圆锥曲线(求轨迹方程)汇总.pdf
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1、 求轨迹方程-1专题 圆锥曲线(求轨迹方程)求轨迹方程的常用方法(1)直接法:直接利用条件建立 x,y 之间的关系或 F(x,y)0;(2)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;(3)代入转移法(相关点法):动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用 x,y 的代数式表示 x0,y0,再将 x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程1一个区别“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的前者只须求出轨迹的方程,标出变量 x,y 的范围;后者除求出方程外,还应指出
2、方程的曲线的图形,并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据2双向检验求轨迹方程的注意点求轨迹方程,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系,检验应从两个方面进行:一是方程的化简是否是同解变形;二是是否符合实际意义,注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响考向一 直接法求轨迹方程【例 1】已知动点 P(x,y)与两定点 M(1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0)(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;(2)试根据 的取值情况讨论轨迹 C 的形状【解】(1)由题意可知,直线 PM 与 PN 的斜率均存在且均不为零,所以 kPMkPNyx1,整理得 x21(0,x1)即动点 P 的
3、轨迹 C 的方程为yx1y2x21(0,x1)y2(2)当 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点);当10 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点);当 1 时,轨迹 C 为以原点为圆心,1 为半径的圆除去点(1,0),(1,0)当 1 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)【对点练习 1】已知 A,B 为平面内两定点,过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线,垂足为 N.若2,其中 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是()MN AN NB A圆B椭圆C抛物线D双曲线【解析】以 AB 所在直线为 x
4、轴,AB 的中垂线为 y 轴,建立坐标系,设 M(x,y),A(a,0),B(a,0),则 N(x,0)因为2,所以 y2(xa)(ax),即 x2y2a2,MN AN NB 当 1 时,是圆的轨迹方程;当 0 且 1 时,是椭圆的轨迹方程;当 0 时,是双曲线的轨迹方程;当 0 时,是直线的轨迹方程 求轨迹方程-2图882图881综上,方程不表示抛物线的方程【答案】C考向二 定义法求轨迹方程【例 2】已知两个定圆 O1和 O2,它们的半径分别是 1 和 2,且|O1O2|4.动圆 M 与圆 O1内切,又与圆 O2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线【解】如
5、图所示,以 O1O2的中点 O 为原点,O1O2所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系由|O1O2|4,得 O1(2,0),O2(2,0)设动圆 M 的半径为 r,则由动圆 M 与圆 O1内切,有|MO1|r1;由动圆 M 与圆 O2外切,有|MO2|r2.|MO2|MO1|3.点 M 的轨迹是以 O1,O2为焦点,实轴长为 3 的双曲线的左支a,c2,b2c2a2.3274点 M 的轨迹方程为1.4x294y27(x 32)【对点练习 2】如图 881 所示,已知圆 A:(x2)2y21 与点 B(2,0),分别求出满足下列条件的动点 P 的轨迹方程(1)PAB 的周长为 10;(2)圆 P
6、与圆 A 外切,且过 B 点(P 为动圆圆心);(3)圆 P 与圆 A 外切,且与直线 x1 相切(P 为动圆圆心)【解】(1)根据题意,知|PA|PB|AB|10,即|PA|PB|64|AB|,故 P 点轨迹是椭圆,且 2a6,2c4,即 a3,c2,b.5因此其轨迹方程为1(y0)x29y25(2)设圆 P 的半径为 r,则|PA|r1,|PB|r,因此|PA|PB|1.由双曲线的定义知,P 点的轨迹为双曲线的右支,且 2a1,2c4,即 a,c2,b,12152因此其轨迹方程为 4x2y21.415(x 12)(3)依题意,知动点 P 到定点 A 的距离等于到定直线 x2 的距离,故其轨
7、迹为抛物线,且开口向左,p4.因此其轨迹方程为 y28x.考向三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例 3】如图 882 所示,设 P 是圆 x2y225 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|PD|.45(1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度45【解】(1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),由已知得Error!Error!求轨迹方程-3图 885P 在圆上,x2225,即 C 的方程为1.(54y)x225y216(2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为
8、 y(x3),设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),4545将直线方程 y(x3)代入 C 的方程,得1,即 x23x80.45x225x3225x1,x2.3 4123 412线段 AB 的长度为|AB|.x1x22y1y22(11625)x1x224125 41415【对点练习 2】(2014合肥模拟)如图 885 所示,以原点 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为 3 和 1,过原点 O 的射线交大圆于点 P,交小圆于点 Q,P 在 y 轴上的射影为 M.动点 N 满足且0.PM PN PM QN(1)求点 N 的轨迹方程;(2)过点 A(0,3)作斜率分别为 k1,
9、k2的直线 l1,l2与点 N 的轨迹分别交于 E,F 两点,k1k29.求证:直线 EF 过定点【解】(1)由且0 可知 N,P,M 三点共线且 PMQN.PM PN PM QN 过点 Q 作 QNPM,垂足为 N,设 N(x,y),|OP|3,|OQ|1,由相似可知 P(3x,y)P 在圆 x2y29 上,(3x)2y29,即x21.所以点 N 的轨迹方程为x21.y29y29(2)证明:设 E(xE,yE),F(xF,yF),依题意,由Error!Error!(k 9)x26k1x0,2 1解得 x0 或 x.所以 xE,yEk13,6k1k2 196k1k2 19(6k1k2 19)2
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