2022高考数学一轮复习-课时规范练18-同角三角函数的基本关系及诱导公式北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 课时规范练18 同角三角函数的基本关系及诱导公式北师大版

2022高考数学一轮复习 课时规范练18 同角三角函数的基本关系及诱导公式北师大版

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姓名：

课时规范练18　同角三角函数的基本关系及诱导公式
基础巩固组
1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是(　　)
A.sin θ<0,cos θ>0 B.sin θ>0,cos θ<0
C.sin θ>0,cos θ>0 D.sin θ<0,cos θ<0
2.(2020北京平谷二模,2)若角α的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是(　　)
A.sinα+π2 B.cosα+π2
C.sin(π+α) D.cos(π+α)
3.若tan α=cos α,则1sinα+cos4α的值为(　　)
A.2 B.2 C.22 D.4
4.(2020辽宁沈阳一中测试)已知2sin α-cos α=0,则sin2α-2sin αcos α的值为(　　)
A.-35 B.-125 C.35 D.125
5.(2020浙江杭州学军中学模拟)已知cos 31°=a,则sin 239°·tan 149°的值为(　　)
A.1-a2a B.1-a2
C.a2-1a D.-1-a2
6.(2020河南开封三模,文10,理9)已知A是△ABC的一个内角,且sin A+cos A=a,其中a∈(0,1),则tan α的值可能为(　　)
A.-1 B.-12 C.12 D.-3
7.(2020河北衡水模拟)已知直线2x-y-1=0的倾斜角为α,则sin 2α-2cos2α=(　　)
A.25 B.-65 C.-45 D.-125
8.已知cos5π12+α=13,且-π<α<-π2,则cosπ12-α等于(　　)
A.223 B.-13
C.13 D.-223
9.(2020山东济宁三模,13)已知tan(π-α)=2,则sinα+cosαsinα-cosα=　　　　. 
10.已知k∈Z,则sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α]sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)的值为　　　　. 
综合提升组
11.已知角α和β的终边关于直线y=x对称,且β=-π3,则sin α等于(　　)
A.-32 B.32 C.-12 D.12
12.已知θ∈π4,π2,则2cos θ+1-2sin(π-θ)cosθ=(　　)
A.sin θ+cos θ B.sin θ-cos θ
C.cos θ-sin θ D.3cos θ-sin θ
13.已知cosπ6-θ=a(|a|≤1),则cos5π6+θ+sin2π3-θ的值是　　　　. 
14.已知f(α)=2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α)1+sin2α+cos(3π2+α)-sin2(π2+α)(sin α≠0,且1+2sin α≠0),则f-23π6=　　　　. 
创新应用组
15.(2020河南高三质检,9)若a(sin x+cos x)≤2+sin xcos x对任意x∈0,π2恒成立,则a的最大值为(　　)
A.2 B.3 C.522 D.524
16.

如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口H是AB的中点,EF分别落在线段BC,AD上,已知AB=20米,AD=103米,记∠BHE=θ.
(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;
(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.

