角平分线辅助线.拔高(2014-2015)-教师版.doc
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1、 2015年中考解决方案角平分线辅助线拔高学生姓名:上课时间:2014.角平分线辅助线拔高自检自查必考点知识点一 角平分线性质(1)角平分线上的点到角的两边的距离相等;(2)到角的两边距离相等的点在角的平分线上(3)天然的轴对称模型,三线合一模型知识点二 角平分线辅助线秘籍一:往角两边作垂线解读:用角平分线上的点往角两边作垂线,这是常用的辅助线,可以利用边角边构造全等 秘籍二:往角两边截取相等的线段解读:在角两边截取相等的线段,这也是角平分线常用的辅助线,常用于解决线段和差问题 秘籍三:过角平分线上的点作垂线解读:过角平分线上的点作垂线,常用于构造三线合一,构造等腰三角形 秘籍四:过角平分线上
2、的点作角一边的平行线解读:可以构造等腰三角形,可以记作口诀:“角平分线+平行线,等角三角形现。 总结:往角两边作垂线或平行线、及截取等线段,或用四点共圆知识点三 角平分线模型模型一 两角平分线相交模型解读:这些是三角形角平分线的经典题型,必须让学生掌握这些证明过程类型一:在中,如图1,为和的角平分线,与为 推理方法:如图,可得,化简可得类型二:如图2,为和的角平分线,求与之间的关系为推理方法:如图,可得,化简可得类型三:如图3,为和的角平分线,则与之间的关系为推理方法:如图,化简可得模型二 对角互补模型条件:,AOB+DCE =180结论:难度较大,记得经常复习(庆功独家提供,见几何小秘籍)中
3、考满分必做题【练1】 在中,平分,为垂足,为的中点,求证: 【答案】延长交于,则得,所以为中点,所以,所以含有角平分线的题目,常以角平分线为对称轴作出全等三角形【练1】如图所示,在中,为的中点,是的平分线,若且交的延长线于,求证 【答案】题目中有角平分线和垂直的条件,因此可以考虑将图形补成等腰,之后再证明是的中位线即可如图所示,延长、相交于点,在和中,故,从而,而,故是的中位线,从而【练2】 如图,在中,、分别是、的平分线,求证:【答案】如图,作,交于,交于为等腰三角形,且平分为中点,且平分,且为等腰三角形,且为的中点又,且为中点,即可以发现四边形为矩形,于是【练3】 在中,的平分线交于,过作
4、,为垂足,求证: 【答案】延长交的延长线于,过作交于,容易证得,且为 之中点,故易得【练1】如图所示,在中,是的平分线,是的中点,且交的延长线于,求证 【答案】如图所示,延长到,使,连接、因为,故,则因为,故因为,故因为,故因为平分,故在和中,故,从而,因此【点评】实质上,本题还是利用了“见到角平分线,考虑对称图形”的思想【练2】如图,在中,是角平分线,垂足为求证:【答案】如图,延长交于于因为,所以于是因为,所以【练3】如图,已知,求证:【答案】解法一:如图,取的中点,连接、,公共,解法二:如图,延长到,使,公共,是等腰三角形底边上的中线,解法四:如图,取、的中点、,连接、,故,而,公共,是直
5、角三角形【练4】 如图,在中,的平分线交于,过作,垂足为,求证:【答案】解法一(角分线加中位线):如图,延长、交于,过作,交于,则,解法二(角分线加中位线):如图,延长、交于,过作交于,故有,解法三(直角三角形斜边中线):如图,取的中点,连接交于,则是斜边上的中线,故,有,故是的重心为的中线,故解法四(角平分线定理与面积比例):如图,延长、交于,而,平分,故,【练1】是的角平分线,交的延长线于,交于求证:【答案】由“角平分线+垂直”联想到等腰三角形的“三线合一”,故恢复等腰三角形延长交的延长线于点,易证得,所以为的中点,又,所以为的中位线,故这道题目是典型的“补图”,凸显题目中的条件【练2】如
6、图所示,是中的外角平分线,于,是的中点,求证 且 【答案】如图所示,延长到,使,连接在和中,故,从而、三点共线,且是的中点,是的中位线,故,且【练3】如图所示,在中,平分,于,求证 【答案】如图所示,延长、相交于取的中点,连接,则,故,则容易证明,故因此【练5】 已知在中,的平分线交于,交边上的高于,过作交于,求证:【答案】解法一:如图,由向作垂线,垂足为,连接又,公共,又,故,而,为平行四边形,故又,而,故,而,解法二:如图,作,交于,又,而,故,又,即解法三:如图,过作,垂足为过作,垂足为又,又,而,故解法四:如图,延长到,使,连接,过作交于,显然,又,公共,显然为平行四边形,由另证1可知
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