《金融衍生品》课件_第20章_利率期权.pdf

第二十章利率期权第一节利率期权市场 第二节欧式债券期权的定价 第三节利率上限和利率下限的定价 第四节欧式互换期权的定价 第五节曲率调整和时间调整 一、交易所交易的利率期权 二、场外市场交易的利率期权 三、内嵌的利率期权一、交易所交易的利率期权 债券期权：交易双方在合约中事先规定，在约定的日期（或约定的日期到期之前的任意时 间），按照预先约定的价格买入或卖出一定数量的某一种债券的权利。利率期货期权:利率期货合约的基础上产生的期货期权的一种。同其它期权一样，期权 购买者支付期权出售者一笔期权费，以取得在未来某个时间或该时间以前，以事先约定 好的某种价格水平（利率）做多或做空某项利率期货的权利。如CME交易以欧洲美元利率期货为标的的欧洲美元期货期权，CBOT交易以2年期美国 国债期货、5年期美国国债期货和10年期美国国债期货、长期国债和超长期国债为标的的 国债期货期权等。二、场外市场交易的利率期权()利率上限(Int erest Rat e Caps)(二)利率下限(Int erest Rat e Floors)(三)利率双限(Int erest Rat e Collars)(四)利率互换期权(Swapt ion)（-）利率上限 利率上限:交易双方（一般是银行和客户）指定某一种市场参考利率（如SHIBOR、LIBOR）,同时确定一个 固定利率和名义本金，利率上限的买方向卖方支付一定数量的期权费用后，买方从卖方处获得以下权利：即在未来一个或多个计息期，如果市场参考利率高于约定的固定利率，买方行使权利，卖方需向买方支付按市场 利率高于约定固定利率的差额计算的利息；如果市场参考利率低于约定的固定利率，行使权利对买方不利，买方不行使权利。利率上限每一个或有支付称为一个利率上限单元，利率上限由多个利率上限单元构成。利率上限是浮动利率借款方的利率风险管理工具 浮动利率借款加上利率上限后，确保在任何给定时刻所支付的利率是市场当前利率与上限利率中的较小者。当贷款的利率上限与贷款本身都是由同一家金融机构提供时，利率上限所包含期权的成本常常被合并在应支付的 利息内。当它们由不同的金融机构提供时，为获得利率上限，可能会要求事先支付一笔期权费。通过支付期权费，浮动利 率的负债方买入利率上限后，能够规避浮动利率上升的风险，同时保留利率下降的好处。（二）利率下限 利率下限:交易双方（一般是银行和客户）指定某一种市场参考利率，同时确定一个固定利率和名义本 金，利率下限的买方向卖方支付一定数量的期权费用后，买方从卖方处获得以下权利：即在未来一个或多个计息期，如果市场参考利率低于约定的固定利率，行使权利对买方有利，买方行使权 利，卖方需向买方支付按市场利率低于约定固定利率的差额计算的利息；如果市场参考利率高于约定的固定利率，行使权利对买方不利，买方不行使权利，与卖方之间不发生利息 支付。同样，利率下限由多个利率下限单元构成。利率下限是浮动利率贷款方的利率风险管理工具 浮动利率资产加上利率下限后，确保在任何给定时刻所获得的利率是市场当前利率与下限利率中的较大者。通过支付期权费买入利率下限，浮动利率资产持有人能够规避浮动利率下跌的风险，同时保留利率上升的 好处。（三）利率双限 利率双限，也称为利率上下限，是指将利率上限和利率下限两种金融工具结合使用，具体地说，购买一 个利率双限，是指在买进一个利率上限的同时，卖出一个利率下限，以收入的手续费来部分抵消需要支出 的手续费，从而达到既防范利率风险又降低费用成本的目的。而卖出一个利率双限，则是指在卖出一个利率上限的同时，买入一个利率下限。通过买入利率双限，浮动利率借款方可以将借款利率锁定在下限利率和上限利率之间；通过卖出利率双限，浮动利率资产投资者也可以将贷款利率锁定在下限利率和上限利率之间。利率双限中，如果上限利率和下限利率设置适当，使得利率上限价格等于下限的价格，利率双限的价格可 以为0。如果将上限利率设定等于下限利率，这样的利率双限实际上是一个利率互换。