材料力学-精-弯曲变形.ppt
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1、 第六章第六章弯曲变形弯曲变形 1 1明确明确挠曲线、挠度和转角的概念,深刻理解挠曲线、挠度和转角的概念,深刻理解梁挠曲线近似微分方程的建立。梁挠曲线近似微分方程的建立。2 2掌握掌握计算梁变形的计算梁变形的积分法积分法和和叠加法叠加法。3 3了解梁的了解梁的刚度条件刚度条件。基本要求基本要求5/12/20241.6-1 6-1 引引 言言一工程实际中的弯曲变形一工程实际中的弯曲变形5/12/20242.1 1挠挠曲曲线线:梁梁在在弯弯矩矩作作用用下下发发生生弯弯曲曲变变形形。如如果果在在弹弹性性范范围围内内加加载载,梁梁的的轴轴线线在在梁梁弯弯曲曲后后变变成成一一连连续续光光滑滑曲曲线线。这
2、这一一连连续续光光滑滑曲曲线线称称为为弹弹性性曲曲线线(elastic elastic curvecurve),或或挠挠度曲线度曲线(deflection curvedeflection curve),简称弹性线或挠曲线。,简称弹性线或挠曲线。二基本概念二基本概念F FyxOyxO5/12/20243.2 2挠度与转角挠度与转角 梁梁梁梁在在在在弯弯弯弯曲曲曲曲变变变变形形形形后后后后,横横横横截截截截面面面面的的的的位位位位置置置置将将将将发发发发生生生生改改改改变变变变,这这这这种种种种位位位位置的改变称为置的改变称为置的改变称为置的改变称为位移位移位移位移。梁的位移包括三部分:。梁的位移
3、包括三部分:。梁的位移包括三部分:。梁的位移包括三部分:横横横横截截截截面面面面形形形形心心心心处处处处的的的的铅铅铅铅垂垂垂垂位位位位移移移移,称称称称为为为为挠挠挠挠度度度度(deflection)(deflection),用用用用w w 表示;表示;表示;表示;变变变变形形形形后后后后的的的的横横横横截截截截面面面面相相相相对对对对于于于于变变变变形形形形前前前前位位位位置置置置绕绕绕绕中中中中性性性性轴轴轴轴转转转转过过过过的的的的角度,称为角度,称为角度,称为角度,称为转角转角转角转角(slopeslope),用,用,用,用 表示;表示;表示;表示;横横横横截截截截面面面面形形形形心
4、心心心沿沿沿沿水水水水平平平平方方方方向向向向的的的的位位位位移移移移,称称称称为为为为轴轴轴轴向向向向位位位位移移移移或或或或水水水水平位移。平位移。平位移。平位移。通常不予考虑。通常不予考虑。通常不予考虑。通常不予考虑。w yxO5/12/20244.挠挠挠挠度度度度曲曲曲曲线线线线在在在在一一一一点点点点的的的的曲曲曲曲率率率率与与与与这这这这一一一一点点点点处处处处横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的弯弯弯弯矩矩矩矩、弯曲刚度之间存在下列关系:弯曲刚度之间存在下列关系:弯曲刚度之间存在下列关系:弯曲刚度之间存在下列关系:y规定规定:向上的挠度为正,向下的挠度为负。向上的挠度为正,向
5、下的挠度为负。逆时针转角为正,顺时针转角为负。逆时针转角为正,顺时针转角为负。挠曲线方程:挠曲线方程:w=w(x)转角方程:转角方程:=(x)5/12/20245.在在在在OxwOxw坐标系中,挠度与转角存在下列关系:坐标系中,挠度与转角存在下列关系:坐标系中,挠度与转角存在下列关系:坐标系中,挠度与转角存在下列关系:在在在在小小小小变变变变形形形形条条条条件件件件下下下下,挠挠挠挠曲曲曲曲线线线线较较较较为为为为平平平平坦坦坦坦,即即即即 很很很很小小小小,因因因因而而而而上式中上式中上式中上式中tantan。于是有。于是有。于是有。于是有y5/12/20246.力学中的曲率公式力学中的曲率
6、公式力学中的曲率公式力学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程 5/12/20247.小挠度情形下小挠度情形下小挠度情形下小挠度情形下 弹性曲线的小挠度微分方程,式中的正负号弹性曲线的小挠度微分方程,式中的正负号弹性曲线的小挠度微分方程,式中的正负号弹性曲线的小挠度微分方程,式中的正负号与与与与 w w 坐标的取向有关。坐标的取向有关。坐标的取向有关。坐标的取向有关。5/12/20248.由于规定挠度向上为正,有由于规定挠度向上为正,有由于规定挠度向上为正,有由于规定挠度向上为正,有挠曲线微分方程挠曲线微分方
7、程仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。xwOMM5/12/20249.6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 对于等截面梁,应用确定弯矩方程的方法,写出弯矩对于等截面梁,应用确定弯矩方程的方法,写出弯矩对于等截面梁,应用确定弯矩方程的方法,写出弯矩对于等截面梁,应用确定弯矩方程的方法,写出弯矩方程方程方程方程MM(x x),代入上式后,分别对,代入上式后,分别对,代入上式后,分别对,代入上式后,分别对x x作不定积分作不定积分作不定积分作不定积分,得到包含积得到包含积得到包含积得到包含积分常数的挠度方程与转角方程:分常数的挠度方
