2022年九年级数学创造性学习潜能开发第一讲一元二次方程2.pdf
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1、精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载九年级(上)数学创造性学习潜能开发班第一讲:一元二次方程(一)【思维体验】、一元二次方程的概念例 1(1)(D)(2)由题意:同-2=2,二科=4,a=4,当 a=4 时,a-4=0(舍去),当 a=-4 时,方程-8 x2+2x-4=0符合题意,a=-4二、一元二次方程的解【例2已知m、n是二次方程x2+2009x+7=0的两个根;求(m2+2008 m+6)(n 2+2010n+8)的值【解答】m 是 x2+2009x+7=0 的根,/.m2+2009m+7=02 2/.m+2008 m+6=-m-1,同理:n+2010n*8=n+1原式=(-m-1
2、)(n+1)=-(mn+m+n+1)由根与系数的关系得:mn=7,m+n=-2009,.所求代数式=-(7-2009+1)=200 1例3已知方程x2-mx+m+5=0有两实根a,p;方程x2-(8 m+1)x+15m+7=0有两实根a,丫求a 2 丫的值(北京市竞赛题)【解答】方程x2-mx+m+5=0和方程x2-(8 m+1)x+15m+7=0都有根ao o/.a-ma+m+5=0 0 a 一(8 m+1)ct+15m+7=0 00-(-m+8 m+1)a-14m-2=0(7 m+1)(a-2)=0,m=-或 a=-2当m=一时,两方程相同,不合题意舍去。7a=2 代入O,4-2m+m+5
3、=0 m=9此时,两方程 x2-9x+14=0,x2-7 3x+142=0由根与系数关系:a(3=14,a Y=142,/.a y=a p a y=14 X 142=198 8:、一元二次方程根的判别式及应用例4【解答】(可以直接想,也可以从反面入手)假设工个方程都没有实根则 1-4m 0 且 4-4(m-1)0 月.4+4(m-2)且m2且m i,如果都有实根,则 m -,m 2,m4 4至少有两个方程有实根,.1m 一 4 方程O有实根m 2解 m 或 1WmW24则出现如下组合 1mW 一或(4方程。有实根或m 1m 2万程Q有实根 m21选(B)第1页,共30精品pdf资料欢迎卜载学习
4、必备 欢迎下载例 5整理方程(X4+6x3+9x2)-3p(x2+3x)+2p2=0即(X2+3x)-3p(x2+3x)+2p2=0(x2+3x-2p(x2+3x-p)=02x-3x+2p=02或 x+3xp=0方程有且只有一个实根一个方程有重根,另一个方程无实根9+8 p=0即:4 o)或9+4p 09+8 p B,不解方程,求62+3 B 2的值 a(“祖冲之杯”邀请赛试题)【解答】由根与系数关系:a+8=7 或 a(3=8 易得:a2+p2=(a+Bj _aB=49-16=33*a P,(a-P)2=(a -40=/3-1=x+1=v3 x2+2x+1=3/.x2+2x=2 o o3-2
5、x-4x 3-2(x+2x)3-4-Z-=-Z-=-=1x2+2x-1 x2+2x-1-2-1-2.已知 a,b,c满足 a+b+c=0,abc=8,且 c0,求证:c22t4【解答】:丁 abc=8/.a,b,c不等于0 v c0,a+b+c=0,abc=8 a,b同号并同时为负数第3页,共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载O Oa+b=-c ab=贝U a,b为方程 z2+cz+=0 两根,c c a.b 为实数,c2-0 c0/.c3 32,c 132=214 co o3.设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:三个方程 ax+2bx+c=0,bx+2cx+a=0,oex+2
6、ax+b=0,不可能都有两个相等的实数根(山东省竞赛题)【解答】:假设同时都有两个相等的实根,4b2_4ac=0且 4c2-4ab=0且o o o 24a-4bc=0 三个式子相力口 得:a+b+c-ac-ab-be=02 2 2/.(a-b)+(a-c)+(b-c)=0/.a=b=c 这与 a,b,c互不相等矛盾,三个方程不可能都有两个相等的实数根。4.如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0的:根可以作为一个三角形的三边之长,那么,实数m的取值范围是()(全国初中数学竞赛试题)3 3 3(A)0WmW1(B)m 2一 VmW1(D)一 W mW 14 4 4【解答】:(x-1 lx?2x+
