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2022届高考数学一轮复习 第七章 7.5 合情推理与演绎推理学案

2022届高考数学一轮复习 第七章 7.5 合情推理与演绎推理学案

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第五节　合情推理与演绎推理

【知识重温】

二、必明1个易误点
演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)类比推理得到的结论可以作为定理应用．(　　)
(2)由个别到一般的推理为归纳推理．(　　)
(3)演绎推理的结论一定是正确的．(　　)
(4)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．(　　)
二、教材改编
2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是(　　)

A．27　B．28
C．29 D．30
3．下列几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班的人数均超过50人
B．两条直线平行，同旁内角互补，若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋an＋1)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式

三、易错易混
4．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个推理的小前提为(　　)
A．EF∥BC
B．三角形的中位线平行于第三边
C．三角形的中位线等于第三边的一半
D．线段EF为△ABC的中位线
5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________．

四、走进高考
6．[2016·全国卷Ⅱ]有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．

　类比推理[自主练透型]
1．[2021·湖北孝感模拟]二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝(　　)
A．2πr4　　B．3πr4
C．4πr4 D．6πr4
2．已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：______________________.

　悟·技法
在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.
考点二　归纳推理[分层深化型]
考向一：与数字有关的推理
[例1]　观察下列等式：

照此规律，第n个等式为________________________．

考向二：与式子有关的推理
[例2]　已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*，则f2 017(x)的表达式为________．

考向三：与图形有关的推理
[例3]　下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．

悟·技法
归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
与数字有关的等式的推理
观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解
与式子有关的推理
观察每个式子的特点，找到规律后可解
与图形变化有关的推理
合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性

[变式练]——(着眼于举一反三)
1．已知不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，照此规律总结出第n(n∈N*)个不等式为________．
2．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．

n级分形图中共有________条线段．

考点三　把演绎推理写成三段论形式
[互动讲练型]
[例4]　用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直；
(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角；
(3)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；
(4)三角函数是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．

悟·技法
运用三段论时的注意事项
用三段论写演绎推理的过程，关键是明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般性的原理，在演绎推理的过程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有将二者结合起来才能得到完整的三段论．一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数；
(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(3)通项公式an＝2n＋3表示的数列{an}为等差数列．

第五节　合情推理与演绎推理
【知识重温】
①归纳推理　②全部对象　③部分　④个别
⑤类比推理　⑥这些特征　⑦由特殊到特殊
⑧一般原理　⑨对象　⑩特殊问题　⑪一般
⑫特殊
【小题热身】
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：第一个三角形数是1，
第二个三角形数是1＋2＝3，
第三个三角形数是1＋2＋3＝6，
第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.
因此，归纳推理得第n个三角形点数是1＋2＋3＋4＋…＋n＝(个)．由此可以得出第七个三角形点数是28.故选B.
答案：B
3．解析：A、D为归纳推理，C为类比推理，B为演绎推理．故选B.
答案：B
4．解析：大前提是三角形的中位线平行于第三边，小前提是线段EF为△ABC的中位线．故选D.
答案：D
5．解析：由题意知，在平面上，两个正三角形的面积比是边长比的平方．
由类比推理知：体积比是棱长比的立方．
即可得它们的体积比为18.
答案：18
6．解析：由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.
答案：1和3
课堂考点突破
考点一
1．解析：二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，(πr2)′＝2πr，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，′＝4πr2，四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，∵(2πr4)′＝8πr3，
∴“超球”的四维测度W＝2πr4，故选A.
答案：A
2．解析：由等比数列的性质可知
b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，
∴＝.
答案：＝
考点二
例1　解析：由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)2，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
例2　解析：f1(x)＝，f2(x)＝＝，
f3(x)＝＝，…，归纳可得f2 017(x)＝.
答案：f2 017(x)＝
例3　解析：由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.∴总个数为.
答案：
变式练
1．解析：由已知，三个不等式可以写成
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
所以照此规律可得到第n个不等式为
1＋＋＋…＋＋<＝.
答案：1＋＋＋…＋＋<
2．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，
由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，
二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，
三级分形图有21＝(3×23－3)条线段，
按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
考点三
例4　解析：(1)每个菱形的对角线相互垂直，(大前提)
正方形是菱形，(小前提)
所以，正方形的对角线相互垂直．(结论)
(2)两个角是对顶角则两角相等，(大前提)
∠1和∠2不相等，(小前提)
所以，∠1和∠2不是对顶角．(结论)
(3)一切奇数都不能被2整除，(大前提)
2100＋1是奇数，(小前提)
2100＋1不能被2整除．(结论)
(4)三角函数都是周期函数，(大前提)
y＝tan α是三角函数，(小前提)
y＝tan α是周期函数．(结论)
变式练
3．解析：(1)所有的循环小数是有理数，(大前提)
0．33是循环小数，(小前提)
所以，0.33是有理数．(结论)
(2)每一个矩形的对角线相等，(大前提)
正方形是矩形，(小前提)
正方形的对角线相等．(结论)
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，(大前提)
通项公式an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，(小前提)
通项公式an＝2n＋3表示的数列为等差数列．(结论)