2022版高考数学一轮复习-单元质检卷二-函数新人教A版.docx

2022版高考数学一轮复习 单元质检卷二 函数新人教A版

2022版高考数学一轮复习 单元质检卷二 函数新人教A版

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姓名：

单元质检卷二　函数
(时间:100分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2020安徽合肥一中模拟,理1)设集合A={x|y=lg(x-3)},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于(　　)

A.⌀ B.R
C.{x|x>3} D.{x|x>0}
2.(2020北京朝阳一模,2)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=x3
B.y=-x2+1
C.y=log2x
D.y=2|x|
3.(2020北京人大附中二模,2)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　　)
A.a<b<c B.a<c<b
C.c<a<b D.b<c<a
4.(2020北京平谷二模,10)如图,点O为坐标原点,点A(1,1),若函数y=ax(a>0,且a≠1)及y=logbx(b>0,且b≠1)的图象与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好是线段OA的两个三等分点,则a,b满足(　　)

A.a<b<1 B.b<a<1
C.b>a>1 D.a>b>1
5.(2020山西太原二模,理6)函数f(x)=1x-ln(x+1)的图象大致为(　　)

6.(2020山东烟台一模,8)已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x,实数m,n满足不等式f(2m-n)+f(2-n)>0,则下列不等关系成立的是(　　)
A.m+n>1 B.m+n<1
C.m-n>-1 D.m-n<-1
7.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步过程.设小明跑步的时间为t(单位:s),他与教练间的距离为y(单位:m),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的(　　)

A.点M B.点N C.点P D.点Q
8.(2020山西太原二模,理8)设奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0.则不等式f(x)-f(-x)x<0的解集是(　　)
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.(2020山东烟台模拟,9)在下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=ln(1+9x2-3x) B.y=ex+e-x
C.y=x2+1 D.y=cos x+3
10.(2020山东青岛二模,12)某同学在研究函数f(x)=x2+1+x2-4x+5的性质时,受两点间距离公式的启发,将f(x)变形为f(x)=(x-0)2+(0-1)2+(x-2)2+(0-1)2,则下列关于函数f(x)的描述正确的是(　　)
A.函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增
B.函数f(x)的图象是中心对称图形
C.函数f(x)的值域为[22,+∞)
D.方程f(f(x))=1+5无实数解
11.(2020山东潍坊一模,11)已知函数f(x)对∀x∈R,满足f(x)=-f(6-x),f(x+1)=f(-x+1),若f(a)=-f(2 020),a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上具有单调性,则下列结论正确的是(　　)
A.f(3)=0
B.a=8
C.f(x)是周期为4的周期函数
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
12.已知函数f(x)=12x-x3,x≥0,-4x,x<0,当x∈[t,+∞)时,f(x)的值域为(-∞,16],则实数t的可能取值为(　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2020河南新乡三模,理14)函数f(x)=x2+2x,x≤0,lnx,x>0,则ff1e=　　　　. 
14.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站　　　　千米处. 
15.(2020河北保定二模,理15)已知定义域为R的函数f(x)=μ+2λex+λexx2+2020sinx2+x2有最大值和最小值,且最大值和最小值的和为4,则λ-μ=　　　. 
16.(2020山东潍坊二模,16)已知函数f(x)=lnx,x≥1,2x3-3x2+1,x<1,则当x∈[-1,e]时,f(x)的最小值为　　　　;设g(x)=[f(x)]2-f(x)+a,若函数g(x)有6个零点,则实数a的取值范围是　　　　　. 
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)函数f(x)=m+logax(a>0,且a≠1)的图象过点(8,2)和(1,-1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.

18.(12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)x.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.

19.(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x(x∈N)千件,需另投入成本为C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(万元);当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+10000x-1 450(万元).通过市场分析,若每件售价为500元时,该厂年内生产的商品能全部销售完.
(1)写出年利润L(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

20.(12分)某市明年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内(以30天计)民族文化旅游人数f(x)(单位:万人)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足f(x)=41+1x,人均消费g(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足g(x)=104-|x-23|.
(1)求该市旅游日收益p(x)(单位:万元)与时间x(1≤x≤30,x∈N*)的函数关系式;
(2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.

