清华大学物理课件:第八章 晶体的能带结构.pdf
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1、第八章 固体的能带结构第八章晶体的能带结构刖B物理学前言之一材料的性质大规模集成电路 半导体激光器 超导人工微结构从STM得到的硅晶体表面的原子结构图 28.1晶体的能带一.电子共有化晶体具有入量分子、原子或离子有规则排列的点阵结构。电子受到周期性势场的作用。按量子力学须解定态薛定格方程。3解定态薛定格方程(略),可以得出两点重要结论:L电子的能量是分立的能级;2.电子的运动有隧道效应。原子的外层电子(高能级),势垒穿透概率 较大,电子可以在整个晶体中运动,称为 共有化电子。原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是共有化电子。4 能带(energy band)量子力学计算表明,晶体中若有N个
2、 原子,由于各原子间的相互作用,对应于 原来孤立原子的每一个能级,在晶体中变 成了 N条靠得很近的能级,称为能带。5能级能带能带的宽度记作AE,数量级为AE-eVo若AM 023,则能带中两能级的间距约10-23eV o 一般规律:L越是外层电子,能带越宽,AE越大。2.点阵间距越小,能带越宽,AE越大。3.两个能带有可能重叠。60 离子间距能带重叠示意图7三.能带中电子的排布晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。排布原则:L服从泡里不相容原理(费米子)2.服从能量最小原理设孤立原子的一个能级E/,它最多能容 纳2(21+1)个电子。这一能级分裂成由N条能级组成的能带后,能带最多能
3、容纳2NQ/+1)个电子。82N(2/+1)例如,Is、2 s能带,最多容纳2N个电子。2p、3 P能带,最多容纳6N个电子。电子排布时,应从最低的能级排起。有关能带被占据情况的几个名词:1.满带(排满电子)2.价带(能带中一部分能级排满电子)亦称导带3.空带(未排电子)一亦称导带4.禁带(不能排电子)98.2(补充)布洛赫定理左空间一.布洛赫定理一个在周期场中运动的电子的波函数应 具有哪些基本特点?在量子力学建立以后,布洛赫(F.Bloch)和布里渊(Brillouin)等人就致力于研究 周期场中电子的运动问题。他们的工作为 晶体中电子的能带理论奠定了基础。布洛赫定理指出了在周期场中运动的电
4、子 波函数的特点。10在一维情形下,周期场中运动的电子能量E的 和波函数”a(x)必须满足定态薛定谖方程力2 d22m dx2+/(*)笆(x)=万(A)Wk(x)(1)k表示电子状态的角波数一周期性的势能函数,它满足V(x)=V(x+na)a-晶格常数n 一.任意整数11布洛赫定理:满足(1)式的定态波函数必定具有如下的特殊形式 ik(x)=eikxuk(x)(2)式中以(x)也是以为周期的周期函数,即 uk(x)=%(x+no)*具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数,或布洛赫函数。注*:关于布洛赫定理的证明,有兴趣的读者 可以查阅固体物理学黄昆原著韩汝琦改编(1988)P15412布洛
5、赫定理说明了一个在周期场中运动的电子 波函数为:一个自由电子波函数与一个具有 晶体结构周期性的函数W(x)的乘积。它是按照晶格的周期调幅的行波。这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向,又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。只有在以(X)等于常数时,在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。因此,布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。13.周期性边界条件实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。在固体问题中,为了既考虑 到晶体势场的周期性,又考虑到晶体是有限 的,我们经常合理地采用周期性边界条件:设一维晶体的原子数为N,它的线度为L=Na,则布洛赫
6、波函数儿(刈应满足如下条件i/k(x)=i/k(x+Na)(3)此式称为周期性边界条件。采用周期性边界条件以后,具有N个晶格点的 晶体就相当于首尾衔接起来的圆环:周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数的 波数A只能取一些特定的分立值。证明如下:由周期性边界条件 匕(X)=6(x+N)(3)按照布洛赫定理:左边为%(x)=/”(*)右边为 甲 k(x+Na)=eikx+Nauk(x+Na)=eikNaeikxuk(x)=eikNyk(x)所以 eikNa=1kNa=ln7i(n=0,l,2,)即周期性边界条件使k只能取分立值:2万 27rk=n2=n(=