7、m)=0 Xi=1或x?-2x+m=0 由题意:根课作为一个三角形三边长,不妨设另两边为 X2,x3;有根/.A=4-4m 0 x2+x3=24+4m 02 3x2 x3=m0(x2+x3)1 x3 m 满足条件 0/.即一 mW14-4m 04k+4 0第4页,共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载5.已知方程1:x?-px+2q=。和方程2:x?-qx+2P=0有公共根,且 pWq;p、q是方 程3:4x+mx+n=0的两个实数根.(1)求方程1和方程2的公共根;(2)如果m、n都是正整数,求所有满足题意的正整数对(m,n).【略解】(1)方程1和方程2相减,得(p-q)(x+2
8、)=0,pWq,x=-2;.20分(2)将x=-2代入方程1,得/q=-2,又p、q是方程3的两相异实数根,所以p+q=-m/4,所以 m=8.30 分又方程3有两个相异实数根,所以 m2-16n0,解得n 0a+b=-c.I 1ab=I c设a,b是方程x2+cx+=0两根c2 4=c 一一 N 0c c 0.,.ch 4,cV7=3=V=-V 8 V 8 2第6页,共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载【例5对任意矩形A:设长为a,宽为b,矩形B的长为x,宽为y则;x+y=k(a+b)xy=kab贝x,y是方程 z2-k(a+b)z+kab=0两根=k2(a+b)2-4kab=k
9、 k(a+b)2-4abk(a+b)2-4ab】=k(a-b)2 0.必存在两个实根x,y则存在矩形B二、一元二次方程整数根问题的研讨【例6已知关于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a有一个【解答】解:(全国初中数学竞赛试题)当aa+1 a-1+2 4 2Xi-1-a-1 a-1 a-1X2=1x为整数/.a-1=1,23.=2,0,3,-1当a=12x-2=0 x=1符合题意综上所述:a=1,2,0,3,-1【反思小结】若根可用有理式表示出根,结合整除性求解【例7】求所有正实数a,使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根(全国初中数学联赛试题)【解答】解:
10、设整数根为,x2Xi+X2=aXi X2=4aa 0?.Xi 0,x2 0X1X2=4(Xi+x2)X1X2-4Xi-4x2=0Xi(X2-4)-4(x2-4)=16(X1-4)(x2-4)=16=1-16=2-8=4-4,Xi=5 x,=6 X=8x2=20 x2=12 x2=8a=25,18,16【反思小结】由根与系数的关系得到关于 a的两个等式,以退为进,消去 a,先求出两整数第7页,共30精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载根,再求a的值【例8试求出所有这样的正整数 a,使得二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根(祖冲之杯邀请赛试题)解:2ax+4a
11、x-2x+4a-12=02(x+4x+4 叔=2x+122x+12 2(x+6)a=2=2-x+4x+4(x+2)2/.x+4x+4 2x+12ox+2x-8 0(x+4(x-2)0?.-4 x 1,b1且aWb.,八曰 b+2 a+2.公共根是 a=-或 b=-.b-1 a-1两个等式去分母后的结果是一样的.即 aba=b+2,ab-a-b+1=3,(a-1)(b-1)=3.a,b都是正整数,a1=1,a1=3;或1b-1=3 b-1=1I I解得仁或=4b=2又解:设公共根为Xo那么(a-1)xo2-(a2-2)x+(a2+2a)=O 先消去二次项:(b-1)x02-(b2+2)x+(b2
12、+2b)=0 x(b-1)一x(a-1)得一(a2+2)(b-1)+(b2+2)(a-1)xo+(a2+2a)(b-1)-(b2+2b)(a-1)=0.整理得(a-b)(ab-a-b-2)(xo-1)=O.;aWb,x()=1;或(abab 2)=0.当Xq=1时,由方程得 a=1,.a1=0,.方程不是二次方程.,xo不是公共根.当(abab 2)=0时,得(a1)(b 1)=3 解法同上.5.若直角三角形的两条直角边都是整数,且是方程 mx-2x-m+1=0的根(m为整数),这样的三角形是否存在?若存在,求出满足条件的所有:角形的三边长;若不存在。请说明第10页,共30页精品pdf资料 欢
