2022版高考数学一轮复习-练案第八章-解析几何-第五讲-椭圆练习新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 练案第八章 解析几何 第五讲 椭圆练习新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案第八章 解析几何 第五讲 椭圆练习新人教版

年级：
姓名：

第五讲　椭圆
A组基础巩固
一、选择题
1．(2020·北京师大附中模拟)△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是(　D　)
A．＋＝1　　 B．＋＝1(y≠0)
C．＋＝1(y≠0)　　 D．＋＝1(y≠0)
[解析]　∵|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，∴|AC|＋|BC|＝10>|AB|，所以定点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即2a＝10，c＝4，∴b2＝9，∴＋＝1(y≠0)．选D．
2．(2021·广东六校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　A　)
A．＋＝1　　 B．＋y2＝1
C．＋＝1　　 D．＋＝1
[解析]　由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A．
3．设椭圆C：＋y2＝1的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的个数是(　B　)
①|PF1|＋|PF2|＝2
②离心率e＝
③△PF1F2面积的最大值为
④以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
A．1　　 B．2　　　
C．3　　 D．4
[解析]　由椭圆C：＋y2＝1可知，a＝，b＝1，c＝1，所以左、右焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，根据椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，故①正确；离心率e＝＝，故②错误；所以△PF1F2面积的最大值为×2c×b＝bc＝1，故③错误；由原点(0,0)到直线x＋y－＝0的距离d＝＝1＝c，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，故④正确；故选：B．
4．(2021·新高考八省联考)椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1、F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m＝(　C　)
A．1　　 B．　　　
C．　　 D．2
[解析]　在椭圆＋＝1(m>0)中，
a＝，b＝m，c＝＝1，
如下图所示：

因为椭圆＋＝1(m>0)的上顶点为点A，焦点为F1、F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a，
∵∠F1AF2＝，∴△F1AF2为等边三角形，
则|AF1|＝|F1F2|，即＝a＝2c＝2，
因此，m＝.故选C．
5．(2021·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为(　D　)
A．　　 B．　　　
C．　　 D．
[解析]　设P(x0，y0)，则×＝－，
化简得＋＝1，
则＝，e＝＝＝，故选D．
6．(2021·河北省衡水中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和直线l：＋＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(　A　)
A．　　 B．　　　
C．　　 D．
[解析]　直线l的斜率为－，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以＝，又b2＋c2＝a2⇒2＋c2＝a2⇒c2＝a2，所以e＝＝，故选A．
7．(2021·江西景德镇一中月考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为(　C　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　如图，A(0，b)，B(0，－b)，C(a,0)，F(c,0)，

因为O，F，P，A四点共圆，∠AOC＝，
所以∠APF＝，所以AC⊥BF，即kAC·kBF＝－1，
·＝－1，整理可得b2＝ac，
所以a2－c2＝ac，e2＋e－1＝0，解得e＝，
因为0<e<1，所以e＝.故选：C．
8．(2021·南昌二模)已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　B　)
A．9x－y－4＝0　　 B．9x＋y－5＝0
C．2x＋y－2＝0　　 D．x＋y－5＝0
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋x＝1，＋x＝1，两式相减得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又y1＋y2＝1，x1＋x2＝1，∴kAB＝＝－9，∴直线AB的方程为y－＝－9，即9x＋y－5＝0，故选B．
9．(2021·广东广州、深圳调研)已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为(　A　)
A．　　 B．　　　
C．　　 D．
[解析]　设椭圆的右焦点F′，连接PF′，QF′，
根据椭圆对称性可知四边形PFQF′为平行四边形，
则|QF|＝|PF′|，且由∠PFQ＝120°，
可得∠FPF′＝60°，
所以|PF|＋|PF′|＝4|PF′|＝2a，
则|PF′|＝a，|PF|＝a，
由余弦定理可得(2c)2＝|PF|2＋|PF′|2－2|PF||PF′|cos 60°＝(|PF|＋|PF′|)2－3|PF||PF′|，
即4c2＝4a2－a2＝a2，
∴椭圆的离心率e＝＝＝，故选A．
10．(2021·广东汕头模拟)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，直线y＝kx与该椭圆交于A、B两点，分别过A、B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　A　)
A．±　　 B．±　　　
C．±　　 D．±2
[解析]　联立⇒(b2＋a2k2)x2＝a2b2，
则x＝±，
由题意知＝c，①
∵e＝＝，∴a＝2c，b＝＝c，
代入①可得＝c2⇒k＝±.
故选A．

