圆的专题讲义.doc
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1、与圆有关的证明及计算1已知,如图,直线MN交O于A,B两点,AC是直径,AD平分CAM交O于D,过D作DEMN于E(1)求证:DE是O的切线;(2)若DE=6cm,AE=3cm,求O的半径2如图,在ABC,AB=AC,以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且CBF=CAB(1)求证:直线BF是O的切线;(2)若AB=5,sinCBF=,求BC和BF的长3如图,四边形ABCD内接于O,BD是O的直径,AECD,垂足为E,DA平分BDE(1)求证:AE是O的切线;(2)若DBC=30,DE=1cm,求BD的长4如图,已知ABC内接于O,AC是O的直径,D是的中点,过点D
2、作直线BC的垂线,分别交CB、CA的延长线E、F(1)求证:EF是O的切线;(2)若EF=8,EC=6,求O的半径5如图,AB是O的直径,弦CDAB与点E,点P在O上,1=C,(1)求证:CBPD;(2)若BC=3,sinP=,求O的直径6如图,直线EF交O于A、B两点,AC是O直径,DE是O的切线,且DEEF,垂足为E(1)求证:AD平分CAE;(2)若DE=4cm,AE=2cm,求O的半径7如图,RtABC中,ABC=90,以AB为直径作半圆O交AC与点D,点E为BC的中点,连接DE(1)求证:DE是半圆O的切线(2)若BAC=30,DE=2,求AD的长8如图,在RtABC中,ACB=90
3、,以AC为直径作O交AB于点D点,连接CD(1)求证:A=BCD;(2)若M为线段BC上一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与O相切?并说明理由9如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD切O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E(1)求证:AB=BE;(2)若PA=2,cosB=,求O半径的长10如图AB是O的直径,PA,PC与O分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DEPO交PO的延长线于点E(1)求证:EPD=EDO;(2)若PC=6,tanPDA=,求OE的长圆的动态探究题11如图,O半径为4cm,其内接正六边形ABCDE
4、F,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向中点F,G运动连接PB,QE,设运动时间为t(s)(1)求证:四边形PEQB为平行四边形;(2)填空:当t= s时,四边形PBQE为菱形;当t= s时,四边形PBQE为矩形12如图,AB为O的直径,点C为AB延长线上一点,动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动,同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动,当两点相遇时停止运动,过点P作AB的垂线,分别交O于点M和点N,已知O的半径为l,设运动时间为t秒(1)若AC=5,则当t= 时,四边形AMQN为菱形;当t= 时,NQ与O相切;(2)当AC的长为多少时,存在t的
5、值,使四边形AMQN为正方形?请说明理由,并求出此时t的值13如图,在RtABC中,BAC=90,B=60,以边上AC上一点O为圆心,OA为半径作O,O恰好经过边BC的中点D,并与边AC相交于另一点F(1)求证:BD是O的切线;(2)若BC=2,E是半圆上一动点,连接AE、AD、DE填空:当的长度是 时,四边形ABDE是菱形;当的长度是 时,ADE是直角三角形14如图,点A,B,C分别是O上的点,且B=60,CD是O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC(1)求证:AP是O的切线;(2)若AC=3,填空:当的长为 时,以A,C,B,D为顶点的四边形为矩形;当的长为 时,ABC的面积最大,
6、最大面积为 15四边形ABCD的对角线交于点E,且AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆过点E,圆心为O(1)利用图1,求证:四边形ABCD是菱形(2)如图2,若CD的延长线与半圆相切于点F,且直径AB=8ABD的面积为 的长 16在圆O中,AC是圆的弦,AB是圆的直径,AB=6,ABC=30,过点C作圆的切线交BA的延长线于点P,连接BC(1)求证:PACPCB;(2)点Q在半圆ADB上运动,填空:当AQ= 时,四边形AQBC的面积最大;当AQ= 时,ABC与ABQ全等17如图,AB是O的直径,点P是弦AC上一动点(不与A,C重合),过点P作PEAB,垂足为E,射线EP交于点F,交过点C
7、的切线于点D(1)求证:DC=DP;(2)若直径AB=12cm,CAB=30,当E是半径OA中点时,切线长DC= cm:当AE= cm时,以A,O,C,F为顶点的四边形是菱形18如图,O的直径AB=4,点C为O上的一个动点,连接OC,过点A作O的切线,与BC的延长线交于点D,点E为AD的中点,连接CE(1)求证:CE是O的切线;(2)填空:当CE= 时,四边形AOCE为正方形;当CE= 时,CDE为等边三角形19如图,ABC是半径为2的O的内接三角形,连接OA、OB,点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点(1)试判断四边形DEFG的形状,并说明理由;(2)填空:若AB=3,当CA=