参考答案

课时规范练18　同角三角
函数的基本关系及诱导公式
1.B　∵sin(θ+π)<0,∴-sinθ<0,sinθ>0.∵cos(θ-π)>0,∴-cosθ>0,cosθ<0.故选B.
2.D　角α的终边在第二象限,则sinα>0,cosα<0.sinα+π2=cosα<0,A不正确;cosα+π2=-sinα<0,B不正确;sin(π+α)=-sinα<0,C不正确;cos(π+α)=-cosα>0,D正确,故选D.
3.B　由题知,tanα=cosα,则sinαcosα=cosα,故sinα=cos2α,故1sinα+cos4α=sin2α+cos2αsinα+sin2α=sinα+cos2αsinα+1-cos2α=sinα+sinαsinα+1-sinα=2.
4.A　2sinα-cosα=0,∴tanα=12,∴sin2α-2sinαcosα=sin2α-2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α-2tanα1+tan2α=14-11+14=-35.
5.B　sin239°·tan149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos31°·(-tan31°)=sin31°=1-a2.
6.D　由sinA+cosA=a,两边平方得(sinA+cosA)2=a2,
即sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+2sinAcosA=a2,又因为a∈(0,1),所以2sinAcosA=a2-1<0,因为0<A<π,得到sinA>0,所以cosA<0,又由sinA+cosA=a>0,所以sinA>-cosA>0,
则tanA<-1,比较四个选项,只有D正确.故选D.
7.A　由题意知tanα=2,所以sin2α-2cos2α=2sinαcosα-2cos2αsin2α+cos2α=2tanα-2tan2α+1=25.
8.D　∵cos5π12+α=sinπ12-α=13,又-π<α<-π2,∴7π12<π12-α<13π12,
∴cosπ12-α=
-1-sin2(π12-α)=-223.
9.13　由tan(π-α)=2,得tanα=-2,则sinα+cosαsinα-cosα=tanα+1tanα-1=-2+1-2-1=13.
10.-1　当k=2n(n∈Z)时,
原式=sin(2nπ-α)cos[(2n-1)π-α]sin[(2n+1)π+α]cos(2nπ+α)
=sin(-α)cos(-π-α)sin(π+α)cosα
=-sinα(-cosα)-sinαcosα=-1.
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式=sin[(2n+1)π-α]cos[(2n+1-1)π-α]sin[(2n+1+1)π+α]cos[(2n+1)π+α]
=sin(π-α)cosαsinαcos(π+α)
=sinαcosαsinα(-cosα)=-1.
综上,原式=-1.
11.D　终边在直线y=x上的角为kπ+π4(k∈Z),因为角α和β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2kπ+π2(k∈Z).又β=-π3,所以α=2kπ+5π6(k∈Z),即得sinα=12.
12.A　因为θ∈π4,π2,则sinθ>cosθ,由同角三角函数的基本关系和诱导公式,可得2cosθ+1-2sin(π-θ)cosθ=2cosθ+(sinθ-cosθ)2=2cosθ+sinθ-cosθ=sinθ+cosθ.
故选A.
13.0　由题知,cos5π6+θ=cosπ-π6-θ=-cosπ6-θ=-a.
sin2π3-θ=sinπ2+π6-θ
=cosπ6-θ=a,
故cos5π6+θ+sin2π3-θ=0.
14.3　∵f(α)=(-2sinα)(-cosα)+cosα1+sin2α+sinα-cos2α
=2sinαcosα+cosα2sin2α+sinα
=cosα(1+2sinα)sinα(1+2sinα)
=1tanα,
∴f-23π6=1tan(-23π6)
=1tan(-4π+π6)=1tanπ6=3.
15.D　由题意,得a≤2+sinxcosxsinx+cosx,令y=2+sinxcosxsinx+cosx,则a≤ymin,令sinx+cosx=t,则sinxcosx=t2-12,且t∈(1,2].于是y=f(t)=t2+32t=12t+3t,且f(t)在(1,2]上为减函数,所以f(t)min=f(2)=524,所以a≤524,故选D.
16.解(1)由题意可得EH=10cosθ,FH=10sinθ,EF=EH2+FH2=10sinθcosθ,
由于BE=10tanθ≤103,AF=10tanθ≤103,
所以33≤tanθ≤3,故θ∈π6,π3,
所以L=10cosθ+10sinθ+10sinθcosθ=10×sinθ+cosθ+1sinθcosθ,θ∈π6,π3.
(2)设sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=t2-12,由于θ∈π6,π3,
所以t=2sinθ+π4∈3+12,2,L=10×sinθ+cosθ+1sinθcosθ=20(t+1)t2-1=20t-1.由于L=20-1在区间3+12,2上单调递减,
故当t=3+12,即θ=π6或θ=π3时,L取得最大值为20(3+1)米.