北师大九年级数学下3.2垂径定理.doc

精品教育
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
一、如何运用垂径定理：
垂径定理及其逆定理反映了圆的重要性质，是在圆中证明线段相等、角相等、弧相等及判定两直线的垂直关系
的重要依据。在解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，以构成垂径定理的基本图形
（而实际中，往往只需要从圆心作一条与弦垂直的线段即弦心距就可以）。
在运用垂径定理时，涉及弦长a、弦心距d、半径r及弓形高（弦所对的弧的中点到弦的距离）h这四者之间
的关系，如图所示，它们的关系是： ，，

根据这两个公式，在a，d，r，h四个量中，知道任意两个量便可求出其他两个量。

典型中考题讲解：
1、（2014•盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．

2、 （2014•浦东新区二模）已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径
作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
（2）线段EF的长．

3、（2014•金山区一模）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．求⊙O的半径．

4、（2014•槐荫区一模）如图，在⊙O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2．
求⊙O半径的长．

5、．（2014•天河区二模）如图，AB是⊙O的弦，半径OA=20cm，∠AOB=120°，求线段AB的长．

二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及其推论：
（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：①、不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、
弦、弦心距不一定相等。
②、要结合图形理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义，否则容易用错。
③、在应用此定理及其推论时，首先弄清楚要求证的是哪组量相等，然后只要在除该量之外的三组量
中找到一组量相等即可。
在找相等的量时有两个技巧点：1、认真分析已知条件，看哪组量相等容易找且又能使解题简单化；
2、常常通过作辅助线构造所需要的量，常作半径、弦心距。
1、如图，在⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=_________°．

1题图 2题图 3题图
2、 如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=_________．
3．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为_________度．

三、 圆周角定理：
圆周角：一个角的顶点在圆上，角的两边分别与圆还有另一个交点，这样的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
注意：此定理的作用是得到圆周角与圆心角的数量关系，但注意不能把定理中的“一条弧所对的”丢掉，
而简单的说成“圆周角等于圆心角的一半”。也不能把“一条弧所对的”改为“一条弦所对的”。因为
一条弦所对的圆周角的度数有两种情况。

圆周角定理的推论：
推论一、在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
因为在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以同弧
或等弧所对的圆周角相等。
推论二、直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
①、如图所示，已知AB是⊙O的直径，直径可以看成是顶点在圆心的一个平角，
也就是一个180°的圆心角。又因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半，所以∠ACB＝90°。
②、如图所示，已知∠ACB＝90°，因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半，所以∠AOB＝180°，所以AB是直径，即90度的圆周角所对的弦是直径。
③、利用推论一：用来确定圆周角的相等关系；
利用推论二：1、得到直角，进而得到直角三角形；2、确定直径。由于直径所对的圆周角是直角，
而直角三角形在几何题中有着广泛的应用，所以利用直径构造直角三角形是一种重要的方法。

典型例题讲解：
1． （2014•黔东南州）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD=22.5°，
若CD=6cm，则AB的长为（　　）
A、4cm B、3cm C、2cm D、2cm

1题图 2题图 3题图 4题图
2、 （2014•重庆）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（　　）
A、30° B、45° C、60° D、70°
3、 （2014•南昌）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）
A、40° B、45° C、50° D、55°
4、 （2014•珠海）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（　　）
A、160° B、150° C、140° D、120°
同步练习：
1． （2014•常州模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB=35°，
则∠ADC的度数为（　　）
A、35° B、45° C、55° D、65°

1题图 2题图 3题图 4题图 5题图
2． （2014•武汉元月调考）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB=40°，则∠ACB的度数是（　　）
A、10° B、20° C、40° D、70°　
3． （2014•遵义一模）如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠B=60°，∠C=70°，则∠BOD的度数是（　　）
A、90° B、100° C、110° D、120°　
4、（2014•中江县一模）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=75°，则∠B=（　　）
A、15° B、40° C、75° D、35°　
5、 （2014•新泰市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为3cm，
则圆心O到弦CD的距离为（　　）
A、cm B、3cm C、3cm D、6cm
6、（2014•徐州二模）如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大小；
（2）求弦BD的长．