(四)利率互换期权 利率互换:是指双方同意在未来的一定期限内根据同种货币的同样的名义本金定期交换现金流，其中一方 的现金流根据浮动利率(Shibor)计算出来，而另一方的现金流根据固定利率计算。即期利率互换:起息日是利率互换开始计息的日期，大部分在互换成交日的后一个交易日，对这种成交后 就起息的互换，我们称之为即期利率互换。远期利率互换：还有一些利率互换的起息日在互换成交日后的较长一段时间，如半个月或一个月以后，这类互换称之为远期利率互换。利率互换期权：期权买方向卖方支付一定数量的期权费后，获得了在将来某时进入一个事先安排好的利 率互换的权力，实质上是以远期利率互换的互换利率为标的的期权。互换期权有两种基本形式，即支付方互换期权(Payers Swapt ion)和收取方互换期权(Receivers Swapt ion)o 支付方利率互换期权也称看涨互换期权，是指期权买方期权在期权到期日有权按照事先约定好的互换利 率进入支付固定利率、收取浮动利率的利率互换；收取方利率互换期权又称看跌互换期权，是指期权买方在期权到期日有权按照事先约定好的互换利率进 入收取固定利率、支付浮动利率的利率互换。(1)支付方利率互换期权 支付方利率互换期权与利率上限具有相似性。利率上限的买方拥有定期收取浮动利率而支付固定利率的权利，并在浮动利率高于固定利率时行使这种 权利，利率上限的买方在每个时间段上都对是否执行期权具有选择权，因此利率上限是数个期权的组合。类似地，支付方互换期权的买方也拥有收取浮动利率而支付固定利率的权利，不过支付方互换期权的买 方只能在互换期权到期时一次决定是否执行选择权，支付方互换期权是一个组合为标的的期权。期权到期时，在标的互换的市场互换利率高于协议互换利率情况下，支付方互换期权买方才会执行 期权进入一个支付方互换。当投资者预计未来需要进入支付方互换时，可以通过买入一个支付方互换期权规避互换利率上升 的风险。如果只是投机性交易，支付方互换期权的买方执行了期权进入了一个利率互换后，如果不对利率互换做相 反方向的对冲交易，并不能保证利率互换在未来每一个时间段上都获取正的回报。通过按照市场互换利 率进入一个收取方利率互换，就可以锁定市场互换利率与协议互换利率之间正的利差。(2)收取方利率互换期权 收取方利率互换期权与利率下限具有相似性。利率下限的买方拥有定期收取固定利率而支付浮动利率的权利，并在固定利率高于浮动利率时行使这种 权利，利率下限的买方在每个时间段上都对是否执行期权具有选择权，利率下限是数个期权的组合。类似地，收取方互换期权的买方也拥有收取固定利率而支付浮动利率的权利，不过而收取方互换期权的 买方只能在互换期权到期时一次决定是否执行选择权。因此收取方互换期权是一个组合为标的的期权。期权到期时，在标的互换的市场互换利率低于协议互换利率情况下，收取方互换期权买方才会执 行期权进入一个收取方互换。当投资者预计未来需要进入收取方互换时，可以通过买入一个收取方互换期权规避互换利率下降的 风险。如果只是投机性交易，收取方互换期权的买方执行了期权进入了一个利率互换后，如果不对利率互换做相 反方向的对冲交易，并不能保证利率互换在未来每一个时间段上都获取正的回报。通过按照市场互换利 率进入一个支付方利率互换，就可以锁定协议互换利率与市场互换利率之间正的利差。三、内嵌的利率期权 可提前赎回债券：内嵌赎回条款的长期公司债券允许发行公司在特定的时间以特定的价格从投资者手中买回债券，即发 行公司拥有一个内嵌在债券合约中的看涨期权。赎回条款的价值依赖于债券的价值，而债券的价值依赖于利率，因此这个赎回条款在本质上是一个利率期权。通过发行内 嵌赎回条款的债券，在未来市场利率大幅度下降时，债券发行人可以按照低市场利率重新发行债券，置换之前的债券，达到 降低融资成本的目的。可回售债券：内嵌回售条款的长期公司债券投资者有权要求发行公司在特定的时间以特定的价格从投资者手中买回债券。内嵌回售条款降低了债券投资者所面临的因市场利率上升导致债券价格下降的风险。