极坐标、参数方程题型总结.pdf

1极坐标、参数方程题型总结一、大纲要求：1.了解坐标系的作用。了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。3能在极坐标系中给出简单图形的方程。4.了解参数方程，了解参数的意义。5.能选择适当的参数写出直线,圆和圆锥曲线的参数方程。二基础知识：1.把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则 或 。2.若圆心为 M(0，0)，半径为 r 的圆方程为220cos(0)02r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为 r：r；(2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：；(3)当圆心位于 M，半径为 a：.(,)2a3.直线的极坐标方程若直线过点 M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0和0；(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过 M(b，)且平行于极轴：sin b.24.常见曲线的参数方程的一般形式（1）圆心在坐标原点，半径为 r 圆的参数方程为圆心在，半径为 r 圆的参数方程为：(,)a b(2)椭圆的参数方程为：（3）抛物线 y22px 的参数方程为Error!(t 为参数)（4）在直线的参数方程Error!(t为参数)中，(1)t 的几何意义是什么？(2)如何利用 t 的几何意义求直线上任两点 P1、P2的距离？t 表示在直线上过定点 P0(x0，y0)与直线上的任一点 P(x，y)构成的有向线段 P0P 的数量|P1P2|t1t2|.t1t224t1t25.两个结论：已知点1122(,),(,)AB 2（1）ABOS（2）|AB 三、题型归纳题型一：参数方程化普通方程例 1.已知直线:ttytx(.23,211为参数),曲线:1Ccos,sin,xy （为参数）.（）设与1C相交于BA,两点,求|AB；（）若把曲线1C上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C,设点P是曲线2C上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.解.（I）的普通方程为1),1(3Cxy的普通方程为.122 yx联立方程组,1),1(322yxxy解得与1C的交点为)0,1(A,)23,21(B,则1|AB.-5 分 （II）2C的参数方程为(.sin23,cos21yx为参数).故点P的坐标是)sin23,cos21(,从而点P到直线的距离是 2)4sin(2432|3sin23cos23|d,由此当1)4sin(时,d取得最小值,且最小值为)12(46.-10 分训练 1.已知极点与坐标原点 O 重合，极轴与 x 轴非负半轴重合，M 是曲线 C:=4sin上任一点，点 P 满足设点 P 的轨迹为曲线 Q3OPOM （1）求曲线 Q 的方程；（2）设曲线 Q 与直线（t 为参数）相交于 A、B 两点，且|AB|=4求实数 a,:xtlyta （1）设，11(,),(,)P x y M x y222224 sin,4,(2)4xyyxyQ,则，代入整理得，3OPOM 1133yyxx111313xxyy22(6)36xy点轨迹方程为.5 分P22(6)36xy3（2）将为参数 化为普通方程得，,(xttyta )0 xya由（1）知曲线是圆心为,半径的圆，圆心到直线 的距离.Q(0,6)N6r Nl|6|2ad,解得或.10 分222|6|622a2a 142.曲线 C：曲线 D：。cos(sinxy为参数）222(22xttyt为参数）（1）指出曲线 C、D 分别是什么曲线？并说明曲线 C 与 D 公共点人的个数。（2）若把曲线 C、D 上各点的纵坐标压缩为原来的21倍，分别得到曲线 C1、D1，请写出曲线C1、D1 的参数方程，说明其公共点的个数和曲线 C、D 公共点是否相同？3.点 P 为椭圆 C：上一点，若，求点 P 的坐标。4cos(2 3sinxy为参数）3OP直线的倾斜角为4若直线与圆没有公共点，则实数 m 的范围是 340 xym1 cos(2sinxy 为参数）。5.直线:,曲线 C：cos,sin,xy （为参数）.1cos(sinxttyt 为参数）（1）当求：直线:与曲线 C 的交点坐标。,36.直线 l:，圆 C：则圆心 C 到直线的距离是 3(3xttyt 为参数）2cos(22sinxy为参数）。4题型二：普通方程化为参数方程例 2.点为椭圆上一点，求（1）的范围；P(x,y)2213xySxy（2）若垣成立，求 a 的范围。0 xya训练 1.直线 过点，倾斜角，l(1,1)P6（1）写出 的参数方程；l（2）直线 与圆相交于 A、B 两点，求。l2cos(2sinxy为参数）|PAPBA题型三：极坐标化直角方程例 3已知某圆的极坐标方程为06)4cos(242（I）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（II）若点(,)P x y在该圆上，求xy的最大值和最小值解（）064422yxyx；3 分sin22cos22yx（为参数）5 分（）因为4sin24yx，所以其最大值为 6，最小值为 210 分求曲线训练 1.两圆的极坐标方程为。4cos,sin （1）把它们化为直角坐标方程；（2）求两圆的交点所在直线的直角坐标方程。52已知圆与直线相切，求实数 a 的值。2cos3 cos4 sin0a3.与曲线的交点的极坐标 。cos34cos(0,0)2 题型四：综合运用例 4.已知曲线 C：和定点，分别是曲线 C 的左、右两个2cos(3sinxy为参数）(0,3)A12,F F焦点。（1）以原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；2AF（2）经过，且与直线垂直的直线交此曲线于两点，求的值。1F2AFMN、11|MF|-|NF|训练 1.已知曲线 C 极坐标方程为，设直线 的参数方程是。设2sinl325(35xttyt 为参数）直线 与 x 轴相交于于为曲线 C 上的动点，求的最大值。lM N,|MN2.直线 的参数方程是。曲线 C 极坐标方程为。l232(252xttyt为参数）2 5sin设直线 与曲线 C 相交于于两点，点。求。lMN、(3,5)P|PMPN4.曲线 C：，M 是曲线 C 上的动点，点 P 满足。2cos(22sinxy为参数）2OPOM （1）求点 P 的轨迹 D 的曲线方程；（2）射线与曲线 C 相交于异与极点的 A 点，与曲线 D 相交于异与极点的 B 点，求.3|AB65.曲线的参数方程为（为参数），将曲线上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，1Ccossinxy1C纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线.以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为32C极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.:(2sin)6lcos（1）求曲线和直线 的普通方程；2Cl（2）为曲线上任意一点，求点 P 到直线 的距离的最值.P2Cl