13、迎学习必备 欢迎下载理由。(湖北省黄冈市竞赛题)解:m w 0A=4-4m(-m+1)=4+4m2-4m=4m(iTi-1)+1 当 m=1,=4此时方程x2-2x=0X=2,x2=0(舍去)当m=0方程-2x+1=0 x=(不合题意舍去)2当m 01且m w 0时如果是完全平方数则 m(m-1)+1=k2/.m(m-1)=(k+1(k-1)m是整数m(m-1隹连续自然数的积但(k+1:(k-1户是连续自然数的积/.不存在【成就测试】1.解方程 x-3|x|+2=0解:当x之02x-3x+2=0=2,X2=1当x 02.x+3x+2=0Xi=-2,x2=-12.解:x2+ax=4tx2+ax=
14、-4丫有三个互不相同的实数 根其中一方程有两等根/.a=43.证明(用反证法)设两个方程都没有两个不相等的实数根,那么 10和4 2W0.第11页,共30页精品pdf资料欢迎卜载学习必备 欢迎下载r1-4b 0 即 a24c40 a=b+c+1 1 5由得b2L,b+1 代入,得4 45 a-c=b+12,4c0时,则 1和中至少有一个是正数4.已知实数a、b满足a?+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2,求t的取值范围(全国数学联赛)解:+t+1=2abt+1ab=-22 t+1fa+b)=1+ab=1+之 02 3t+3(a-b)=1-3ab=1-0I 2t 3解得|1t N E=N C
15、.VZ ABD=2ZE.AZ ABD=2ZC.在aABC 中,NBAC=120,NABD=2NC.则 N C=20.【举一反三】1【证明】(根据BD平分N ABC应用角平分线性质构造全等)如图:过点D作DELAB于点E.DF_LBC于点F,在BC上截取BG=BD,连结DG.V AB=AC,Z BAC=100,BD 平分N ABC 交 AC 于点 D,BG=BD.AZ ABC=ZACB=40.ZABD=ZCBD=20,N BDG=N BGD=8 0.Z DAE=8 0.AZ BGD=ZDAE.,?BD平分N ABC交AC于点D.过点D作DE LAB于点E,DFJ.BC于点F.A DE=DF,Z
16、AED=ZGFD=90.在AAED和AGFD中,VZ BGD=ZDAE,Z AED=ZGFD=90,DE=DF.证明一图AEDAGFD.AD=GD.在 4CGD 中,Z ACB=40,Z BGD=8 01则 N GDC=40=NACB,则 DG=GC.又:AD=GD.AD=GC.XV BD=BG.BC=BG+CG=BD+AD.【证明二】(通过对折变换以及截长补短构造全等)证明二图第13页,共30页精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载在BC上截取BF=BD,连结DF.在BC上截取BE=AB,连结DE.V AB=AC,Z BAC=100.BD 平分N ABC 交 AC 于点 D,BD=BF
17、.AZ ABC=ZACB=40,Z ABD=Z CBD=20.ZBDF=ZBFD=8 0,,Z FDC=ZBFD ZACB=8 040=40=ZACB.FD=FC.在ABAD和AEAD中,V AB=EB,Z ABD=ZCBD=20,BD=BD.BADA EAD.AZ BED=ZBAC=100,DA=DE.AZ DEF=8 0.又,:乙 BFD=8 0.AZ DEF=ZBFD.DE=DF.又DA=DE,FD=FC.BC=BF+FC=BD+CF=BD+DF=BD+DE=BD+AD.【证明三】(戳长补短”构造全等)延长BD至U F,使得BF=BC,连结CF.在BC上截取BE=BA,连结DE,V AB
18、=AC,Z BAC=100.BD 平分N ABC 交 AC 于点 D,BD=BF.AZ ABC=ZACB=40,Z ABD=Z CBD=20.AZ ADB=60.在ABAD和AEAD中,V AB=EB,Z ABD=ZCBD=20BD=BD.*.BAD 丝 BED.AD=ED,Z ADB=ZADE=60.AZ CDE=ZCDF=60.VZ CBD=20,BF=BC.AZ BFC=NBCF=8 0.又,:乙 ACB=40.AZ DCF=40=ZACB.在4FCD和4ECD中,VZ CDE=ZCDF,CD=CD,NACB=NDCF.FCDAECD.DF=DE.又,:AD=ED.AD=DF.BC=BF
19、=BD+DF=BD+DE=BD+AD.【证明四】(通过构造含有 30角的直角三角形)证明三图延长BD至U F,使得DF=DA.连接AF,过点B作BN1AF于点N,作AM,BC于点M,第14页,共30页精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载AB=AC,Z BAG=100,BD 平分N ABC 交 AC 于点 D,ABC=NACB=40。,Z ABD=Z CBD=20.AZ ADB=60.;DF=DA.AZ DAF=ZDFA=30.又:BN1AF./.BN=1 BF.2V AB=AC,Z BAC=100.AMBC 于点 M,BNAF./.Z BAM=Z CAM=50.ZBMA=90=ZBNA
