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2022届高考数学一轮复习-第八章-8.7-立体几何中的向量方法学案.docx
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1、2022届高考数学一轮复习 第八章 8.7 立体几何中的向量方法学案2022届高考数学一轮复习 第八章 8.7 立体几何中的向量方法学案年级:姓名:第七节立体几何中的向量方法【知识重温】一、必记4个知识点1异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则a与b的夹角l1与l2所成的角范围0,_求法cos cos |cos |_2.直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为,两向量e与n的夹角为,则有sin |cos |_.3二面角的求法(1)如图,AB,CD是二面角l两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小,(2)如
2、图,n1,n2分别是二面角l的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足cos cosn1,n2或cosn1,n24空间距离的求法(1)利用|2可以求空间中有向线段的长度(2)点面距离的求法已知AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则B到平面的距离为|cos,n|.二、必明3个易误点1求异面直线所成角时,易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为.2求直线与平面所成角时,注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值3利用平面的法向量求二面角的大小时,二面角是锐角或钝角由图形决定由图形知二面角是锐角时cos ;由图形知二面角是钝角时,cos .当图形不能确定时,要根据向量坐标在图形中观察
3、法向量的方向,从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部,另一个平面的法向量指向二面角的外部),还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部),这是利用向量求二面角的难点、易错点【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角()(2)已知a(2,3,1),b(2,0,4),c(4,6,2),则ac,ab.()(3)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0),n(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45.()二、教材改编2在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面
4、直线DE与AC所成角的余弦值为()A B C. D.3.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_三、易错易混4已知向量m,n分别是直线l的方向向量、平面的法向量,若cosm,n,则l与所成的角为_5在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_四、走进高考62020山东卷,4日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指
5、过点A且与OA垂直的平面在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40,则晷针与点A处的水平面所成角为()A20 B40 C50 D90考点一直线与平面所成的角 例12020全国卷如图,已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F;(2)设O为A1B1C1的中心若AO平面EB1C1F,且AOAB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值悟技法向量法求线面角的两大途径(1)分别求出斜线和它所在平面
6、内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角提醒在求平面的法向量时,若能找出平面的垂线,则垂线上取两个点可构成一个法向量. 变式练(着眼于举一反三)12020浙江卷,19如图,在三棱台ABC DEF中,平面ACFD平面ABC,ACBACD45,DC2BC.(1)证明:EFDB;(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值考点二二面角例22020全国卷如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DEED1,BF2FB1.(1)证明:点C1在平
7、面AEF内;(2)若AB2,AD1,AA13,求二面角AEFA1的正弦值. 悟技法利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.变式练(着眼于举一反三)2.2021山西省六校高三第一次阶段性测试如图,在矩形ABCD中,将ACD沿对角线AC折起,使点D到达点E的位置,且AEBE.(1)求证:平面ABE平面ABC;(2)若EB,三棱
8、锥BAEC的体积为,求二面角EACB的余弦值考点三立体几何中的探索性问题例32021洛阳市尖子生第一次联考如图,底面ABCD是边长为3的正方形,平面ADEF平面ABCD,AFDE,ADDE,AF2,DE3.(1)求证:平面ACE平面BED.(2)求直线CA与平面BEF所成角的正弦值(3)在线段AF上是否存在点M,使得二面角MBED的大小为60?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由悟技法探索性问题的求解策略空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断(1)对于存在判断型问题的求解,应先假设存在,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方
9、程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等(2)对于位置探究型问题,通常借助向量,引进参数,综合已知和结论列出等式,解出参数.变式练(着眼于举一反三)32021山西省八校高三第一次联考如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,底面ABCD为正方形,PA2,PD2,PDA,E为PD上一动点(1)求证:AECD.(2)延长CB到G,使AGPC,若F为PG的中点,问是否存在点E,使二面角PAEF的余弦值为?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由第七节立体几何中的向量方法【知识重温】【小题热身】1答案:(1)(2)(3)2解析:以D为原点,DA,DC,D
10、D1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图设DA1,则A(1,0,0),C(0,1,0),E,则(1,1,0),设异面直线DE与AC所成的角为,则cos |cos,|.故选D.答案:D3解析:以C为原点建立空间直角坐标系,得下列坐标:A(2,0,0),C1(0,0,2)点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2.所以(2,0,2),设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为,则cos .又,所以.答案:4解析:设l与所成的角为,则sin |cosm,n|,30.答案:305解析:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),所
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