由常量数学到变量数学.doc
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1、第五讲 由常量数学到变量数学 数学漫长的发展历史大致历经四个时期:以自然数、分数体系形成的萌芽期;以代数符号体系形成的常量数学时期;以函数概念产生的变量数学时期;以集合论为标志的现代数学时期 函数是数学中最重要的概念之一,它是变量数学的标志,“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系,从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性 函数的基本知识有:与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法 在坐标平面内,由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式点的坐标是解决函数问题的基础,函数解析式是解决函数问题的关键,所以,求点的坐标、探求函
2、数解析式是研究函数的两大重要课题【例题求解】【例1】 在平面直角坐标系内,已知点A(2,2),B(2,-3),点P在y轴上,且APB为直角三角形,则点P的个数为 (河南省竞赛题)思路点拨 先在直角坐标平面内描出A、B两点,连结AB,因题设中未指明APB的哪个角是直角,故应分别就A、B、C为直角来讨论,设点P(0,x),运用几何知识建立x的方程注: 点的坐标是数与形结合的桥梁,求点的坐标的基本方法有: (1)利用几何计算求; (2)通过解析式求;(3)解由解析式联立的方程组求【例2】 如图,向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满水槽水槽中水面上升高度与注水时间之间的
3、函数关系,大致是下列图象中的( ) 思路点拨 向烧杯注水需要时间,并且水槽中水面上升高注: 实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来,如心电图、,股市行情走势图等,图象中包含着丰富的图象信息,要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示【例3】 南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售,共有飞机、火车、汽车三种运输方式,现只可选择其中的一种,这三种运输方式的主要参考数据如下表所示:运输工具途中速度(千米时) 途中费用(元千米)装卸费用(元)装卸时间(小时)飞机2001610002火车100420004汽车50810002 若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损
4、耗为200元/小时,记A、B两市间的距离为x千米 (1)如果用Wl、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗),求出Wl、W2、W3与小x间的函数关系式 (2)应采用哪种运输方式,才使运输时的总支出费用最小? 思路点拨 每种运输工具总支出费用途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用;总支出费用随距离变化而变化,由WlW20,W2一W3=0,先确定自变量的特定值,通过讨论选择最佳运输方式【例4】 已知在菱形ABCD中,BAD60,把它放在直角坐标系中,使AD边在y轴上,点C的坐标为(2,8) (1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系; (2)写出A、B两点的坐标;(3)设菱
5、形ABCD的对角线交点为P问:在y轴上是否存在一点F,使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称,如果存在,写出点F的坐标;如果不存在,请说明理由 (江苏省常州市中考题)思路点拨 (1)关键是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点,只须判断COy与CAD的大小;(2)利用解直角三角形求A,B两点坐标;(3)设轴上存在点F(0,y),则P与F只可能关于直线DC对称注:建立函数关系式,实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型 【例5】 如图,已知在RtABC中,B90,BC4cm,AB8cm,D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点,若P为A
6、B边上的一个动点,PQBC,且交AC于点Q,以PQ为一边,在点A的右侧作正方形PQMN,记PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y (1)当AP3cm时,求的值; (2)设AP=cm时,求y与x的函数关系式; (3)当y=2cm2,试确定点P的位置(2001年天津市中考题)思路点拨 对于(2),由于点P的位置不同,y与x之间存在不同的函数关系,故需分类讨论;对于(3),由相应函数解析式求x值注:确定几何元素间的函数关系式,首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示,再代入相应的等量关系式,需要注意的是: (1)当图形运动导致图形之间位置发生变化,需要分类讨论; (2)确定自变量的几何意义
7、,常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法学力训练1 如图,在直角坐标系中,已知点A(4,0)、B(4,4),OAB90,有直角三角形与RtABO全等且以AB为公共边,请写出这些直角三角形未知顶点的坐标 (贵州省中考题)2在直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为 时,使得由点B、O、C组成的三角形与AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标) (广西桂林市中考题)3根据指令(S0,0A180),机器人在平面上能完成下列动作:先原地逆时针旋转角度A,再朝其面对的方向沿直线行走距离S现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x轴的正方向,
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