2021年高考数学模拟试题(十三)(含解析).doc

2021年高考数学模拟试题（十三）（含解析）

2021年高考数学模拟试题（十三）（含解析）

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2021年高考数学模拟测试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集为，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可解出M，然后进行交集的运算即可．
【详解】解：M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{0，1，2}；
∴M∩N＝{0，1}．
故选D．
【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，属于基础题．
2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的除法运算化简，计算得到复数对应的点，则答案可求．
【详解】∵，
∴.
∴在复平面内对应的点为，
∴在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于简单题.
3.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（ ）

①2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加
②2013－2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小
③2016－2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平
A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ③
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折线图，分析图中的数据逐一判断即可.
【详解】由图中折线逐渐上升，即每年游客人次逐渐增多，故①正确；
由图在2014年中折线比较平缓，即2014年中游客人次增幅最小，故②正确；
根据图像在2016－2018年这3年中，折线的斜率基本相同，
故每年的增幅基本持平，故③正确；
故选：A
【点睛】本题考查了折线图，考查了统计与推理，属于基础题.
4.平面向量与的夹角为，且，为单位向量，则（ ）
A. B. C. 19 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算，得到答案.
【详解】，故.
故选：.
【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.
5.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
由函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B项；又因为，排除C项；又因为，排除D项，即可得到答案.
【详解】由题意知，函数，满足，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以B选项错误；
又因为，所以C选项错误；
又因为，所以D选项错误，故选A.
【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及准确运算特殊点的函数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6.已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用任意角的三角函数的定义先求出，由二倍角的公式可求出的值．
【详解】解：角的终边经过点，
由任意角的三角函数的定义得：，
故有.
故选：C．
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，考查计算能力．
7.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
求出双曲线的渐进线方程，可得到值，再由的关系和离心率公式，即可得到答案．
【详解】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
则，
所以该条渐近线方程为；
所以，
解得；
所以 ，
所以双曲线的离心率为．
故选A．
【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，考查学生基本的运算能力，属于基础题，
8.已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设出两点的坐标，利用点差法求得的关系式，结合求得，进而求得椭圆的方程.
【详解】设，则
，两式相减并化简得，
即,
由于且，由此可解得，
故椭圆的方程为.
故选：D.
【点睛】本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9.若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为（ ）
A. 2 B. 0 C. 1 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
作出的图像，利用数形结合可判断满足恰有一个公共点；当时，需直线与曲线相切即可.
【详解】
由与恒过，如图，
当时，两函数图象恰有一个公共点，
当时，函数与的图象恰有一个公共点，
则为的切线，且切点为，
由，所以，
综上所述，或.
故选：BCD
【点睛】本题考查了指数函数图像、导数的几何意义，考查了数形结合在解题中的应用，属于基础题.
10.设正项等差数列满足，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，求得的关系式，由此结合基本不等式，判断出正确选项.
【详解】因为正项等差数列满足，
所以，
即.
①，当且仅当时成立，故A选项正确.
②由于，所以，当且仅当时成立，故B选项正确.
③，当且仅当时成立，
所以的最小值为，故C选项错误.
④结合①的结论，有，
当且仅当时成立，故D选项正确.
故选：ABD
【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题.
11.过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的焦点坐标为 B.
C. 为抛物线上的动点，，则 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A，由抛物线方程可得焦点坐标；B，由题意可得直线PQ的方程与抛物线联立求出P，Q的坐标，进而可得PQ的长度；C，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离距离可得|MF|+|MN|的最小值；D，由题意可得A，B的坐标，进而求出AB的值；然后判断所给命题的真假．
【详解】A，由题意可得抛物线的焦点F（2，0），所以A正确；
B，由题意设直线PQ的方程为：y（x﹣2），
与抛物线联立整理可得：3x2﹣20x+12＝0，解得：x或6，
代入直线PQ方程可得y分别为：，4，
由题意可得P（6，4），Q（，）；
所以|PQ|＝64，所以B正确；
C，如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|＝ME|，
所以|MF|+|MN|＝|ME|+|MN|≥NE＝2+2＝4，当N，M，E三点共线时，|MF|+|MN|最小，且最小值为4，所以C不正确；
D，因为P（6，4），Q（，），所以PF，QF的中点分别为：（3，2），（，），
所以由题意可得A（0，2），B（0，），
所以|AB|＝2，所以D正确；
故选：ABD．

