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2021-2022学年高中数学 第2章 常用逻辑用语 2.2 充分条件、必要条件、充要条件课后素养落实苏教版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 常用逻辑用语 2.2 充分条件、必要条件、充要条件课后素养落实苏教版必修第一册

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姓名：

课后素养落实(七)　充分条件、必要条件、充要条件
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]
3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是(　　)
A．－2≤x≤2 B．－2<x<0
C．0<x≤2 D．1<x<3
A　[由x2<4得－2<x<2，必要不充分条件的x的范围包含{x|－2<x<2}，故选A.]
4．“a≥4”是“关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)有实数解”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A　[因为关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)有实数解，所以Δ＝a2－4a≥0，即a≥4或a≤0.所以“a≥4”是“关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)有实数解”的充分不必要条件，故选A.]
5．(多选题)使不等式1＋>0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．x>2 B．x≥0
C．x<－1或x>1 D．－1<x<0
AC　[不等式1＋>0等价于>0，也就是(x＋1)x>0，故不等式的解集为
(－∞，－1)∪(0，＋∞)．
A、B、C、D四个选项中，只有A、C中的不等式(不等组)对应的集合为
(－∞，－1)∪(0，＋∞)的真子集．故选AC.]
二、填空题
6．下列说法不正确的是________．(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件．
②　[②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．]
7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．
充要　[因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．]
8．下列式子：
①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a；④0<b<a.
其中能使<成立的充分条件有________．(只填序号)
①②④　[当a<0<b时，<0<；
当b<a<0时，<<0；
当b<0<a时，<0<；
当0<b<a时，0<<，
所以能使<成立的充分条件有①②④.]
三、解答题
9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a<b，q：<1.
[解]　在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p是q的充要条件；
在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；
在(3)中，若a<b<0，则推不出<1，反之若<1，当b<0时，也推不出a<b，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？
[解]　(1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，
则只要⊆{x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆，
这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．

1．(多选题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么下列错误的是(　　)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
BCD　[因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
]
2．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　 )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
B　[由A∪B＝C且B不是A的子集知，x∈A⇒x∈C，x∈Cx∈A，所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]
3．若A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3)，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为________．
{a|a≤－3或a≥3}　[因为A是B的充分条件，
所以A⊆B，
又A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}．
因此a＋2≤－1或a≥3，
所以实数a的取值范围是{a|a≤－3或a≥3}．]
4．已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
{m|0<m<2}　[由题意，设集合A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|x<－m＋1或x>m＋1}，
因为条件p是条件q的充分不必要条件，即集合A是集合B的真子集，
所以或解得m<2，
又m>0，所以实数m的取值范围是0<m<2.]

求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p⇒q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.
②证明q⇒p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.