2021届高考数学下学期5月终极猜题卷.doc

2021届高考数学下学期5月终极猜题卷

2021届高考数学下学期5月终极猜题卷

年级：
姓名：

15

（新高考）2021届高考数学下学期5月终极猜题卷
【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.为纯虚数（i是虚数单位），则为( )
A.3 B.2 C.1 D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知均为单位向量，若夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.已知则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知函数，则的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知拋物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与拋物线交于M，N两点，若则( )
A. B. C.2 D.
8.如图，在直三棱柱中，O是与的交点，D是的中点，，给出下列结论.

①AB与是相交直线；
②平面
③平面平面；
④平面
其中正确的结论是( )
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.若函数设则的大小关系不正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知m，n是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
11.已知函数，，且在上单调.下列说法不正确的是( )
A.
B.
C.函数在上单调递增
D.函数的图象关于点对称
12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.下列命题正确的是( )
A.当时，
B.函数有5个零点
C.若关于x的方程有解，则实数m的范围是
D.对恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若无穷数列是等差数列，则其前10项的和为____________.
14.在的展开式中含项的系数为____________.（用数字作答）.
15.已知圆关于直线对称，则的最小值为_______.
16.巳知球O为正四面体的内切球，E为棱的中点，,则平面截球O所得截面圆的面积为____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知满足.
（I）若，求；
（Ⅱ）若，且，求.
18.（12分）已知数列的前n项和为，且成等差数列，令.
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前n项和.
19. （12分）2020年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019—nCoV），是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒.某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n份血液样本，有以下两种检验方式：（a）逐份检验，则需要检验n次；（b）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.
（I）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（Ⅱ）现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（ⅰ）运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；
（ⅱ）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求k的最大值.
参考数据：，
20. （12分）如图，在三棱柱中，为棱上的动点.

（I）若D为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）若平面平面，且，是否存在点D，使二面角的平面角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21. （12分）已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数有三个零点，求实数a的取值范围.
22. （12分）如图，已知拋物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交拋物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是拋物线上一点，且

（Ⅰ）证明：直线BE经过AC的中点M；
（Ⅱ）求面积的最小值及此时直线AC的方程.

2021年高考数学终极猜题卷 新高考版
答案以及解析
一、单项选择题
1.答案：C
解析：为纯虚数，，故，故故选C.
2.答案：B
解析：.故选B.
3.答案：D
解析：本题考查向量的数量积及运算.因为，所以，故选D.
4.答案：B
解析：本题考查绝对值不等式的性质、充分条件与必要条件的判断.当时，满足，但此时充分性不成立；若则有则必要性成立.综上所述，“”是“”的必要不充分条件，故选B.
5.答案：C
解析：本题考查函数的图象与性质.由题意得函数易得函数的定义域为且对定义域内的任意x，有所以函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，排除B，D；当时，，排除A，故选C.
6.答案：A
解析：将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有1，1，3或1，2，2两种情况，即甲乙各一本，丙三本；甲丙各一本，乙三本；乙丙各一本，甲三本；甲一本，乙丙各两本；乙一本甲丙各两本；丙一本甲乙各两本，共6种分法，其中甲分得三本只有一种分法，所以所求概率故选A.
7.答案：B
解析：本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系.由题意，不妨设点P在第二象限，如图，过点M作于点Q，由抛物线的定义知因为，所以所以直线MN的倾斜角a满足所以直线MN的方程为联立得，设，，则所以故选B.

8.答案：D
解析：本题考查空间线面间的位置关系.对于①，在直三棱柱中，根据异面直线的定义知AB与是异面直线，所以①错误；对于②，的中点为D，且O是与的交点，所以O是的中点，连接OD，则因为平面平面所以平面所以②正确；对于③，因为平面，所以平面AOD与平面相交，所以③错误；对于④，因为在直三棱柱中，，所以四边形是正方形，平面因为所以平面所以④正确，故选D.
二、多项选择题
9.答案：ABC
解析：本题考查对数函数，指数函数、二次函数的图象与性质.因为，所以，又，所以，因为函数在上单调递增，所以，即A，B，C不正确，D正确，故选ABC.
10.答案：ABD
解析：A中，直线m和平面可能垂直，也可能平行或m在平面内，故A不正确；B中，直线m与n平行、异面或相交，故B不正确；C中，，则直线或，又，所以，故C正确；D中，缺少条件，故D不正确，故选ABD.
11.答案：ABD
解析：本题考查正弦函数的图象与性质.由五点法作图知，为五点法中的第二个零点，则①.又根据正弦函数的图象及已知条件知为靠近第二个零点的点，所以②.由①②解得，，所以，所以，故A,B错误；由，得，所以函数在上单调递增，故C正确；因为，所以函数的图象不关于点对称，故D错误，故选ABD.

