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考研专项练习高等数学--习题集.doc
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1、第一章 函数极限连续一. 填空题1. 已知 定义域为_.2设, 则a = _.3. =_.4. 已知函数 , 则ff(x) _.5. =_.6. 设当的3阶无穷小, 则7. =_.8. 已知( 0 ), 则A = _, k = _.二. 选择题1. 设f(x)和j(x)在(, +)内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) 0, j(x)有间断点, 则(a) jf(x)必有间断点 (b) j(x)2必有间断点 (c) f j(x)必有间断点 (d) 必有间断点2. 设函数, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数3. 函数在下列哪个区间内有界(a)
2、(1, 0) (b) (0, 1) (c) (1, 2) (d) (2, 3)4. 当的极限(a) 等于2 (b) 等于0 (c) 为 (d) 不存在, 但不为5. 极限的值是(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在6. 设, 则a的值为(a) 1 (b) 2 (c) (d) 均不对7. 设, 则a, b的数值为(a) a = 1, b = (b) a = 5, b = (c) a = 5, b = (d) 均不对8. 设, 则当x0时(a) f(x)是x的等价无穷小 (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x较低价无穷小 (d) f(x)比x较高价无穷小9. 设,
3、 则a的值为(a) 1 (b) 1 (c) 2 (d) 310. 设, 则必有(a) b = 4d (b) b =4d (c) a = 4c (d) a =4c三. 计算题1. 求下列极限(1) (2) (3) 2. 求下列极限(1) (2) 3. 求下列极限(1) (2) (3) , 其中a 0, b 04. 设试讨论在处的连续性与可导性.5. 求下列函数的间断点并判别类型(1) (2) 6. 讨论函数 在x = 0处的连续性. 7. 设f(x)在a, b上连续, 且a x1 x2 xn b, ci (I = 1, 2, 3, , n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个x, 使 .
4、8. 设f(x)在a, b上连续, 且f(a) b, 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x. 9. 设f(x)在0, 1上连续, 且0 f(x) 1, 试证在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.10. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 且f(a) g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = g(x). 11. 证明方程x53x2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且, 求及.第二章 导数与微分一. 填空题1 . 设, 则k = _.2. 设函数y = y(x)由方程确定, 则
5、_. 3. 已知f(x) =f(x), 且, 则_.4. 设f(x)可导, 则_. 5. , 则= _. 6. 已知, 则_. 7. 设f为可导函数, , 则_. 8. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_. 二. 选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a) (b) (c) (d) 2. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且a(c) f(x)在x
6、= 1处可导, 且b (d) f(x)在x = 1处可导, 且ab 3. 设, 则使存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 4. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + Dx时, 记Dy为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 5. 设 在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数 三. 计算题1. 2. 已知f(u)可导, 3. 已知, 求. 4. 设y为x的函数是由
7、方程确定的, 求. 四. 已知当x 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时 二阶可导. 五. 已知. 六. 设, 求.第三章 一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分:1. 2. 3. 4. 5 二. 求下列不定积分:1. 2. 3. 4. (a 0) 5. 6. 7. 三. 求下列不定积分:1. 2. 四. 求下列不定积分:1. 2. 五. 求下列不定积分:1. 2. 3. 4. 5. 六. 求下列不定积分:1. 2. 3. 七. 设 , 求. 八. 设, (a, b为不同时为零的常数), 求f(x).九. 求下列不定积分:1. 2. 3. 4. 十. 求下列不定
8、积分:1. 2. 3. 4. 十一. 求下列不定积分:1. 2. 3. 4. (a 0) 十二. 求下列不定积分:1. 2. 3. 十三. 求下列不定积分:1. 2. 3. 第三章 一元函数积分学(定积分)一若f(x)在a,b上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数F(x), 均有, 则f(x) 0.二. 设l为任意实数, 证明: =.三已知f(x)在0,1上连续, 对任意x, y都有|f(x)f(y)| 0, 证明: 对于满足0 a b 1的任何 a, b, 有 六. 设f(x)在a, b上二阶可导, 且 0, 证明: 七. 设f(x)在0, 1上连续, 且单调不增, 证明: 任给a (0,
9、 1), 有 八. 设f(x)在a, b上连续, 在a, b内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证: , (a x 0. 证明: $ x 0, 2, 使|f(x)| a.第三章 一元函数积分学(广义积分)一. 计算下列广义积分:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 第四章 微分中值定理一. 设函数f(x)在闭区间0, 1上可微, 对于0, 1上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且, 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.二. 设函数f(x)在0, 1上连续, (0, 1)内可导, 且. 证明: 在(0, 1)内存在一个x
10、, 使.三设函数f(x)在1, 2上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个x, 使 .四. 设f(x)在0, x(x 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个x, 使 .五. 设f(x)在a, b上可导, 且ab 0, 试证: 存在一个x (a, b), 使 六. 设函数f(x), g(x), h(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个x (a, b), 使 七. 设f(x)在x1, x2上二阶可导, 且0 x1 0, 证明: 存在一个
11、x (x1, x2)或(x2, x1), 使 九. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x) 0, 试证: 至少存在一个x (a, b), 使 十. 设f(x) 在a, b上连续 ,在(a, b)内可导, 证明在(a, b) 存在.第五章 一元微积分的应用一. 选择题1. 设f(x)在(, +)内可导, 且对任意x1, x2, x1 x2时, 都有f(x1) f(x2), 则(a) 对任意x, (b) 对任意x, (c) 函数f(x)单调增加 (d) 函数f(x)单调增加2. 曲线的渐近线有(a) 1条 (b) 2条 (c)
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