高中数学极值点偏移问题.doc

极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权
一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义
对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,方程fx=0(f(x)=m)的解分别为x1,x2且a<x1<x0<x2<b.
若x1+x22≠x0，,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0偏移；
（1） x1+x22>x0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0左偏移；
（2） x1+x22<x0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0右偏移；

二：极值点偏移的判定定理
对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,方程fx=0（fx=m)的解分别为x1,x2且a<x1<x2<b.
（1） 若fx1<f(2x0-x2)则x1+x22<x0即函数f(x)在区间（a,b）上极大值点x0右偏；（即峰偏右）
（2） 若fx1<f(2x0-x2)则x1+x22>x0即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点x0左偏;（即谷偏左）
（3） 若fx1>f(2x0-x2)则x1+x22>x0即函数f(x)在区间上（a,b）极大值点x0左偏;（即峰偏左）
（4） 若fx1>f(2x0-x2)则x1+x22<x0即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点x0右偏;（即谷偏右）

x=x1+x22 x=x1+x22
y=m
x

y=f(x) x=x0 x=x0

拓展：
1） 若，则的图象关于直线对称；特别地，若（或f(x)=f(2a-x)），则的图象关于直线对称
2） 若函数f(x)满足∀x∈(0,a)有下列之一成立：
①f(x)在(0,a)递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x))
②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x))
则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）；
性质：
1) 的图象关于直线对称若x1,x2∈(0,2a)x1≠x2则 x1+x2=2a<=>fx1=f(x2),(f'x1+f'(x2)=0,f'x1+x22=0);
2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若x1,x2∈(0,2a)x1≠x2则fx1=f(x2)则x1+x2>2a,及f'x1+x22<0
极值点偏移解题步骤：
①求函数f(x)的极值点x0；
②构造函数F(x)=f(x+x0)-f(x0-x) (F(x)=f(x0-x)-f(x0+x), F(x)=f(x+2x0)-f(-x) , F(x)=f(x)-f(2x0-x))确定F(x)单调性
③结合F(0)=0（F(-x0)=0,F(x0)=0)判断F(x)符号从而确定f(x+x0),f(x0-x)( f(x+2x0)与f(-x); f(x)与f(2x0-x)）的大小关系;
答题模式：
已知函数y=f(x)满足fx1=f(x2),x0为函数y=f(x)的极值点,求证：x1+x2<2x0
①求函数f(x)的极值点x0；
②构造函数F(x)=f(x+x0)-f(x0-x) 确定F(x)单调性
③判断F(x)符号从而确定f(x+x0),f(x0-x) 的大小关系;
假设F(x)在(0,+∞）上单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+x0)>f(x0-x)
④
1.（2016年全国I高考）已知函数有两个零点. 设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2.
2. (2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）
已知函数f(x)=xe-x（xR）.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)
(Ⅲ)如果且证明
证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.
3. 已知函数．（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：当时，；
（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．
解：（I）
（i）若单调增加.
（ii）若且当

