基本不等式知识点归纳.pdf
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1、 基本不等式知识点总结基本不等式知识点总结向量不等式:向量不等式:|ababab【注意】:a b、同向或有0|abab|abab;a b、反向或有0|abab|abab;a b、不共线|ababab.(这些和实数集中类似)代数不等式代数不等式:,a b同号或有0|abababab;,a b异号或有0|abababab.绝对值不等式:绝对值不等式:123123aaaaaa(0)ababab ab 时,取等双向不等式:ababab(左边当0(0)ab时取得等号,右边当0(0)ab时取得等号.)放缩不等式:放缩不等式:00abam值,则bmbbmamaam.【说明】:bbmaam(0,0abm,糖水
2、的浓度问题).【拓展】:,则,000nmbabanbnamambab1.,a b cR,bdac,则bbddaacc;nN,1112nnnnn;,1nNn,21111111nnnnn.ln1xx(0)x,1xex()xR.函数函数图象及性质图象及性质()(0)bf xaxabx、(1)函数图象如图:0)(baxbaxxf、(2)函数性质:0)(baxbaxxf、值域:;),22,(abab 单调递增区间:,;单调递减区间:,(,ba,)ba(0,baxabab2ab2aboy.,0)ba 基本不等式知识点总结基本不等式知识点总结重要不等式重要不等式1、和积不等式:,a bR222abab(当且
3、仅当ab时取到“”)【变形】:222()22ababab(当 a=b 时,222()22ababab)【注意】:(,)2ababa bR,2()(,)2ababa bR2、均值不等式:两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均算术平均几何平均调和平均”2222“”1122ababababababab(当且仅当时取)*.若,则(当且仅当时取“=”);0 x 12xx1x 若,则(当且仅当时取“=”)0 x 12xx 1x 若,则 (当且仅当时取“=”)0 x 11122-2xxxxxx即或ba*.若,则 (当且仅当时取“=”)0ab2abbaba 若,则
4、(当且仅当时取“=”)0ab 22-2abababbababa即或ba 3、含立方的几个重要不等式(a、b、c 为正数):3333abcabc(0abc 等式即可成立,时取等或0cbacba);33abcabc 3()3abcabc3333abc *不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当时,时,0ab同时除以同时除以 abab 得得或或。abba2222baabbaab11 *均为正数,,bababa 22八种变式:;222baab2)2(baab2)2(222baba;若 b0,则;a0,b0,则;)(222bababab
5、a 22baba411若 a0,b0,则;若,则。abba4)11(20ab222)11(2111baba上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。ba 最值定理最值定理(积定和最小),0,2x yxyxy由,若积()xyP值值,则当xy时和xy有最小值2p;(和定积最大),0,2x yxyxy由,若和()xyS值值,则当xy是积xy有最大值214s.【推广推广】:已知Ryx,,则有xyyxyx2)()(22.(1)若积xy是定值,则当|yx 最大时,|yx 最大;当|yx 最小时,|yx 最小.(2)若和|yx 是定值,则当|yx 最大时,|xy最小;当|yx 最小时,|xy最大.已知,Ra
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