.557818.7565 67.59607.541006.25=124.56062.55312.519531.25S=J124.555 57.542301322550-52.521055512.5=11.1645 47.5147.52256.25合计5237752805253.总标准差的合成方差具有可加性的特点。当已知几个小 组数据的方差或标准差时,可以计算几个小 组联合在一起的总的方差或标准差。需要注意的是,只有在应用同一种观测 手段,测量的是同一种特质,只是样本不同 的数据时,才能计算合成方差或标准差。计算公式s;=ST=公式中i s;-xj冽冽舟一村(5.1
9、1)(5.12)S;为总方差,St为总标准差Si为各小组标准差m为各小组数据个数例4-5:现有四个小组的人数及成绩统计如下表,试问其总标 准差为多少?表4-3 成绩统计量组别nMS总方差和总标准差 X力解题过程:5470X1二273.974S;=2廿+/5219547470.535=770.53If8.404.方差和标准差的性质方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。标准差是一组数据方差的算术平方根,它不 可以进行代数计算,但有以下特性:如果 Y=X+C 则 SY=SX如果Y=CX 则 SY=CSX5.方差和标准差的意义方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好 指标,
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