高考抛物线专题做题技巧与方法总结.pdf
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1、高考抛物线专题做题技巧与方法总结高考抛物线专题做题技巧与方法总结知识点梳理:1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(0p):标准方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px 2py2py 范围Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRx对称轴x轴y轴顶点 (0,0)离心率1e2.抛物线的焦半径、焦点弦)0(22ppxy的焦半径PF2Px;)0(22ppyx的焦半径PF2Py;过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为 2p.AB 为抛物线pxy22的焦点弦,则BAxx 42p,BAyy2p
2、,|AB=pxxBA3.pxy22的参数方程为ptyptx222(t为参数),pyx22的参数方程为222ptyptx(t为参数).重难点突破重难点突破重点:掌握抛物线的定义和标准方程,会运用定义和会求抛物线的标准方程,能通过方程研究抛物线的几何性质难点:与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦,运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题 1:抛物线 y=42x上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是()A.1617 B.1615 C.87 D.0点拨:抛物线的标准方程为yx412,准线方程为161y,由定义知,点 M 到准线的距离为 1,所以点 M
3、的纵坐标是16152.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题 2:顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点(3,2)的抛物线的条数有 点拨:抛物线的类型一共有 4 种,经过第一象限的抛物线有 2 种,故满足条件的抛物线有 2 条3.研究几何性质,要具备数形结合思想,“两条腿走路”问题 3:证明:以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨:设AB为抛物线的焦点弦,F 为抛物线的焦点,点、BA分别是点BA、在准线上的射影,弦AB的中点为 M,则 BBAABFAFAB,点M 到准线的距离为ABBBAA21)(21,以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切3、典型例题讲解:、典型例题讲解:考点考点
4、1 抛物线的定义抛物线的定义题型题型 利用定义利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例 1 已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,1)的距离与点 P到抛物线焦点距离之和的最小值为 解题思路:解题思路:将点 P 到焦点的距离转化为点 P 到准线的距离解析过点 P 作准线的垂线l交准线于点 R,由抛物线的定义知,PRPQPFPQ,当 P 点为抛物线与垂线l的交点时,PRPQ 取得最小值,最小值为点 Q 到准线的距离,因准线方程为 x=-1,故最小值为 3总结:总结:灵活利用抛物线的定义,就是实现抛
5、物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换,一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关练习:1.已知抛物线22(0)ypx p的焦点为F,点111222()()P xyP xy,333()P xy,在抛物线上,且|1FP、|2FP、|3FP成等差数列,则有 ()A321xxx B 321yyyC2312xxx D.2312yyy解析C 由抛物线定义,2132()()(),222pppxxx即:2312xxx 2.已知点),4,3(AF 是抛物线xy82的焦点,M 是抛物线上的动点,当MFMA 最小时,M 点坐标是 ()A.)0,0(B.)62,3(C.)4,2(D.)62,3(解析 设 M 到
6、准线的距离为MK,则MKMAMFMA|,当MKMA 最小时,M 点坐标是)4,2(,选 C考点考点 2 抛物线的标准方程抛物线的标准方程题型题型:求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线240 xy上解题思路:解题思路:以方程的观点看待问题,并注意开口方向的讨论.解析(1)设所求的抛物线的方程为22ypx 或22(0)xpy p,过点(-3,2)229)3(24pp或 2934pp或 抛物线方程为243yx 或292xy,前者的准线方程是1,3x 后者的准线方程为98y (2)令0 x 得2y