11．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论错误的是(　C　)
A．a1＋c1>2(a2＋c2)　　 B．a1－c1＝a2－c2
C．a1c2>a2c1　　 D．e1＝
[解析]　由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得a2＋c2＝c1；因为a1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，则a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正确；因为a1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正确；因为a1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝a＋a2c2，则有a1c2－a2c1＝2a2c2－a－a2c2＝a2(c2－a2)<0，所以C错误；因为e1＝＝＝，所以D正确；故选C．
二、填空题
12．(2021·重庆一中、湖北鄂州期中)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>3)的左、右焦点，P为椭圆上一点且满足∠F1PF2＝120°，则|PF1|·|PF2|的值为__36__.
[解析]　由题意知4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4(a2－c2)＝4b2＝36.
13．(2021·武汉质检)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，若—个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为　－　.
[解析]　设另一个焦点为F，如图所示，

∵|AB|＝|AC|＝1，∴△ABC为等腰直角三角形．
∴1＋1＋＝4a，则a＝.
∴|AF|＝2a－1＝，
∴1＋2＝4c2，
∴c＝，∴e＝＝－.
三、解答题
14．(2021·江苏质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.
(1)求C的方程；
(2)若斜率为－的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点．
证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
[解析]　(1)由题意可得解得
又b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝－x＋m，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去y，
得x2－2mx＋2(m2－1)＝0，
则Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，
且x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，
故y1y2＝
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝，
kOPkOQ＝＝＝＝k，
即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
15．(2021·安徽六校教育研究会联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k的取值范围．
[解析]　(1)由题意易得，a＝2，又e＝＝，
∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝4，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
所以由Δ>0，得m2<8k2＋4①
由根与系数关系得x1＋x2＝，
则y1＋y2＝，
所以线段MN的中点P的坐标为.
又线段MN的垂直平分线l′的方程为
y＝－(x－1)，由点P在直线l′上，
得＝－，
所以m＝－②
由①②得，k2>，即k>或k<－，
所以实数k的取值范围是∪.
B组能力提升
1．(2021·安徽六校联考)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为(　A　)
A．－1　　 B．　　　
C．　　 D．
[解析]　由题意得：PF1⊥PF2，且|PF2|＝c，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2a－c，
由勾股定理得：(2a－c)2＋c2＝4c2⇒e2＋2e－2＝0，
解得：e＝－1，故选A．
2．(2021·广东深圳统测，10)已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆x2＋＝1上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为(　B　)
A．2　　 B．4　　　
C．8　　 D．16
[解析]　

由椭圆的方程可得焦点在y轴上，a2＝4，所以a＝2，由题意可得|NF2|≤|F2M|＋|MN|＝|F2M|＋|MF1|，当N，M，F2三点共线时取得最大值，而|F2M|＋|MF1|＝2a＝4，所以|NF2|的最大值为4.故选B．
3．(2021·江苏南京金陵中学调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是(　C　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　设椭圆的左焦点为F′，
根据椭圆的对称性可得|AF′|＝|BF|，|BF′|＝|AF|，
所以|AF′|＋|AF|＝|BF|＋|AF|＝6＝2a，解得a＝3.
因为点P到直线l的距离不小于，
所以≥，解得b≥2.
又b＜a，所以2≤b＜3，故≤＜1.
所以离心率e＝＝∈.
4．(2020·甘肃诊断)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点M.
(1)求椭圆C的方程；
(2)与x轴不垂直的直线l经过N(0，)，且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．
[解析]　(1)由题意可得
解得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程＋y2＝1整理可得
(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0，
Δ＝(8k)2－16(1＋4k2)>0，
解得k>或k<－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2，
∵坐标原点O在以AB为直径的圆内，
∴·<0，
∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝(1＋k2)＋k＋2<0，
解得k<－或k>.
故直线l斜率的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．
5．(2021·湖南省六校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1，P2，P3(0，－)，P4(1,1)中恰有三点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(m>0)与椭圆C有且仅有一个公共点，且与x轴和y轴分别交于点M，N，当△MON面积取最小值时，求此时直线l的方程．
[解析]　(1)根据椭圆的对称性，必过P1，P2.必不过P4，
代入点P3得，b2＝3，代入点P1得，a2＝4.
∴椭圆C的方程为：＋＝1.
(2)由，可得
x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
直线与椭圆有且仅有一个公共点，
可知Δ＝64k2m2－4＝0，
整理得m2＝4k2＋3.
由条件可得k≠0，M，N(0，m)，
∴S△MON＝|OM|·|ON|＝|m|·＝，
∵m2＝4k2＋3，
∴S△MON＝＝.
∵|k|>0，∴≥2，
当且仅当4|k|＝，即|k|＝，k＝±时等号成立，S△MON的最小值为2，
∵m2＝4k2＋3，
∴m2＝6，又m>0，解得m＝.
故此时直线l的方程为y＝x＋或y＝－x＋.