高数下册知识点.pdf
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1、高等数学(下)知识点第 1 页 共 20 页高等数学下册知高等数学下册知识识点点第八章第八章 空空间间解析几何与向量代数解析几何与向量代数 向量及其向量及其线线性运算性运算1向量,向量相等,向量,向量相等,单单位向量,零向量,向量平行、共位向量,零向量,向量平行、共线线、共面;、共面;2线线性运算:加减法、数乘;性运算:加减法、数乘;3空空间间直角坐直角坐标标系:坐系:坐标轴标轴、坐、坐标标面、卦限,向量的坐面、卦限,向量的坐标标分解式;分解式;4利用坐利用坐标标做向量的运算:做向量的运算:设设,),(zyxaaaa),(zyxbbbb 则则,;),(zzyyxxbabababa),(zyxa
2、aaa5向量的模、方向角、投影:向量的模、方向角、投影:1向量的模:向量的模:;222zyxr2两点两点间间的距离公式:的距离公式:212212212)()()(zzyyxxBA3方向角:非零向量与三个坐方向角:非零向量与三个坐标轴标轴的正向的的正向的夹夹角角,4方向余弦:方向余弦:rzryrxcos ,cos ,cos1coscoscos2225投影:投影:,其中其中为为向量向量与与 的的夹夹角。角。cosPraajuau 数量数量积积,向量,向量积积1 数量数量积积:cosbaba1)2aaa2)ba0ba高等数学(下)知识点第 2 页 共 20 页zzyyxxbabababa运算律:运算
3、律:2 向量向量积积:bac大小:大小:,方向:,方向:符合右手符合右手规则规则sinbacba,1)0aa2)ba/0bazyxzyxbbbaaakjiba运算律:反交运算律:反交换换律律 baab3、混合、混合积积*:a b cabc xyzxyzxyzaaaa b cbbbccc 三个向量三个向量共面共面 ,a b c0a b c 曲面及其方程曲面及其方程1 曲面方程的概念:曲面方程的概念:0),(:zyxfS2 旋旋转转曲面:曲面:面上曲面上曲线线,yoz0),(:zyfC高等数学(下)知识点第 3 页 共 20 页绕绕轴轴旋旋转转一周:一周:y0),(22zxyf绕绕轴轴旋旋转转一周
4、:一周:z0),(22zyxf3 柱面:柱面:表示母表示母线线平行于平行于轴轴,准,准线为线为的柱面的柱面0),(yxFz00),(zyxF4 二次曲面二次曲面1 椭圆锥椭圆锥面:面:22222zbyax2 椭椭球面:球面:1222222czbyax旋旋转椭转椭球面:球面:1222222czayax3 单单叶双曲面:叶双曲面:1222222czbyax4 双叶双曲面:双叶双曲面:1222222czbyax5 椭圆椭圆抛物面:抛物面:zbyax22226 双曲抛物面(双曲抛物面(马马鞍面):鞍面):zbyax22227 椭圆椭圆柱面:柱面:12222byax高等数学(下)知识点第 4 页 共 2
5、0 页8 双曲柱面:双曲柱面:12222byax9 抛物柱面:抛物柱面:ayx 2 空空间间曲曲线线及其方程及其方程1 一般方程:一般方程:0),(0),(zyxGzyxF2 参数方程:参数方程:,如螺旋,如螺旋线线:)()()(tzztyytxxbtztaytaxsincos3 空空间间曲曲线线在坐在坐标标面上的投影面上的投影,消去,消去,得到曲,得到曲线线在面在面上的投影上的投影0),(0),(zyxGzyxFzxoy00),(zyxH 平面及其方程平面及其方程1 点法式方程:点法式方程:0)()()(000zzCyyBxxA 法向量:法向量:,过过点点),(CBAn),(000zyx2
6、一般式方程:一般式方程:0DCzByAx截距式方程:截距式方程:1czbyax3 两平面的两平面的夹夹角:角:,),(1111CBAn),(2222CBAn 222222212121212121cosCBACBACCBBAA高等数学(下)知识点第 5 页 共 20 页 210212121CCBBAA 21/212121CCBBAA4 点点到平面到平面的距离:的距离:),(0000zyxP0DCzByAx222000CBADCzByAxd 空空间间直直线线及其方程及其方程1 一般式方程:一般式方程:0022221111DzCyBxADzCyBxA2 对对称式(点向式)方程:称式(点向式)方程:p
7、zznyymxx000 方向向量:方向向量:,过过点点),(pnms),(000zyx3 参数式方程:参数式方程:ptzzntyymtxx0004 两直两直线线的的夹夹角:角:,),(1111pnms),(2222pnms 222222212121212121cospnmpnmppnnmm 21LL0212121ppnnmm 21/LL212121ppnnmm5 直直线线与平面的与平面的夹夹角:直角:直线线与它在平面上的投影的与它在平面上的投影的夹夹角,角,222222sinpnmCBACpBnAm高等数学(下)知识点第 6 页 共 20 页 /L0CpBnAm LpCnBmA6 平面束:平面
8、束:,0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA过过的交的交线线的平面构成平面束,方程的平面构成平面束,方程为为:21,0)(22221111DzCyBxADzCyBxA第九章第九章 多元函数微分法及其多元函数微分法及其应应用用 基本概念基本概念1 距离,距离,邻邻域,内点,外点,域,内点,外点,边边界点,聚点,开集,界点,聚点,开集,闭闭集,集,连连通集,区域,通集,区域,闭闭区域,有界区域,有界集,无界集。集,无界集。2 多元函数:多元函数:,图图形:形:),(yxfz 3 极限:极限:Ayxfyxyx),(lim),(),(004 连续连续:),(),(lim00),(),