7、 ,令0y 得4x,抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p,8p,此时抛物线方程216yx;焦点为(0,-2)时22p 4p,此时抛物线方程28xy.所求抛物线方程为216yx或28xy,对应的准线方程分别是4,2xy.总结:总结:对开口方向要特别小心,考虑问题要全面练习:练习:3.若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合,则p的值 解析4132pp4.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6;抛物线的通径的长为 5;由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这
8、抛物线方程为y2=10 x的条件是_.(要求填写合适条件的序号)解析 用排除法,由抛物线方程 y2=10 x 可排除,从而满足条件.5.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 Y 轴的交点,A为抛物线上一点,且3|,17|AFAM,求此抛物线的方程解析 设点 A是点A在准线上的射影,则3|AA,由勾股定理知22|MA,点 A 的横坐标为)23,22(p,代入方程pyx22得2p或 4,抛物线的方程yx42或yx82考点考点 3 抛物线的几何性质抛物线的几何性质题型:有关焦半径和焦点弦的计算与论证题型:有关焦半径和焦点弦的计算与论证例 3 设 A、B 为抛物线pxy22上的点,
9、且90AOB(O 为原点),则直线 AB必过的定点坐标为_.解题思路:解题思路:由特殊入手,先探求定点位置解析设直线 OA 方程为kxy,由pxykxy22解出 A 点坐标为)2,2(2kpkppxyxky212解出 B 点坐标为)2,2(2pkpk,直线 AB 方程为221)2(2kpkxkpky,令0y得px2,直线 AB 必过的定点)0,2(p总结:总结:(1)由于是填空题,可取两特殊直线 AB,求交点即可;(2)B 点坐标可由 A 点坐标用k1换 k 而得。练习:练习:6.若直线10axy 经过抛物线24yx的焦点,则实数a 解析-17.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、B
10、,若 A、B 在抛物线准线上的射影为11,BA,则11FBA ()A.45 B.60 C.90 D.120解析C基础巩固训练:基础巩固训练:1.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于)(422Raaa,则这样的直线()A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1 条或 2 条 D.不存在解析C 44)1(52|22aaapxxABBA,而通径的长为42.在平面直角坐标系xOy中,若抛物线24xy上的点P到该抛物线焦点的距离为 5,则点 P 的纵坐标为()A.3 B.4 C.5 D.6解析 B 利用抛物线的定义,点 P 到准线1y的距离为 5,故点 P
11、的纵坐标为 43.两个正数 a、b 的等差中项是92,一个等比中项是2 5,且,ba 则抛物线2()yba x的焦点坐标为()A1(0,)4 B1(0,)4 C1(,0)2 D1(,0)4解析 D.1,4,5abba4.如果1P,2P,8P是抛物线24yx上的点,它们的横坐标依次为1x,2x,8x,F 是抛物线的焦点,若)(,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx,则|5FP=()A5 B6 C 7 D9 解析B 根据抛物线的定义,可知12iiipPFxx(1i,2,n),)(,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx,55x,|5FP=65、抛物线,42Fxy的焦点为准线为 l,l
12、 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,ABl,垂足为 B,则四边形 ABEF 的面积等于()A33 B34 C36 D38解析 C.过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H,设),(nmA,则1,1mOFOHFHmABAF,32,3)1(21nmmm四边形 ABEF 的面积=32)13(221366、设O是坐标原点,F是抛物线24yx的焦点,A是抛物线上的一点,FA 与x轴正向的夹角为60,则OA 为 解析21.过 A 作ADx轴于 D,令FDm,则mFA2即mm22,解得2m)32,3(A21)32(322OA综合提高训练7.在
13、抛物线24yx上求一点,使该点到直线45yx的距离为最短,求该点的坐标解析解法 1:设抛物线上的点)4,(2xxP,点P到直线的距离17|544|2xxd1717417|4)21(4|2x,当且仅当21x时取等号,故所求的点为),(121解法 2:当平行于直线45yx且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求,设该直线方程为bxy 4,代入抛物线方程得0442bxx,由01616b得21,1xb,故所求的点为),(1218.已知抛物线2:axyC(a为非零常数)的焦点为F,点P为抛物线c上一个动点,过点P且与抛物线c相切的直线记为l(1)求F的坐标;(2)当点P在何处时,点F到直线l的距离最小
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