8、CB时,四边形DEFG的面积是 ;若AB=2,当CAB的度数为 时,四边形DEFG是正方形20如图,在ABC中,AB=AC,点O为边AB的中点,ODBC于点D,AMBC于点M,以点O为圆心,线段OD为半径的圆与AM相切于点N(1)求证:AN=BD;(2)填空:点P是O上的一个动点,若AB=4,连结OC,则PC的最大值是 ;当BOP= 时,以O,D,B,P为顶点四边形是平行四边形1已知,如图,直线MN交O于A,B两点,AC是直径,AD平分CAM交O于D,过D作DEMN于E(1)求证:DE是O的切线;(2)若DE=6cm,AE=3cm,求O的半径【解答】(1)证明:连接ODOA=OD,OAD=OD
9、AOAD=DAE,ODA=DAEDOMNDEMN,ODE=DEM=90即ODDED在O上,OD为O的半径,DE是O的切线(2)解:AED=90,DE=6,AE=3,连接CDAC是O的直径,ADC=AED=90CAD=DAE,ACDADE则AC=15(cm)O的半径是7.5cm2如图,在ABC,AB=AC,以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且CBF=CAB(1)求证:直线BF是O的切线;(2)若AB=5,sinCBF=,求BC和BF的长【解答】(1)证明:连接AE,AB是O的直径,AEB=90,1+2=90AB=AC,1=CABCBF=CAB,1=CBFCBF+2
10、=90即ABF=90AB是O的直径,直线BF是O的切线(2)解:过点C作CGAB于GsinCBF=,1=CBF,sin1=,在RtAEB中,AEB=90,AB=5,BE=ABsin1=,AB=AC,AEB=90,BC=2BE=2,在RtABE中,由勾股定理得AE=2,sin2=,cos2=,在RtCBG中,可求得GC=4,GB=2,AG=3,GCBF,AGCABF,BF=3如图,四边形ABCD内接于O,BD是O的直径,AECD,垂足为E,DA平分BDE(1)求证:AE是O的切线;(2)若DBC=30,DE=1cm,求BD的长【解答】(1)证明:连接OA,DA平分BDE,BDA=EDAOA=OD
11、,ODA=OAD,OAD=EDA,OACEAECE,AEOAAE是O的切线(2)解:BD是直径,BCD=BAD=90DBC=30,BDC=60,BDE=120DA平分BDE,BDA=EDA=60ABD=EAD=30在RtAED中,AED=90,EAD=30,AD=2DE在RtABD中,BAD=90,ABD=30,BD=2AD=4DEDE的长是1cm,BD的长是4cm4如图,已知ABC内接于O,AC是O的直径,D是的中点,过点D作直线BC的垂线,分别交CB、CA的延长线E、F(1)求证:EF是O的切线;(2)若EF=8,EC=6,求O的半径【解答】(1)证明:连接OD交于AB于点GD是的中点,O
12、D为半径,AG=BGAO=OC,OG是ABC的中位线OGBC,即ODCE又CEEF,ODEF,EF是O的切线(2)解:在RtCEF中,CE=6,EF=8,CF=10设半径OC=OD=r,则OF=10r,ODCE,FODFCE,=,r=,即:O的半径为5如图,AB是O的直径,弦CDAB与点E,点P在O上,1=C,(1)求证:CBPD;(2)若BC=3,sinP=,求O的直径【解答】(1)证明:C=P又1=C1=PCBPD;(2)解:连接ACAB为O的直径,ACB=90又CDAB,=,P=CAB,又sinP=,sinCAB=,即=,又知,BC=3,AB=5,直径为56如图,直线EF交O于A、B两点
13、,AC是O直径,DE是O的切线,且DEEF,垂足为E(1)求证:AD平分CAE;(2)若DE=4cm,AE=2cm,求O的半径【解答】(1)证明:连接OD,OD=OA,ODA=OAD,DE是O的切线,ODE=90,ODDE,又DEEF,ODEF,ODA=DAE,DAE=OAD,AD平分CAE;(2)解:连接CD,AC是O直径,ADC=90,在RtADE中,DE=4cm,AE=2cm,根据勾股定理得:AD=cm,由(1)知:DAE=OAD,AED=ADC=90,ADCAED,即,AC=10,O的半径是57如图,RtABC中,ABC=90,以AB为直径作半圆O交AC与点D,点E为BC的中点,连接D
14、E(1)求证:DE是半圆O的切线(2)若BAC=30,DE=2,求AD的长【解答】(1)证明:连接OD,OE,BD,AB为圆O的直径,ADB=BDC=90,在RtBDC中,E为斜边BC的中点,DE=BE,在OBE和ODE中,OBEODE(SSS),ODE=ABC=90,则DE为圆O的切线;(2)在RtABC中,BAC=30,BC=AC,BC=2DE=4,AC=8,又C=60,DE=CE,DEC为等边三角形,即DC=DE=2,则AD=ACDC=68如图,在RtABC中,ACB=90,以AC为直径作O交AB于点D点,连接CD(1)求证:A=BCD;(2)若M为线段BC上一点,试问当点M在什么位置时
15、,直线DM与O相切?并说明理由【解答】(1)证明:AC为直径,ADC=90,A+DCA=90,ACB=90,DCB+ACD=90,DCB=A;(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与O相切;解:连接DO,DO=CO,1=2,DM=CM,4=3,2+4=90,1+3=90,直线DM与O相切,故当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与O相切9如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD切O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E(1)求证:AB=BE;(2)若PA=2,cosB=,求O半径的长【解答】(1)证明:连接OD,PD
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