抵押的不动产贷款：绝大部分的不动产抵押贷款都可以提前偿，这个提前偿还条款是贷款人提供给借款人选择权。抵押担保证券(Mortgage-Backed Security,MBS):抵押担保证券以住房抵押贷款为基础形成一个组合或不动 产抵押池，以此资产池为支持发行债券。在组成MBS的抵押贷款中，每期都有一些被提前偿还。抵押支持证券(Collateralized Mortgage Obligation,CMO):CM。是通过将抵押贷款的现金流分解后从新打 包以满足不同投资者的需求。大量的抵押贷款被打包或者分为几个部分”，每一部分的风险和收益均不相同。持有最安 全部分的投资者能收取的息票率最低，但是有权作为第一顺位获得抵押贷款人的付款。而持有风险最大部门的投资者能收 取最高息票率，但是如果抵押贷款人不能支付月供，那么他们则是第一个受损的人。内嵌的利率期权价值分析 对于可赎回的债券、可回售债券、抵押贷款和抵押担保证券等而言，需要清晰认识其内嵌 的期权的特征，这是理解这类资产的价值和投资特征的关键。一般将含有内嵌期权的金融工具价格分解成两部分，主体价值和期权价值，主体价值是不 含期权的同类工具的价值。含内嵌期权的金融工具的价值=主体价值士期权价值 内嵌期权既可能增加主体的价值，也有可能降低主体的价值。如可赎回债券中的赎回条款是发行者拥有的一个债券看涨期权，从投资的角度看，它降低 了债券的价值。可回售债券中的回售条款是投资者拥有的一个债券看跌期权，从投资的角度看，它增加了 债券的价值。抵押贷款和抵押担保证券中，借款人拥有一个提前偿还的期权，因此期权降低了资产的价 值。第二节欧式债券期权的定价对于债券期权定价时，再假定利率是常数是不合理的，因此使用BSM期权定价公式是不合适的，这时需要使用Mert on欧式期权定价公式对欧式债券期权定价。设标的债券的远期价格产)的波动率为常数则到期日为T的欧式债券期权定价公 式为c(0)=P(0,T)F(0)N(dD-KN(d2)(20.1a)p(0)=P(0,T)KN(-82)F(o)N(dj(20.1b)其中，P(0,T)为贴现因子尸(0)=0时到期期限为T债券的(理论)远期价格,号)+海di=-(20.1c)aVTd2=(tfVt(20.Id)对于固定利息债券，产(0)使用支付己知现金收益资产的远期价格公式计算，即8(0)-IF(0)=二 十、0,加=tt-ti=1，,恒。远期互换的名义本金为2=1元。市场上，时刻远期互换的协议利率(即 互换利率)定义远期互换利率&K(t)(t W 3随着时间变动会发生变化。支付方利率互换可看作浮动利率债券多头和固定利率债券空头的组合。在互换的开始 的片时，浮动利率债券的价值总是等于互换的本金的金额，因此浮动利率债券在r时的价值 为V/zQ)=P(t,M)(20.13)而固定利率债券等于利息和本金的贴现值之和，即NVf-t)=，P(t+P(t M)i=l因此，支付方远期互换的价值为乙卬叩=勺。)V/以 N=P(0)-P(咕V)(咕)i=l由乙卬即=0,得到公平的远期互换协议利率Rfk(C)为D 小P(“0)”(%)Pg)(20.14)(20.15)(20.16)二.互换期权的到期支付我们以支付方互换期权为例进行分析.互换期权的标的互换的利率重置日和支付时间 的设定与远期互换一致。设互换期权的到期日为丁(TWt。)，协议利率为名义本金为=1 元 0在期权到期日T,协议利率为联的远期互换的价值由(20.15)式计算，很显然，期权 到期日丁时，只有协议利率为或K的远期互换的价值大于0时，期权的买方才会执行期权，即支付方互换期权在到期日T时的支付函数为r Nmax O,P(7；to)-P(T,tv)-AtR、，P(ZG)-i=1(12.17)由(12.16)式，有NP(T,to)-P(T,tN)=&IRfk(T)P(T,Q Ak的情况下，支付方互换期权执行期权进入一个协议利率为夫女 的支付方互换，同时进入一个协议利率为外(7)的收取方互换进行对冲，锁定在未来支付日 上的N个相同的利差便尸晨丁)一区长，N个利差贴现到T时的贴现值之和为 HRfk(T)-Rk X；iP(T，G)，这也是在7时执行期权的支付。