8、程与转角方程:分常数的挠度方程与转角方程:分常数的挠度方程与转角方程:其中其中其中其中C C、D D为积分常数。为积分常数。为积分常数。为积分常数。转角方程转角方程挠度方程挠度方程5/12/202410.弹簧变形弹簧变形积分常数积分常数C、D由由边界条件边界条件和梁段间和梁段间光滑连续条件光滑连续条件或或中间绞链连续条件中间绞链连续条件确定。确定。位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件5/12/202411.确定约束力确定约束力,判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程 微分方程的积分微分方程的积分 利用约束条件和连续光滑条件确定
9、积分常数利用约束条件和连续光滑条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程分段点:集中力、集中力偶、分布载荷起止点、分段点:集中力、集中力偶、分布载荷起止点、EI不同不同积分法求解步骤积分法求解步骤积分法求解步骤积分法求解步骤5/12/202412.例例例例6-16-16-16-1 已知已知已知已知:悬臂梁受力如图示,悬臂梁受力如图示,悬臂梁受力如图示,悬臂梁受力如图示,F F、l l、EIEI均为均为均为均为已知。已知。已知。已知。求求求求:梁的挠曲线、转角方程及最大梁的挠曲线、转角方程及最大梁的挠曲
10、线、转角方程及最大梁的挠曲线、转角方程及最大挠度和挠度和挠度和挠度和转角转角转角转角xyxFl lAB5/12/202413.解:解:由边界条件:由边界条件:得:得:xyxFl lAB5/12/202414.梁的转角方程和挠曲线方程分别为:梁的转角方程和挠曲线方程分别为:最大转角和最大挠度分别为:最大转角和最大挠度分别为:xyxFl lAB5/12/202415.例例例例6-26-2 已知:简支梁受力如图示。已知:简支梁受力如图示。已知:简支梁受力如图示。已知:简支梁受力如图示。F F、EIEI、l l、a a、b b均为已知。均为已知。均为已知。均为已知。试试试试:讨论这一梁的弯曲变形。:讨
11、论这一梁的弯曲变形。:讨论这一梁的弯曲变形。:讨论这一梁的弯曲变形。FabABlCxyx1x25/12/202416.解:解:FabABlCxyx1x25/12/202417.由连续和光滑条件:由连续和光滑条件:得:得:得:得:由边界条件:由边界条件:FabABlCxyx1x25/12/202418.梁的转角方程和挠曲线方程分别为:梁的转角方程和挠曲线方程分别为:AC段段CB段段FabABlCxyx1x2最大转角:最大转角:当当ab时,时,B为最大转角。为最大转角。5/12/202419.FabABlCxyx1x2AC段段CB段段最大挠度:最大挠度:当当=0时,时,w为极值。为极值。当当ab时
12、,时,=0的截面在的截面在AC段。段。5/12/202420.6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 在材料服从胡克定律和小变形的条件下,由小挠度在材料服从胡克定律和小变形的条件下,由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。因此,当梁承受复杂载荷时,可将其分解成几种简单载因此,当梁承受复杂载荷时,可将其分解成几种简单载荷,利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果,叠加后荷,利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果,叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角。得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角。叠加方法叠加方法(superposi
13、tion methodsuperposition method)叠加原理叠加原理载荷叠加、变形叠加载荷叠加、变形叠加5/12/202421.例例例例6-36-36-36-3 已知已知已知已知:简支梁受力如图示,简支梁受力如图示,简支梁受力如图示,简支梁受力如图示,q q、l l、EIEI均为已知。均为已知。均为已知。均为已知。求求求求:C C截面的挠度截面的挠度截面的挠度截面的挠度w wC C;B B截面的转角截面的转角截面的转角截面的转角 B B5/12/202422.5/12/202423.例例例例6-46-46-46-4 已知已知已知已知:外伸梁受力如图示,外伸梁受力如图示,外伸梁受力如
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