【点睛】本题主要考查抛物线的性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的最值的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．
12.在边长为2的等边三角形中，点分别是边上的点，满足 且，（），将沿直线折到的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）
A. 在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面
B. 存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面
C. 若，当二面角为直二面角时，
D. 在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于A.在边上点F，在上取一点N，使得，在上取一点H，使得，作交于点G，即可判断出结论.
对于B，，在翻折过程中，点在底面的射影不可能在交线上，即可判断出结论.
对于C，，当二面角为直二面角时，取ED的中点M，可得平面.可得，结合余弦定理即可得出.
对于D.在翻折过程中，取平面平面，四棱锥体积，，利用导数研究函数的单调性即可得出.
【详解】对于A.在边上点F，在上取一点N，使得，在上取一点H，使得，作交于点G，如图所示，

则可得平行且等于，即四边形为平行四边形，
∴，而始终与平面相交，
因此在边上不存在点F，使得在翻折过程中，满足平面，A不正确.
对于B，，在翻折过程中，点在底面的射影不可能在交线上，因此不满足平面平面，因此B不正确.
对于C.，当二面角为直二面角时，取的中点M，如图所示：

可得平面，
则，因此C不正确；
对于D.在翻折过程中，取平面AED⊥平面BCDE，四棱锥体积，，，可得时，函数取得最大值，因此D正确.
综上所述，不成立的为ABC.
故选：ABC.
【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若直线是曲线的切线，且，则实数b的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出的导数，设切线为，由切点处的导数值为切线斜率求出，再由切点坐标可把表示为的函数，再利用导数可求得的最小值．
【详解】的导数为，由于直线是曲线的切线，设切点为，则，
∴，又，∴（），，
当时，，函数b递增，当时，，函数b递减，
∴为极小值点，也为最小值点，∴b的最小值为.
故答案为：．
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．在求切线方程时要注意“在”某点处的切线与“过”某点的切线．如果是过某点的切线可设切点坐标为，利用导数几何意义求出切点坐标．
14.已知函数（）的最大值为，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过换元法将的最值问题转化为的最值，利用二次函数的性质列不等式求解即可．
【详解】解：由已知
令，
则，
因为，
则在区间的右端点取最大值，
故，则．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次型三角函数的最值问题，通过换元法可将问题简单化，是一道基础题．
15.点是抛物线上的两点，是抛物线的焦点，若，中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
过作准线的垂线，垂足分别为，则，在中寻找它们的关系，求出比值的最大值。
【详解】
如图，过作准线的垂线，垂足分别为，则，
中，，当且仅当时取等号。
∴，
，即的最大值为。
故答案为：。
【点睛】本题考查抛物线的定义，在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离或弦中点到准线的距离，可作出抛物线上点到准线的距离，让它们进行转化，象本题，弦中点到准线距离最终转化为弦的两顶点到焦点的距离之和，然后在三角形中由余弦定理建立联系。
16.在四棱锥中，平面，，点是矩形内（含边界）的动点，且，，直线与平面所成的角为.记点的轨迹长度为，则______；当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先根据已知条件判断出点的轨迹为圆弧，再求此时的，即可求出；判断三棱锥的体积最小时即点位于时，此时三棱锥的外接球球心为的中点，所以半径为的一半，从而可得外接球的表面积.
【详解】如图，因为平面，垂足为，
则为直线与平面所成的角，
所以.因为，所以，
所以点位于底面矩形内的以点为圆心，为半径的圆上，
记点的轨迹为圆弧.连接，则.
因为，，所以，
则弧的长度，所以.
当点位于时，三棱锥的体积最小，
又，
∴三棱锥的外接球球心为的中点.
因为，
所以三棱锥的外接球的表面积.

故答案为：；
【点睛】本题考查了由线面垂直得到线面角，判断出动点轨迹，外接球的半径及表面积的计算，属于较难题.