20、,MB=MC.XVZ DAF=30,Z BAC=100.AZ BAN=50=ZBAM.在4BNA和aBMA中,BNA=NBMA,ZBAN=ZBAM,AB=AB./.BNAABMA.BN=BM.VMB=MC,BNBF.2/.BD+AD=BD+DF=BF=2BN=2BM=BM+MC=BC.【证明五】(通过作平行线构造等腰三角形)证明四图过点D作DEBC交AB于点E,在BC上截取BF=BD,连结DF.V AB=AC,Z BAG=100,BD 平分N ABC 交 AC 于点 D.ABC=NACB=40,N ABD=N CBD=20,Z BDF=Z BFD=8 0.N FDC=NBFD NACB=8 0
21、40=40=ZACB./.DF=FC.DEBC.CBD=NEBD=20,N AED=N ABC=N ACB=NADE=40.ED=BE,AD=AE.XV AB=AC.EB=DC=ED.在AAED和 DFC中,TZ AED=ZFDC,ED=DC,NADE=NFCD,AEDA DFC.DE=DC,AD=CF.又:BD=BF.证明五图BC=BF+FC=BD+CF=BD+AD.如果作为竞赛训练题还有其它解法.(下面只提供一种)【证明六】(构造等边三角形)以BC为边作正EBC,连结EA.V AB=AC,Z BAC=100,BD 平分N ABC 交 AC 于点 D,正 aEBC.AZ ABC=ZACB=4
22、0,Z DBA=Z DBC=20,Z EBA=20,Z ADB=60,ZBEC=60.第15页,共30页精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载以B为圆心,以BD为半径画弧交 AE于点F,则BD=BF,连结 AF.,;BF=BD,N EBA=NDBA,BA=BA.FBAA DBA.AF=AD,Z ADB=Z AFB=60.VAB=AC,EA=EC.E、A都在BC的垂直平分线上.A AE 1 BC,AE 平分 BC.又 AB=AC,Z BEC=60.EA 平分N BEC,Z AEF=30.又AFB=60n.AZ EAF=ZAFBZAEF=30=ZAEF.AF=EF.又,.AF=AD,BC=B
23、E,BD=BF.,BC=BE=BF+EF=BD+AF=BD+AD.【举一反三】2.【证明】在 AB上截取AE=AC,连接DE.VAE=AC,AB=AC+CD.EB=CD.:AD 平分N BAG.AZ BAD=ZCAD.,;AE=AC,NBAD=NCAD,AD=AD.ADE ADC.,DE=DC,NAED=NC.XV CD=EB.DE=EB.,NB=NEDB,Z C=ZAED=ZB+ZEDB=2ZB.AZ B:ZC=1:2.【证明二】延长 AC至U E使得AE=AB,连接DE.VAE=AB,AB=AC+CD.CE=CD.AZ E=NCDE,NACB=NCDE+NE=2NE.AD 平分N BAG.
24、AZ BAD=ZCAD.*.*AE=AB,NCAD=NBAD,AD=AD.ADEA ADB.AZ E=ZB.XV Z ACB=2Z E.AZ ACB=2ZB.AZ B:ZACB=1:2.例3.【证明一】延长 FM到点G,使得MG=FM,连接BG.VMB=MC,NAMG=NCMF,MG=MF.BMGA CMF.CF=BG,N G=N CFM.:AD ME.AZ CFM=ZDAC,NCFM=NE.G证明一图第16页,共30页精品pdf资料 欢迎卜.我学习必备 欢迎下载VZ DAC=ZBAD.N CFM=N BAD=N E=N G.,BE=BG,而 BG=CF,则 BE=CF.BE=AB+AE,AE
25、=AF.2BE=AB+AF+CF.即:CF=BE=1(AB+AC).【证明二】利用中点构造中位线证明.过点B作BG EM交CA的延长线于点 G.V BG/7 EM,M为BC的中点./.CF=FG.:BGEM,ADME,AD 平分N BAC.证明二图N BAD=N CAD,N CAD=N G=N AFE,N BAD=N ABG=N E.N ABG=NG,N E=N AFE.AB=AG,AE=AF.BE=AB+AE=AG+AF=FG=CF=gcG=;(AC+AG)弓(AB+AC).例4【证明】连接PN.;P为BC的中点,N为CD的中点.NPBC,NP=-BC.2又 Q为MN的中点.A ME=QM_
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