IRfkE 工Rk，放弃执行期权，期权到期时支付为0。互换期权定价公式定义：S1（力=尸（七工0）-P（t ZAr）=ERfk22。（七左）S2。）=七7?犬二21尸（七片）支付方互换期权可以看成SMt）与SzQ）的交换期权，且这两个资产是不支付红利的资产。S1（力与S2（t）的比值的七十?r 比值的波动率等于远期互换利率Rfk）的波动率，假设其 波动率为常数。从交换期权的崛晒比定价公式，可以得到欧式互换期权的Black公式。假设远期互 换利率Rfk的波动率为常数0fk，支付方互换期权在0时的价值为r N-aP(O,to)-P(0,tv)2V(di)-困;2P(0也)N)-i=1-(12.20a)收取方互换期权在0时的价值为N啊，尸(0G)i=lN(-d2)-P(O,to)P(Mn)N(-di)(12.20b)其中di=E 尸（0工o）-P（。工n）口 啊1 o(JFKy/r(12.20c)d?=支-OpKyT(12.20d)W。（。幻例20.3假设LI BOR收益率曲线是平坦的，年利率4%,按连续复利计息。考虑如下支 付方互换期权，持有者具有在1年后开始一个3年期支付方利率互换的权利，互换期权的协 议利率为4.2%,每半年支付一次，本金为$1000万。远期互换利率的波动率为20%。在这 种情况下|6_.0,04x1.5,|_ g0.04x2+g0.04x2.5+g0.04x3+g0.04x3.5+g0.04x4 _ g 3781i=lP(0,l)一 P(0,4)=e-0-04 xl-”04 x4=0.10%另外，在这个例子中，乙=$1000 万，At=0.5,Rk=4.2%,T=l,aFK=0.2a 因此，r 0.108 6 1)I n-1-x 0.22 x 1j L0.5 X 0.04 2 X 5.378 1J 2 n noooui=-=.-=-0.09oo0.2 X VId2=rfi-Ofk=-0.0938-0.2V1=-0.2938从方程式(20.11)可得互换期权的价值为10 X 0.1086/V(-0.0938)-0.5 X 0.04 2 X 5.378 12V(-2.0938)=$0.068 2(百万)即$68200。第五节曲率调整和时间调整 一,债券收益率的曲率调整及应用二、时间调整及应用一,债券收益率的曲率调整及应用(一)债券收益率的曲率调整考虑为这样一个利率衍生产品定价：其回报依赖于回报发生时所观察到的某一债券(到 期)收益率。该债券可以是一个贴现债券、固定息票债券或者等额年金债券等等。对于一个债券，其收益率随着债券价格的变化而变化。债券收益率由计算收益率时的债券价格所确定，远期债券收益率是债券远期价格所隐含 的利率。假定B(T)为一个债券在T的价格，y(T)为债券到期收益率。B(T)与y(T)之间的函 数关系为=Gy(T)(20.21)定义。时到期时间T的债券远期合约的远期价格为F(0,T),0时的远期债券收益率为 由定义可得F(0，D=GyF(0，n(20.22)即远期债券收益率是根据债券当前的远期价格计算的收益率二债券到期收益率为标的的衍生产品的定价思路我们考虑了一个到期回报依赖于T时的俵券到期收益率的衍生产品，其到期支付为V(T)=吨(功以T时到期的贴现债券格P(t 7)价作为计价物(即远期风险中性概率测度下)对该衍生产品 定价，可以得到V(0)=P。时/(20,24)在计算以上期望值时，一个关键变里是，y(DI。该倭券的远期价格已知的前提下，我们可以计算的远期债券到期收益率即(0.7)。如何用远期倭券到期收益率yXO来计算玲IW3?债券远期合约的远期价格是一个鞅当采用与远期具有相同到期日的贴现债券作为计价物的概率测度下(远期概率测度)，远 期价格是一个鞅。证明：考虑到期日为T的一份远期和到期日也是T的一单位贴现债券，为远期价格,P(C O 表示t时(t T)的贴现债券价格。