21.(12分)已知二次函数y=f(x)在x=t+22处取得最小值-t24(t≠0),且f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)若函数y=f(x)在区间-1,12上的最小值为-5,求此时t的值.

22.(12分)已知函数f(x)=lgx+ax-2,其中x>0,a>0.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.

参考答案
单元质检卷二　函数
1.C　∵A={x|y=lg(x-3)}={x|x-3>0}={x|x>3},B={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},∴A∩B={x|x>3},故选C.
2.D　函数y=x3是奇函数,不符合;函数y=-x2+1是偶函数,但是在(0,+∞)上单调递减,不符合;函数y=log2x不是偶函数,不符合;函数y=2|x|既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增,符合.故选D.
3.B　log20.2<log21=0,20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则a<0,b>1,0<c<1,故a<c<b.故选B.
4.A　由题图,得a13=13,即a=133,logb23=23,即b23=23,b=23 32=633>133=a,且b=23 32<230=1,即a<b<1.故选A.
5.A　f(1)=11-ln2>0,排除选项C,D;由f(x)=1x-ln(x+1)≠0,得函数没有零点,排除选项B.故选A.
6.C　∵f(x)的定义域为R,f(-x)=e-x-exex+e-x=-f(x),
∴f(x)是R上的奇函数.
f(x)=1-e-2x1+e-2x=-1+21+e-2x,则f(x)是R上的增函数.
∴由f(2m-n)+f(2-n)>0得,f(2m-n)>f(n-2),
∴2m-n>n-2,∴m-n>-1.
故选C.
7.D　由图知固定位置到点A距离大于到点C距离,所以舍去点N,M,排除选项A,B;若是点P,则从最高点到点C,y单调递减,与图2矛盾,排除选项C;因此取点Q,故选D.
8.B　∵函数f(x)是奇函数,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,0)上也单调递增.
∵f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f(1)=0,不等式f(x)-f(-x)x<0可化为2xf(x)<0,即xf(x)<0.
当x<0时,可得f(x)>0=f(-1),
∴x>-1,∴-1<x<0;
当x>0时,可得f(x)<0=f(1),
∴x<1,∴0<x<1.
综上,不等式f(x)-f(-x)x<0的解集为(-1,0)∪(0,1).故选B.
9.BC　由题,易知A,B,C,D四个选项中函数的定义域均为R.对于A,f(-x)+f(x)=ln(1+9x2+3x)+ln(1+9x2-3x)=0,则f(x)为奇函数,故A不符合题意;对于B,f(-x)=e-x+ex=f(x),即f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,设t=ex(t>1),则f(t)=t+1t,由对勾函数性质可得,f(t)在(1,+∞)上单调递增,又t=ex单调递增,所以f(x)=ex+e-x在(0,+∞)上单调递增,故B符合题意;对于C,易知f(x)=x2+1为偶函数,由其图象知f(x)在(0,+∞)上单调递增,故C符合题意;对于D,易知y=cosx+3是偶函数,但在(0,+∞)不恒增,故D不符合题意.故选BC.
10.ACD　由题意,f(x)=(x-0)2+(0-1)2+(x-2)2+(0-1)2,其几何意义表示点P(x,0)到点A(0,1),B(2,1)的距离之和,点B关于x轴的对称点为B',如图所示.

