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2021年高考数学三轮冲刺训练 不等式

2021年高考数学三轮冲刺训练 不等式

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不等式
高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式；二是基本不等式及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.

1、“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1<x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠x1}
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x<x2}
∅
∅

2、分式不等式

，然后统分转化为分式不等式
3、基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
4、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
5、利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
6、基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
7、几个重要的结论
(1)≥2.
(2)＋≥2(ab>0)．
(3)≤≤ (a>0，b>0)．

1、 不等式比较大小，可以从以下几个方面解决：
（1） 运用不等式的性质，化为同底
（2） 构造法
（3） 特殊的方法
2、运用基本不等式要注意不等式成立的条件。

1、若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
2、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A． 1010.1 B． 10.1
C． lg10.1 D． 10–10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选：A．
3、设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】化简不等式，可知 推不出，
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B.
4、若，则“”是 “”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
5、已知集合，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B．
6、设，，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，，，，
,即，又，，即，故选B.
7、已知a>0，b>0，且a+b=1，则
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD.
8、古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是

A．165 cm B．175 cm
C．185 cm D．190 cm
【答案】B
【解析】方法一：如下图所示.
依题意可知：
，
腿长为105 cm得，即，
，
，
所以AD>169.89.
②头顶至脖子下端长度为26 cm，
即AB<26，
，
，
，
，
所以.
综上，.

故选B.
方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．
9、2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
10、已知，则的最小值是 ▲ ．
【答案】
【解析】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
11、已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
12、李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】①130 ；②15.
【解析】（1）,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
13、设，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】方法一：.
因为，
所以，
即，当且仅当时取等号成立.
又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.
方法二：
.
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.

一、单选题
1、下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
解：对于A选项，当时，不等式不成立，故是假命题；
对于B选项，当时，不满足，故为假命题；
对于C选项，当时，，不满足，故为假命题.
对于D选项，由于，所以，即，故为真命题.
故选：D.
2、不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【解析】
不等式的解集为,
的两根为，，且，
即,解得
则不等式可化为
解得
故选
3、已知，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
已知，，且，则，
所以，
.
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.
故选：B.
4、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．9
【答案】D
【解析】
由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，所以．
故选：D．
5、若，，，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解析】
∵，∴，∴，
，当且仅当“”时取等号，
∴的最小值为9.
故选：A.
6、若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为不等式的解集中恰有个正整数，
即不等式的解集中恰有个正整数，
所以，所以不等式的解集为
所以这三个正整数为，所以，即
故选：D
7、已知正数是关于的方程的两根，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】由题意，正数是关于的方程的两根，
可得，
则，当且仅当时，即时等号成立，
经检验知当时，方程有两个正实数解.
所以的最小值为.
故选：C.
8、电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”，成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图如图所示，且该图表示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则的值为（ ）（参考数据：，）

车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
驾驶行为类别
阈值
饮酒驾车

醉酒驾车

A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【解析】由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其血液酒精含量大于20，
则令，即，
解得，
，的最小值为6，
故至少经过6小时才可以驾车.
故选：B.

二、多选题
9、设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
因为，可得函数均是减函数，
可得，，所以CD不正确；
又由函数是增函数，是减函数，可得，且，
所以，所以故A正确；
因为，可得，所以函数是增函数，可得，所以B正确.
故选：AB.
10、已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若则
【答案】BC
【解析】
若，，则，故A错；
若，，则，化简得，故B对；
若，则，又，则，故C对；
若，，，，则，，，故D错；
故选：BC．
11、设，则下面不等式中恒成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
对于A，，
所以，故A正确；
对于B，当时，，，所以，
当时， ，
即，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，，，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，，
，当且仅当时取等号，故D错误.
故选：ABC
12、下列结论正确的是（ ）
A．， B．若，则
C．若，则 D．若，，，则
【答案】BD
【解析】
当时，为负数，所以A不正确；
若，则，考虑函数在R上单调递增，
所以，即，所以B正确；
若，则，，所以C不正确；
若，，，根据基本不等式有
所以D正确.
故选：BD
13、设，则下列不等式中，恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
A. 作差比较判断；B. 利用基本不等式判断；C.作差比较判断； D.利用不等式的加法性质判断.
【详解】
A. 因为，当 时， ，当 时，，所以， 故正确；
B. 因为，所以，故错误；
C. 因为，所以，故错误；
D. 因为，所以，故正确；
故选：AD
14、已知、、．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
对于A选项，，，，A选项正确；
对于B选项，，，，即，B选项错误；
对于C选项，因为，由基本不等式可得，，C选项正确；
对于D选项，，，可得，D选项错误.
故选：AC.
15、设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
因为正实数m、n，
所以，
当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；
，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确．
故选：ABD
16、若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】
由且，利用基本不等式，对选项中的不等式逐一验证即可.
【详解】
由，故D错误；
,故A正确；
又前面可知，故B正确；
由，故C正确，
故选ABC.
17、已知在则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【解析】
首先，原式中有，所以无意义，题目错误；
其次，若四个选项改为不含0的开区间时，
利用特殊值法，
取，则不等式可化为，即，
当时，不等式成立，故排除选项AB；
取时，代入，即，正确，故CD不满足.
故无正确答案.

三、填空题
18、当取得最小值时，______.
【答案】4
【解析】

当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
19、函数的最小值是__________.
【答案】
【解析】
由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.
故填：.
20、谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数与的和表示等.从这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是________.（按照从大到小的顺序排列）
【答案】
【解析】
三个埃及分数和为1，一定有一个是，否则和不可能为1，剩下2个和为，都小于也不合题意，否则两个埃及分数的和，因此第2个是，第3个只能是．
故答案为：．
21、已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
由题意可知直线过圆心，即

当且仅当时，又
即时等号成立，
故的最小值为9.
故答案为：9
22、已知函数的定义域为，且．若对任意，，则的解集为______．
【答案】
【解析】设，则，
因为对任意，，所以，
所以对任意， 是单调递增函数，
因为，所以，
由，可得，
则的解集.
故答案为：.
23、若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】解：
若，时，，，∴，
此时不恒成立，∴，
，
令，，
时，，，，
在单调递减，单调递增，∴，
，时，，，原不等式恒成立；

时，
令，，，
时，，时，，
在单调递减，在单调递增，
∴，∴，
∴，即，∴，∴．
故答案为：.
24、西气东输工程把西部的资源优势变为了经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，同时该项工程的建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.在输气管道工程建设过程中，某段直线形管道铺设需要经过一处平行峡谷，勘探人员在峡内恰好发现一处四分之一圆柱状的圆弧拐角，用测量仪器得到此横截圆面的圆心为，半径且为米，而运输人员利用运输工具水平横向移动直线形输气管不可避免的要经过此圆弧拐角，需从宽为米的峡谷拐入宽为米的峡谷.如图所示，位于峡谷悬崖壁上的两点，的连线恰好与圆弧拐角相切于点（点，，在同一水平面内），若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过______________米.

【答案】75
【解析】设，其中，

延长OM，交AB于D，过B做SB垂线，交DO于G，延长ON，交AB于E，过A做SA垂线，交NO于F，如图所示：
在中，，AF=39，则，即，
在中，，，则，即，
在中， ，OT=1，所以，
又，所以，
所以=，
因为，其中，当且仅当时，等号成立，
所以

=
，
当且仅当，即时等号成立，
所以若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过75米.
故答案为：75.