7、0,1,2,)Na L 16k-n n n-0,+l,+2,)Na L人是代表电子状态的角波数,是代表电子状态的量子数。对于三维情形,电子状态由一组量子数(%、y、%)来代表。它对应一组状态角波数(段、号、)。一个k对应电子的一个状态。17三.k空间我们以 勺、勺、也 为三个直角坐标轴,建立 一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、k空间,或动量空间*。在左空间中,电子的每个状态可以用一个状态点来表示,这个点的坐标是&=?(“X=0,1,2,)ky=Yny(%=0,1,2,)kz=nz.=0,1,2,)注:由于德布洛意关系P,即7=力后,所以k空间也称为动量空间。nkx=(nx=0,1,2,)上
8、式告诉我们;沿空间的每个坐标轴方向,电子的相邻两个状态点之间的距离都是今0 因此/空间中每个状态点所占的体积为(曾3。图3表示二维斤空间每个点所占的面积是 多图3二维元空间 示意图19 8.3克朗尼格朋奈模型 能带中的能级数目能带理论是单电子近似理论。它把每个电子的 运动看成是独立地在一个等效势场中的运动。布洛赫定理指出,一个在周期场中运动的电子,其波函数一定是布洛赫函数。周期性边界条件的 引入,说明了电子的状态是分立的。现在再来说明电子的能量有什么特点?一.克朗尼格-朋奈模型下面我们通过一个最简单的一维周期场 克朗尼格-朋奈(Kroning-Penney)模型来说明 晶体中电子的能量特点。2
9、0克朗尼格-朋奈模型是把图1的周期场简化为 图4所示的周期性方势阱。假设电子是在这样的 周期势场中运动。图4克朗尼格-朋奈模型在0VXV4 一个周期的区域中,电子的势能为u(x)=J(0 xe)Uo(c x duk3+Zik-+d x dx=22利用波函数应满足的有限、单值、连续等物理(自然)条件,进行一些必要的推导和简化,最后可以得出下式(maUQbysm(fia“、/八 一一+cos()=cos(A:a)(4)式中(3=1h而 k=是电子波的角波数*。(4)式就是电子的能量E应满足的方程,也是电子 能量E与角波数k之间的关系式。注*:有兴趣的读者可参阅固体物理基础 蔡伯熏编(1990)P2
10、68o23(maUbhA/3a)-L-+cos()=cos(Ara)(4)I 力)P a(4)式的左边是能量E的一个较复杂的函数,记作/();右边是角波数九的函数。由于 coska 1的E值 都不满足方程。下图5为 给出了一定的、(4数值后的艇):24f(E)图5 烟函数图由图看出,在允许取的E值(暂且称为能级)之间,有一些不允许取的E值(暂且称为能隙)。下面的图6为七九曲线的某种表达图式。253ti 2 7i 7i 2 3兀 ka a aEk曲线的表达图式图626图中 为“许可的能量”,称为能带*。两个相邻能带之 间的能量区域称 为禁带。晶体中电子的能量 只能取能带中的数 值,而不能取禁带
11、中的数值。知7 如 -fl O7 6,54321E九曲线的表达图式27(maUQbysm(fia)iO.、/八2 -L+8s(0a)=cos(ka)(4)E左曲线与有关、与乘积有关。乘积4。反映了势垒的强弱。计算表明:M力的数值越大所得到的能带越窄。由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大,与外层电子相比,它们的势垒强度较大。所以,内层电子的能带较窄。外层电子的能带较宽。28从石左曲线还可以 看出:左值越大,相应的能带越宽。,2乃 2乃/k=n-=n Na L(n=0,1,2,)由于晶体点阵常数。越小,相应于4值越大。因此,晶体点阵常数 越小,能带的宽度就越大。7 6,54321九曲线的表达图式
12、有的能带甚至可能出现重叠的现象。这些都与 8.1节“概述”中介绍的结论是一致的。-29-.能带中的能级数晶体中电子的能量不能取禁带中的数值,只能取能带中的数值。由图5可以看出:77 7T第一能带4的取值范围为一二tt tt 2tt第二能带左的取值范围为第三能带九的取值范围为一网n亥,网n也 a a a a2 77每个能带所对应的k的取值范围都是*。注*:我们把以原点为中心的第一能带所处的左值 范围称为第一布里渊区;第二、第三能带所处的 人值范围称为第二、第三布里渊区,并以此类推。30每个能带所对应的左的取值范围都是:O而在兄空间每个状态点所占有的长度为 葺,因此,每一能带中所包含的(状态数)能
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