9、(00yxfyxfyxyx5 偏偏导导数:数:xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000006 方向方向导导数:数:tyxfyyxxflft),(),(lim0其中其中,)()(22yxt,costx costy 其中其中为为的方向角。的方向角。coscosyfxflf,l高等数学(下)知识点第 7 页 共 20 页7 梯度:梯度:,则则。),(yxfz jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(0000008 全微分:全微分:设设,则则),(yxfz dddzzzxyxy 性性质质1 极限与累次极限的
10、关系极限与累次极限的关系2 函数可微,偏函数可微,偏导连续导连续,偏,偏导导存在,函数存在,函数连续连续等概念之等概念之间间的关系:的关系:偏偏导导数存在数存在函数可微函数可微函数函数连续连续偏偏导导数数连续连续充分条件充分条件必要条件必要条件定定义义122343 闭闭区域上区域上连续连续函数的性函数的性质质(有界性定理,最大最小(有界性定理,最大最小值值定理,介定理,介值值定理)定理)4 微分法微分法1 定定义义:ux2 复合函数求复合函数求导导:链链式法式法则则 z 若若,则则 (,),(,),(,)zf u v uu x y vv x yvy,zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy3
11、隐隐函数求函数求导导:两:两边边求偏求偏导导,然后解方程(,然后解方程(组组)应应用用1 极极值值1 无条件极无条件极值值:求函数:求函数的极的极值值),(yxfz 高等数学(下)知识点第 8 页 共 20 页解方程解方程组组 求出所有求出所有驻驻点,点,对对于每一个于每一个驻驻点点,令,令00yxff),(00yx,),(00yxfAxx),(00yxfBxy),(00yxfCyy 若若,函数有极小,函数有极小值值,若,若,函数有极大,函数有极大值值;02 BAC0A02 BAC0A 若若,函数没有极,函数没有极值值;02 BAC 若若,不定。,不定。02 BAC2 条件极条件极值值:求函数
12、:求函数在条件在条件下的极下的极值值),(yxfz 0),(yx令:令:Lagrange 函数函数),(),(),(yxyxfyxL解方程解方程组组 0),(00yxLLyx2 几何几何应应用用1 曲曲线线的切的切线线与法平面与法平面曲曲线线,则则上一点上一点(对应对应参数参数为为)处处的切的切线线方程方程为为:)()()(:tzztyytxx),(000zyxM0t)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程法平面方程为为:0)()()(000000zztzyytyxxtx2 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线线曲面曲面,则则上一点上一点处处的切平面方程的切平面方程为为:0),
13、(:zyxF),(000zyxM0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx高等数学(下)知识点第 9 页 共 20 页 法法线线方程方程为为:),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章第十章 重重积积分分 二重二重积积分分1 定定义义:nkkkkDfyxf10),(limd),(2 性性质质:(:(6 条)条)3 几何意几何意义义:曲:曲顶顶柱体的体柱体的体积积。4 计计算:算:1 直角坐直角坐标标,bxaxyxyxD)()(),(2121()()(,)d dd(,)dbxaxDf x yx yx
14、f x yy,dycyxyyxD)()(),(2121()()(,)d dd(,)ddycyDf x yx yyf x yx2 极坐极坐标标)()(),(21D21()()(,)d d(cos,sin)dDf x yx ydf 三重三重积积分分1 定定义义:nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2 性性质质:高等数学(下)知识点第 10 页 共 20 页3 计计算:算:1 直角坐直角坐标标 -“先一后二先一后二”Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先二后一先二后一”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(2 柱面坐柱面坐标标,z
15、zyxsincos(,)d(cos,sin,)d d df x y zvfzz 3 球面坐球面坐标标cossinsincossinrzryrx2(,)d(sin cos,sin sin,cos)sin d d df x y zvf rrrrr 应应用用曲面曲面的面的面积积:DyxyxfzS),(,),(:yxyzxzADdd)()(122第十一章第十一章 曲曲线积线积分与曲面分与曲面积积分分 对对弧弧长长的曲的曲线积线积分分1 定定义义:01(,)dlim(,)niiiLif x ysfs 2 性性质质:高等数学(下)知识点第 11 页 共 20 页1)(,)(,)d(,)d(,)d.LLLf
16、 x yx ysf x ysg x ys2)12(,)d(,)d(,)d.LLLf x ysf x ysf x ys).(21LLL3)在上,若,则L),(),(yxgyxf(,)d(,)d.LLf x ysg x ys4)(l 为为曲曲线线弧弧 L 的的长长度度)lsLd3 计计算:算:设设在曲在曲线线弧弧上有定上有定义义且且连续连续,的参数方程的参数方程为为,),(yxfLL)(),(),(ttytx其中其中在在上具有一上具有一阶连续导阶连续导数,且数,且,则则)(),(tt,0)()(22tt22(,)d(),()()()d ,()Lf x ysfttttt 对对坐坐标标的曲的曲线积线积
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