所以单调增加，在单调减少.
（II）设函数则

当.
故当， ………………8分
（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为
不妨设
由（II）得从而
由（I）知，
4．已知函数fx=xlnx-12mx2-x (m∈R)若f(x)有两个极值点x1,x2且x1<x2求证::x1∙x2>e2
5. 已知函数fx =ex-ax(a∈R)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1<x2其极值点为x°求证:①x1+x2>2
②x1+x2<2x°
③x1∙x2<1
（已知函数fx =ex-ax+a (a∈R) ，其图象与轴交于A(x1,0)B(x2,0)两点且x1<x2，求证：f'(x1∙x2)<0）
6. 已知函数fx =ln⁡(x+a)-ax(a>1)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1<x2
求证：x1+x2<0
7. 已知函数fx =a-1x-lnx(a∈R)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1<x2求证：2<x1+x2<3ea-1-1
8. 已知函数fx =xlnx f(x1)=fx2且0<x1<x2<1求证:①2e<x1+x2<1
②1<x1+x2<2e
9．已知函数fx =ln⁡x-ax(a∈R)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1<x2
求证：x1∙x2>e2
10. 已知函数fx =x-eax (a>0) f(x1)=fx2=0且x1<x2求证:x1x2<ae
11. 已知函数fx =lnx-ax-b(a,b∈R)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1<x2求证：x1∙x2<1a2
12. 已知函数fx =x2-a-2x-alnx(a∈R)若f(x)=c有两个不同根x1,x2求证：f'(x1+x22)>0
13. 已知函数fx =alnx-x2(a∈R)
①令gx=fx+ax,g(x)在(0,3)单调递增求a范围;
②当a=2时,函数h(x)=f(x)-mx的图象与轴交于A(x1,0)B(x2,0)且0<x1<x2又h'(x)是h(x)导函数,α>0,β>0且α≤β满足α+β=1证明:h'(αx1+βx2)<0
14．已知函数fx=lnx-k-1x (k∈R)
①若x>1时讨论f(x)的单调性，并确定其极值;
②若对∀x∈e,e2都有f(x)<4lnx,求k范围;
③若x1≠x2且 f(x1)=fx2证明：x1∙x2<e2k;
15. 已知函数fx=ax2+x-lnx, (a>0)
①讨论fx的单调性;
②f(x)的极值点为x°若存在x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2求证: x1+x2>2x°;
16. 已知函数fx=x2-1+aln1-x, (a∈R);
①讨论fx的单调性;
② 若f(x) 存在两个极值点x1,x2，x1<x2证明：f(x1)x2>f(x2)x1 ;
17. 已知函数fx=x+alnx与g(x)=3-bx在(1,1)处有相同切线；
①若y=2(x+n) 与y=f(x)图象有两个交点,求n范围；
②若Fx=3x-m2+m2gx-2fx有两个极值点x1,x2，x1<x2证明：Fx2<x2-1；
18. 已知函数gx=-ax2+(2-a)x+lnx, (a∈R)
①讨论fx的单调性;
②若f(x)=g(x)+(a+1) x2-2x有两个不同零点x1,x2, 证明：f'(x1+x22)<0;
19. 已知函数gx=x∙e2-ax , (a∈R);
①讨论gx的单调性;
②若f(x)=lng(x)-ax2 与y=m,(m∈R)图象有两个交点A、B,线段A、B中点为x°，证明：f'(x°)<0;
20. 已知函数fx=ax32-lnx-23图象的一条切线为x轴；
①求a值；
②令g(x)=fx+f'(x)若存在不同x1,x2满足 gx1=g(x2),证明: x1∙x2<1
21. 已知函数F(x)与f(x)=lnx关于直线y=x对称；
①若xf(x)≥ax-1对∀x∈(0,+∞)恒成立,求a最大值；
②设f(x)∙Fx=1在(1,+∞)的实根为x° ，mx=xfx (1<x≤x°)xf(x) (x> x°) 若在区间(1,+∞)上存在mx1=m(x2),求证：x1+x22>x°
22．已知函数fx=ex-12x2-ax, (a∈R)；
①若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值
②若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；
③如果函数g(x)=f(x)-(a-12)x2恰有两个不同的极值点x1,x2,证明: x1+x22<ln2a;
23．已知函数fx=x2-(a-2)x-alnx (a∈R)；
①讨论fx的单调性;
②设函数gx=-x3-ax2+a-a24若∃α,β∈(0,a】使得fα-f(β)<a成立求实数a取值范围;
③若方程f(x)=c有两个不等的实数根,求证：f'(x1+x22)>0
24. 已知函数fx=mx+1+nlnx m,n为常数，在x=1处的切线方程为 x+y-2=0
①若∀x∈1e,1使得对∀t∈12,2上f(x)≥t3-t2-2at+2恒成立求实数a的取值范围；
②若g(x)=f(x)-ax-2x+1 (a∈R) 有两个不同零点x1,x2,求证：x1∙x2>e2;
25．已知函数fx=-x2-ax+2lnx;
①当a≥3时讨论y=f(x)在12,+∞）上的单调性；
②y=f(x)有两个不同零点x1,x2,且x1<x2求证：f'(x1+2x23)<0