由对称性可知|PB|=|PB'|,所以f(x)=|PA|+|PB|=|PA|+|PB'|.
当点P的横坐标由x1增加到x2时,|PA|+|PB'|的值也在增加,即f(x2)>f(x1),故f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,故A正确;
同理可得,f(x)在(-∞,1)上单调递减,故函数f(x)的图象不是中心对称图形,故B错误;
由图可知,f(x)=|PA|+|PB'|≥|AB'|=22+(-1-1)2=22,即f(x)的值域为[22,+∞),故C正确;
设f(x)=t,方程f(f(x))=1+5等价于f(t)=1+5,即t2+1+t2-4t+5=1+5,解得t=0或t=2,因为f(x)=t≥22,所以方程f(f(x))=1+5无实数解,故D正确.故选ACD.
11.AB　∵f(x)对∀x∈R,满足f(x)=-f(6-x),f(x+1)=f(-x+1),
∴f(x)=-f(6-x)=-f(-(x-5)+1)=-f(x-5+1)=-f(x-4),
∴f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x-4-4)=-f(x-4)=f(x),故f(x)的周期为T=8,故C错误;
f(a)=-f(2020)=-f(252×8+4)=-f(4)=-f(3+1)=-f(-2)=-[-f(6-(-2))]=f(8),
又a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上具有单调性,易得a=8,故B正确;
∵f(x)=-f(6-x),则f(3)=-f(6-3)=-f(3),
∴f(3)=0,故A正确;
∵f(x+1)=f(-x+1),∴y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故D错误.故选AB.
12.ABC　由题意,函数f(x)=12x-x3,x≥0,-4x,x<0,
当x≥0时,函数f(x)=12x-x3,则f'(x)=12-3x2=-3(x+2)(x-2),
令f'(x)>0,即(x+2)(x-2)<0,解得-2<x<2,令f'(x)<0,即(x+2)(x-2)>0,解得x<-2或x>2,
所以函数f(x)在[0,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,
所以当x=2时,函数取得最大值,最大值为f(2)=12×2-23=16,
即当x≥0时,函数f(x)的值域为(-∞,16];
当x<0时,函数f(x)=-4x在(-∞,0)上单调递减,令f(x)=16,即-4x=16,解得x=-4,
所以当x∈[-4,0)时,y∈(0,16];
当x∈(-∞,-4)时,y∈(16,+∞).
如图所示,若x∈[t,+∞)时,函数f(x)的值域为(-∞,16],可得t∈[-4,2].

结合选项,可得可能的值为-3,-1,1.故选ABC.
13.-1　∵f1e=ln1e=-1,
∴ff1e=f(-1)=-1.故答案为-1.
14.5　设仓库到车站距离为x千米,由题意得,y1=k1x,y2=k2x,其中x>0,当x=10时,代入两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=45,y1+y2=20x+45x≥220x·45x=8,当且仅当20x=45x,即x=5时,等号成立,故答案为5.
15.-2　∵f(x)=μ+2λex+λexx2+2020sinx2+x2=μ+λex+2020sinx2+x2,
若λ<0,则函数y=f(x)无最小值,不符合题意;
若λ>0,则函数y=f(x)无最大值,不符合题意.
所以λ=0,则f(x)=μ+2020sinx2+x2,
则f(x)+f(-x)=μ+2020sinx2+x2+μ+2020sin(-x)2+(-x)2=2μ,
所以函数y=f(x)的图象关于点(0,μ)对称,则f(x)max+f(x)min=4=2μ,则μ=2,因此λ-μ=-2.故答案为-2.
16.-4　0,14　f(x)=lnx在[1,e]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=ln1=0.
当x∈[-1,1)时,f(x)=2x3-3x2+1,令f'(x)=6x2-6x=0,解得x=1(舍去)或x=0,则有f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
因为f(-1)=-2-3+1=-4<f(1),所以函数f(x)在[-1,e]上的最小值为-4.
令t=f(x),g(x)=0,即t2-t=-a,作出函数y=f(x)的图象,如图所示,