在0时刻构建并持有到期时间为T的投资组合：一份远期多头，同时买进尸(0)单位到 期日为T贴现债券s T时刻投资组合的价值为：P(tr)F(t)o在r时贴现债券的价值为F(0)P(t，n；而远期的价值可以通过在r时以F(。的价格卖出一份到期日为T的远期来对冲远期多头 锁定，这样操作锁定了 T时的净现金收入F)-F(0),该现金流在r时的价值位P(t,T)F-尸(0)。产(0)P(,7)+P(,T)F(t)-F(0)=P(tr)F(t)以P(,T)价格为计价物时，比值P(t,T)F(t)/P(C T)=尸()在以P(t,T)为计价物的概率测度(远 期测度)下，必定是一个鞅。且F(0,T)=EF(TfT)=EB(T)债券饰格曲率调整的原因1:因此，有GyF(O,T)=；rGy(T)圉20.1曲率调整(20.23)因G是非线性函数，使得y(。的期望值E：y(T)并不等于京(0,7)。图20.1显示了差异是如何产生的，以及如何进行曲率调整。该图给出了佶券价格和传 券收益率之间的关系。为简单起见，我们假设只有三个可能的偌券价格，旦(7)、足(力和用(7)，且以尸仕7)作为计价物的概率测度下出现的可能性相同。假定价格是等间距的，即4-5=旦-4。这些倭券价格转换成等可能性的收益率:)，1(7)、”(73和门(7)，收益率不是等间距的。曲率调整的原因2:在上述假定下，&0,7)=8式7)+582(力+83(力=82(7因此变里儿(心也等于远 期佶券到期收益率yMO,T)。倭券T时刻到期收益率期望值尾y(T)是以、及和白的平均值，显然大 于)，2(0，即大于远期倭券到期收益率9T)。yF(0,D和尾ly(D I Z间的差值就是函数G的曲率所决定。13 Yi收益率曲率调整的原因2:可以证明，在远期概率测度下，耳，(7)近似等于玲回功=YF(。与门(0孙2埠丁等黑(20.25)2)GyF(0,T)其中，。行远期收益率的波动率，C和G,是函数G的一阶和二阶偏导数。俵券收益率在远期概率测度下的期望值E；yI与远期收益率yF(。，。之差为1/6】2/3屏(0,0一小9句吃丁丽而因此，如果一个衍生产品的到期回报依赖于回报发生了时所秋察到的某一倭券收益率，以7时到期的贴现俵券为计价物对该衍生产品定价时，在远期概率刎度下倭券收益率的期 望值相对于远期收益率%(0,7)需要进行曲率调整。(1)应用1:产品支付依赖于市场利率作为收益率曲率调整的应用，我们考虑以下产品：产品在时间T支付本金上按照7与 T+At之间的LI BOR利率所计算的利息、，即在T时支付利息LR(T)At,其中R(T)为T时的 期限为At的LI BOR利率。一般，7与T+At之间利息应该在期末T+At时支付，但这个 产品的利息是在T时支付。在T时，变量R(T)可以看成T+At到期的贴现债券的收益率y(T),贴现债券在7时 的价格与其收益率之间的关系式为1Gy(T)=”.(/加因此，有E?R(T)=Ey(T)=YfT)-为5(0,：023学霜计算出G和G,代入上式后可以得到ETR(T)=yF(O,T)+屏(0,灯2哈7At i+yr(o,r)At(20.26)其中，yF(o,r)是T+At到期的贴现债券的在0时计算出的T时的远期价格对应的远期债券收益率，远期收益率的波动率。产品在0时的价值为(必皿嬴。+锣豁 4 八 1+yF(O,73At 1时于贴现债券，其远期债券收益率yF（O,T）等于远期利率“0,77+At）,%,尸也等于远期利率 的波动率盯。例20.4 一个衍生产品，在2年后提供的收益率等于那时的6个月期的SHIBOR利率乘 以100万元。SHIBOR互换的零息票利率曲线（6个月计息一次）为：0.5年1年1.5年2年2.5年3.5%3.7%3.9%4.0%4.1%2到2.5年之间的远期利率的波动率为15%。对该产品进行定价。)4口 *0,225)4.0%21+2到2.5年之间的远期利率由下式计算,4.1%.