7、 （2013•长春模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D为上一点，∠ABC=∠BDC=60°，AC=3cm，
求△ABC的周长．

典型中考题讲解1．（2014•盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．

讲解2、（2014•浦东新区二模）已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
（2）线段EF的长．

考点：
垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，求出AO，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；
（2）连接OE，根据勾股定理求出EH，根据垂径定理得出即可．
解答：
解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，
∵OH⊥EF，
∴∠AHO=90°，
在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，
∴OH=AO，
∵BC=10cm，
∴BO=5cm．
∵AO=AB+BO，AB=3cm，
∴AO=3+5=8cm，
∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．

（2）连接OE，
在Rt△EOH中，
∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，
∵EO=5cm，OH=4cm，
∴EH===3cm，
∵OH过圆心O，OH⊥EF，
∴EF=2EH=6cm．
点评：
本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂径定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．

讲解3．（2014•金山区一模）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．求⊙O的半径．

考点：
垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，根据垂径定理求出AD，求出CD，根据勾股定理求出OD，在△ADO中根据勾股定理求出OA即可．
解答：
解：连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，
∵AC=4，CB=8，
∴AB=12．
∵OD⊥AB，
∴AD=DB=6，
∴CD=2，
在Rt△CDO中，∠CDO=90°，OC=4，CD=2，
∴OD=2
在Rt△ADO中，∠ADO=90°，由勾股定理得：OA==4，
∴⊙O的半径是4．
点评：
本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力．
讲解4．（2014•槐荫区一模）如图，在⊙O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2．求⊙O半径的长．

考点：
垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
连接OA，根据垂径定理求出AD=6，∠ADO=90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
解答：
解：连接AO，
∵点C是弧AB的中点，半径OC与AB相交于点D，
∴OC⊥AB，
∵AB=12，
∴AD=BD=6，
设⊙O的半径为R，
∵CD=2，
∴在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2=OD2+AD2，
即：R2=（R﹣2）2+62，
∴R=10
答：⊙O的半径长为10．
点评：
本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形后根据勾股定理得出方程．

讲解5．（2014•天河区二模）如图，AB是⊙O的弦，半径OA=20cm，∠AOB=120°，求线段AB的长．

考点：
垂径定理；解直角三角形．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
作OD⊥AB交AB于点D根据垂径定理得AD=BD，由OA=OB得∠A=∠B，而∠AOB=120°，根据三角形内角和定理得到∠A=30°，在Rt△AOD中，根据含30度的直角三角形三边的关系得OD=OA=10，AD=OD=10，所以AB=2AD=20cm．
解答：
解：作OD⊥AB交AB于点D，如图，则AD=BD，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
而∠AOB=120°，
∴∠A=30°，
在Rt△AOD中，OD=OA=×20=10，
AD=OD=10，
∴AB=2AD=20（cm）．

点评：
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
二、1、75° 2、120° 3、64°

三、圆周角定理1．（2014•黔东南州）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为（　　）

A．
4cm
B．
3cm
C．
2cm
D．
2cm

考点：
圆周角定理；等腰直角三角形；垂径定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
连结OA，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°，由于3⊙O的直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理得AE=BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE进行计算．
解答：
解：连结OA，如图，
∵∠ACD=22.5°，
∴∠AOD=2∠ACD=45°，
∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，
∴AE=OA，
∵CD=6，
∴OA=3，
∴AE=，
∴AB=2AE=3（cm）．
故选：B．

点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
2．（2014•重庆）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（　　）

A．
30°
B．
45°
C．
60°
D．
70°

考点：
圆周角定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．
解答：
解：∵∠ABC=∠AOC，
而∠ABC+∠AOC=90°，
∴∠AOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°．
故选：C．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．（2014•南昌）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A．
40°
B．
45°
C．
50°
D．
55°

考点：
圆周角定理；平行线的性质．菁优网版权所有
分析：
连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．
解答：
解：如图，