直线y=t与函数y=f(x)的图象最多只有三个交点,所以0<t<1,即说明方程t2-t=-a有两个(0,1)内的不相等的实数根,亦即函数y=t2-t在(0,1)内的图象与直线y=-a有两个交点.
因为y=t2-t=t-122-14,根据y=t2-t的图象可知,-14<-a<0,即0<a<14.
17.解(1)由f(8)=2,f(1)=-1,
得m+loga8=2,m+loga1=-1,解得m=-1,a=2,故函数解析式为f(x)=-1+log2x(x>0).
(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]=log2x2x-1-1(x>1).
∵x2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1x-1=(x-1)+1x-1+2≥2(x-1)·1x-1+2=4,当且仅当x-1=1x-1,即x=2时,等号成立.
令t=x2x-1,t≥4,因为函数y=log2t在[4,+∞)上单调递增,则log2x2x-1-1≥log24-1=1,故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.
18.解(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上单调递增,故g(2)=1,g(3)=4,解得a=1,b=0.
(2)由已知可得f(x)=x+1x-2,所以f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解可化为2x+12x-2≥k·2x在x∈[-1,1]上有解,
化为1+12x2-2·12x≥k在x∈[-1,1]上有解,令t=12x,则k≤t2-2t+1在t∈12,2上有解.
记h(t)=t2-2t+1,则h(t)max=h(2)=1.
故k的取值范围是(-∞,1].
19.解(1)当0<x<80,x∈N时,L(x)=500×1000x10000-13x2-10x-250=-13x2+40x-250;
当x≥80,x∈N时,L(x)=500×1000x10000-51x-10000x+1450-250=1200-x+10000x.
∴L(x)=-13x2+40x-250(0<x<80,x∈N),1200-(x+10000x)(x≥80,x∈N).
(2)当0<x<80,x∈N时,L(x)=-13(x-60)2+950,∴当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950;
当x≥80,x∈N时,L(x)=1200-x+10000x≤1200-2x·10000x=1200-200=1000,当且仅当x=10000x,即x=100时,等号成立,
∴L(x)取得最大值L(100)=1000>950.
综上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1000,
即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
20.解(1)由题意知p(x)=f(x)g(x)=41+1x(104-|x-23|)(1≤x≤30,x∈N*).
(2)p(x)=
4(1+1x)(81+x)(1≤x≤23,x∈N*),4(1+1x)(127-x)(23<x≤30,x∈N*).
①当1≤x≤23时,
p(x)=41+1x(81+x)=482+x+81x≥482+2x·81x=400,
当且仅当x=81x,即x=9时,等号成立.
故p(x)取得最小值400.
②当23<x≤30时,p(x)=41+1x(127-x)=4126+127x-x.
设h(x)=127x-x,则有h'(x)=-127x2-1<0,故h(x)在(23,30]上单调递减,则p(x)在(23,30]上也单调递减,
所以当x=30时,p(x)min=4×126+12730-30=4001415>400.
所以最低日收益为400万元.
则两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%=648>600,所以600万元的投资可以在两年内收回.
21.解(1)设f(x)=ax-t+222-t24(a>0).因为f(1)=0,所以t24(a-1)=0.
又因为t≠0,所以a=1,
所以f(x)=x-t+222-t24(t≠0).
(2)因为f(x)=x-t+222-t24(t≠0),所以当t+22<-1,即t<-4时,f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=f(-1)=-1-t+222-t24=-5,所以t=-92;
当-1≤t+22≤12,即-4≤t≤-1时,f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=ft+22=-t24=-5,
所以t=±25(舍去);
当t+22>12,即t>-1时,f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=f12=12-t+222-t24=-5,所以t=-212(舍去).综上所述,t=-92.
22.解(1)由x+ax-2>0,得x2-2x+ax>0.因为x>0,所以x2-2x+a>0.
当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,
函数f(x)的定义域为(0,+∞);
当a=1时,函数f(x)的定义域为{x|x>0,且x≠1};
当0<a<1时,函数f(x)的定义域为{x|0<x<1-1-a或x>1+1-a}.
(2)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,
即x+ax-2>1对x∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x2对x∈[2,+∞)恒成立.
令h(x)=3x-x2,h(x)=3x-x2=-x-322+94在[2,+∞)上单调递减,于是h(x)max=h(2)=2.故a>2,
即a的取值范围是{a|a>2}.