解得f(0,2,2.5)=4.50%4远期债券收益率力(0,2)=4.50%,贴现因子P(0,2)=1/(1+学=0.9238,T=2,At=0.5,=0.15,=100 万 将参数代入定价公式，得到衍生产品的价值0.9238 X 1 000 000 X 0.5 X 0.045+om5、o,i5Xxo.5=20806(元)L 1+0.045X0.5 J不做曲率调整时,产品价值为20786(=0.9238 X 1 000 000 X 0.50 X 045)元。（2）应用2:收益依附于互换利率的衍生证券我们考虑一款金融衍生产品，它在7时的支付依赖于那时所观察到的即期互换利率。这款金融衍生产品等价于依赖于平价债券到期收益率的产品，原因如下：对一个支付方（收取方）互换定价时，可以将互换分解成一个浮动利率债券多头（空头）和固定利率债券空头（多头）的组合，并且一般使用互换的基准利率对互换定价。这里签订 即期互换时，其价值为0。使用互换的基准利率对互换定价，互换中分解出的浮动利率债券 等于互换的面值，所以固定利率债券都等于互换的面值。因为平价债券的到期收益率等于其息票利率，互换利率是固定利率债券的息票利率。所以互换利率可以看成平价债券到期收益率。对该衍生产品定价时，必须对远期互换利率进行曲率调整。例20-5考虑如下金融产品，三年后收益等于那时的三年期互换利率乘以100元。假设 该互换每年支付一次，对所有期限的LIBOR/互换零息票利率都是12%（按年计复利），三 年后开始计息的三年期远期互换利率的波动率测度是22%（由互换期权隐含波动得到）。在这种情况下：G(y)=0.12 0.12 1.12-F-+-i+y(i+y)(i+y)3G8)=0.12(1+4024 3.36(l+Q+y)4、0.24 0,72 13.44G(y)=-+-+-(i+j)3(i+y)4(i+加因为所有期限的LIBOR互换零息票利率都是12%,即水平的利率曲线，可以计算出3 年-6年的远期互换的互换利率也是12%。将（0,3）=12%代入，有6上（。，3）=-2.4018,G必（0,3）=82546。因此，E3y(3)=0.12+0.5x0.122 x0.222 x3x8.25462.4018=0.1236对这个金融产品估值时，我们应该假设互换利率的期望值为（H236（12.36%）而不是0.12,并在远期风险中性概率测度下估值。该金融产品的价值为：100 x0.12361.123=8.80二、时间调整及应用(-)时间调整我们要考察以下金融衍生产品的定价：该产品的支付发生在时间:T,但厂时支付的数量 C(L)依赖于T*之前的时间T(T 以及远期利率都服从几何 布朗运动。为了对这样的产品定价，在计算 WS(T)时需要进行以下近似的时间调整：E/即=端即即(-宣等尸(20.29)m 1其中，/(0,叮嗔为远期利率(一年计息那次)，%为远期利率的波动率，为标的资产的波 动率，ps4为远期利率与标的资产的相关系数。(二)时间调整的应用例20.5考虑一个衍生产品，其6年后的收益等于5年后的股指。假如当前的股指为 1 100,股指连续红利率为2%。股指波动率为20%,5年与6年之间的远期利率的波动率为 18%,并且股指与远期利率之间的相关系数为-04。进一步假设零息利率曲线是水平的，年 复利率为8%。对该衍生品定价。以5年期的贴现债券作为计价物，可以得到S(0)e2%x5 x 5(5)1所以.S-2%X5=1 100X e-2%x5 x(1+0.0切5=1462.45这里，Psf=-0.4,ds=0.2,ay=0.18,f(0,5,6)=0.08,m=1,T=5,T*=60 于是EjS(5)=1462.45 x exp-0.4x 0.2 x 0.18 x 0.08 x 1x 50.081+=1462.45 X 1.00535=1470.27再利用定价公式(20.28),将其从第6年贴现到0时刻，得到衍生产品的价值，即P(0)E/S(5)=92 6.52。所以，衍生产品的价值为 926.52。