连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=∠AOC=55°．
故选：D．
点评：
此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
4．（2014•珠海）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（　　）

A．
160°
B．
150°
C．
140°
D．
120°

考点：
圆周角定理；垂径定理．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
解答：
解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：C．
点评：
此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．

同步练习：
1．（2014•常州模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB=35°，则∠ADC的度数为（　　）

A．
35°
B．
45°
C．
55°
D．
65°

考点：
圆周角定理．菁优网版权所有
分析：
连接BC，推出Rt△ABC，求出∠B的度数，即可推出∠ADC的度数为
解答：
解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=35°，
∴∠B=55°，
∴∠ADC=55°．
故选C．

点评：
本题主要考查了圆周角的有关定理，关键作好辅助线，构建直角三角形，找到同弧所对的圆周角

2．（2014•武汉元月调考）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB=40°，则∠ACB的度数是（　　）

A．
10°
B．
20°
C．
40
D．
70°

考点：
圆周角定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据圆周角定理得到∠ACB=∠AOB，即可计算出∠ACB．
解答：
解：∵∠AOB=40°，
∴∠ACB=∠AOB=20°．
故选B．
点评：
本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．

3．（2014•遵义一模）如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠B=60°，∠C=70°，则∠BOD的度数是（　　）

A．
90°
B．
100°
C．
110°
D．
120°

考点：
圆周角定理；三角形内角和定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据三角形的内角和定理先求出∠A，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，从而可得出答案．
解答：
解：∵∠B=60°，∠C=70°，
∴∠A=50°，
∴∠BOD=100°，
故选B．
点评：
本题考查了三角形的内角和定理以及圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍．

4．（2014•中江县一模）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=75°，则∠B=（　　）

A．
15°
B．
40°
C．
75°
D．
35°

考点：
圆周角定理．菁优网版权所有
分析：
由∠APD=75°，可知∠BPD的度数，由圆周角定理可知∠A=∠D，故能求出∠B．
解答：
解：∵∠APD=75°，
∴∠BPD=105°，
由圆周角定理可知∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等），
在三角形BDP中，
∠B=180°﹣∠BPD﹣∠D=35°，
故选D．
点评：
本题主要考查圆周角定理的知识点，还考查了三角形内角和为180°的知识点，基础题不是很难．

5．（2014•新泰市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为3cm，则圆心O到弦CD的距离为（　　）

A．
cm
B．
3cm
C．
3cm
D．
6cm

考点：
圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度．
解答：
解：连接CB．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴圆心O到弦CD的距离为OE；
∵∠COB=2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，
∴∠COB=60°；
在Rt△OCE中，
OC=3cm，OE=OC•cos∠COB，
∴OE=．
故选A．

点评：
本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
6、（2014•徐州二模）如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大小；
（2）求弦BD的长．

考点：
圆周角定理；垂径定理．菁优网版权所有
分析：
（1）先根据三角形外角的性质求出∠C的度数，由圆周角定理即可得出结论；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，由垂径定理可知BD=2BE，再根据直角三角形的性质可求出BE的长，进而得出结论．
解答：
解：（1）∵∠APD是△APC的外角，∠CAB=50°，∠APD=80°，
∴∠C=80°﹣50°=30°，
∴∠ABD=∠C=30°；

（2）过点O作OE⊥BD于点E，则BD=2BE，
∵∠ABD=30°，OB=5cm，
∴BE=OB•cos30°=5×=cm，
∴BD=2BE=5cm．

点评：
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．
7、（2013•长春模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D为上一点，∠ABC=∠BDC=60°，AC=3cm，求△ABC的周长．

考点：
圆周角定理；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
根据圆周角定理可以证明△ABC是等边三角形，据此即可求得周长．
解答：
解：∵=，
∴∠BDC=∠BAC．
∵∠ABC=∠BDC=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠ACB=60°．
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°．
∴△ABC为等边三角形．
∵AC=3cm，
∴△ABC的周长为3×3=9（cm）．
点评：
本题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定定理，根据圆周角定理找出图形中相等的角是关键．

-可编辑-