12.答案：AD
解析：本题考查函数的基本性质、函数的解析式、函数的零点，由于函数是定义在R上的奇函数，则当时，，故A正确；由于函数是定义在R上的奇函数，则；当时，由，可得；结合奇函数的图象性质可知还有一个零点为，则函数有3个零点，故B错误；当时，由，得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，此时；由的图象知若方程有解，则，故C错误；由C项可知，当时，；而当时，，则，则对恒成立，故D正确，故选AD.
三、填空题
13.答案：10
解析：本题考查等差数列及三角恒等变换.因为数列是等差数列，所以，（舍）或.所以，所以前10项和.
14.答案：30
解析：本题考查二项式定理及其应用.由于的展开式中，故二项展开式中项的系数为的二项展开式的通项公式（其中）.
15.答案：9
解析：本题考查圆的标准方程、利用基本不等式求最值.由题意可知直线过圆心，即，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9.
16.答案：
解析：因为球0为正四面体的内切球，,所以正四面体的体积为.设正四面体内切球的半径长为r,则，故内切球半径.因为平面截球O所得截面经过 球心，所以平面截球O所得截面圆半径与球的半径相等，故截面圆面积.
四、解答题
17.答案：（I）由可知，解得.
又，则.……………………………………………………………………2分
又由可知.………………………………………3分
在中，由正弦定理可得，.………………………4分
（Ⅱ）由（I）知，又，.…………………………………6分
又即，可得，……………8分
.…10分
18.答案：（Ⅰ）由题知，当时，，…………………………2分
两式相减得，即，
当时，，解得，………………………………………………4分
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，
.…………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）由1知，，，………………………7分
，………………………………………9分
两式相减得，
整理得.…………………………………………………………………12分
19.答案：解（Ⅰ）由题意得所求概率，
恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为.……………………………5分
（Ⅱ）（ⅰ）由已知得的所有可能取值分别为1，，
，……………………………………………6分
.……………………………………7分
，，即，，
关于k的函数关系式（且）. ……………………………8分
（ⅱ）由题意可知，，即.
，
两边取对数得.
设.……………………………………………………………………9分
，当时，，即函数在上单调递减. ………………10分
又.
.
.
.
，
的最大值为8. ………………………………………………………………………12分
20.答案：解：（I）证明：连接交于点O，连接.
四边形是平行四边形，为的中点. ……………………………………2分
在中，分别为的中点，为的中位线，即.……4分
又平面，平面，
平面.……………………………………………………………………5分

（Ⅱ）存在.理由如下：连接.，
为菱形，即.又平面平面，平面平面，
平面.
过点C作的平行线，即两两垂直. …………………………………6分
如图，以C为坐标原点，以的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.
，
故，
.
假设存在点D，使二面角的平面角的余弦值为，设，
，
易得平面的一个法向量为.…………………………………………………8分
设平面的法向量为，
，
可取.………………………………………………………10分
由，
解得或.
点D在棱上，，即.………………………………………12分
21.答案：（Ⅰ）定义域为，
，…………………………………………………1分
令，
当时，，对称轴，
即在上单调递增；………………………………………………2分
当时，对称轴，，
即在上单调递增；………………………………………………3分
当时，在内有两个不等实根，
，
设.
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减. ……………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，在上单调递增，至多有一个零点；
当时，，容易得出是的一个零点，…………6分
由的单调性知，令，则

当时，存在使得，又且在上单调递增，
在内必有一个零点，………………………………………………………8分
令，则，
当时，存在使得，……………………………………………10分
又且在上单调递增，在内必有一个零点，
所求实数a的取值范围是.……………………………………………………12分
22.答案：（Ⅰ）证明：由题可知抛物线的焦点，准线方程为
设直线则，联立可得…………2分
则可得.，故直线.

联立得，……………………………………………4分
，的中点M的纵坐标即，
直线BE经过AC的中点M. ……………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
……………………………………………………………7分
设点B到直线AC的距离为d，
则，
，……………………………………9分
当且仅当即时取等号，
当时，直线AC的方程为；
当时，直线AC的方程为………………………………………………12分