向量自回归过程的时间序列分析.doc
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4、在的问题。本章主要讨论平稳的自回归形式的多变量随机过程VAR。给一般的向量平稳过程,。这里的协差矩阵定义为:仅依赖于。设,于是得到矩阵序列。又,。设,那么,。 称为的长期协差阵。且的谱定义为:。用作为的估计,又M是一个截断,满足且。再用作为的一致估计。相应于单变量平稳过程,我们同样定义向量的白噪声过程WN和向量的鞅差分过程MDS。 并进一步给出由它们的线性过程组成的其他的向量过程:过程,。这里是一个的矩阵,是向量WN。平稳性要求的特征值的绝对值小于1。过程,。这里是一个的矩阵,是向量WN。可逆性要求的特征值的绝对值小于1。又,过程总是平稳的。过程,这里和都是的矩阵。又平稳性要求的复根的模大于1
5、,可逆性要求的复根的模大于1。过程,。简单计算可得的协差矩阵。显然,过程是平稳的。类似于单变量的AR过程,平稳的过程可以表示成一个过程,即,。更一般的有,平稳的过程:。改写成向量算子多项式形式,。那么,。设,则由可推得,。且。VAR过程与VMA过程在一定条件下可以互换。由于VMA过程估计涉及到复杂的非线性运算,在可逆性条件成立下,数值估计我们常把它转化成VAR过程处理。但在理论分析上,用VMA过程讨论冲击响应则更方便些,我们又将VAR过程转换成VMA过程处理。一般不同时讨论过程。太麻烦。注:向量随机过程的沃尔德分解定理仍成立。 一个2维的VAR Matlab 程序。(暂略)2 格兰杰因果性和冲
6、击响应多变量时间序列之间能否构成向量过程首先应当检查它们之间是否存在因果关系。设。定义,为的格兰杰原因,指的是,如果已知的过去值,有助于预测。反之,如果不是的格兰杰原因,则意味着当已知的过去值,对预测没有帮助。所以,将和写成它们过去的线性表达式:不是的格兰杰原因意味着;不是的格兰杰原因意味着。所以,当且,和就没有必要放在一起作为向量过程。做法是同时做两个F检验。如果二个检验都不能拒绝,则作为向量过程意义不大。注:格兰杰因果关系不是习惯上认识的因果关系。如学历与工资、吸烟与癌症、施肥与产量,等等。格兰杰因果关系指的是多变量时间过程中时间前后的可预测关系,典型例子是,天气预报是天气的格兰杰原因。多
7、变量之间的相互联系带来的第一个问题是冲击响应的不唯一性。考虑一个VMA过程,。当是单变量过程时,冲击响应指的是。含义是在时刻一个单位的增加,再经过个时间单位后对过程的影响。但当是一个向量过程时,冲击响应是一个的矩阵。它的内涵就多了。矩阵中的元素表面上看就是的第个分量的单位冲击对的第个分量的影响。然而,元素不能像单变量那样表达得那么准确。因为的表达可以有多种不同的外在形式,任给可逆矩阵P,有:。所以,如果不是对角矩阵,那么矩阵就不能反映向量在时刻一个单位的冲击在经过个时间单位后对过程的影响。因为与不能区别。 因此,我们应当限制的表述方式。比如,使是对角阵。特别限制使是单位阵。由矩阵的Choles
8、ki分解定理,知,存在下三角矩阵使得。 于是,做变换,则,。我们把的满足的表述称为它的垂直冲击响应形式。又当是一个过程, 。那么,先做变换,则:。因为,变换后不是一个标准的过程。但这是一个结构式的VAR,由于P是下三角的,也是下三角的,故这是一个递归形式的VAR。于是,可把转化为的表达:,且。给定冲击,那么,就是的第列,(就是的第行)它表示的是每个变量对第个分量在期前一个单位冲击产生的响应。所以,系统有个这样的冲击函数。下面考虑一个垂直响应形式的VAR过程的方差分解。它有助于分析产生波动的原因主要是由变量的哪些分量因素决定。对,设t后h步的预测为,t后h步的预测误差为,预测步后误差的方差矩阵为
9、,。有意义的是这个总方差成分的分解。现在考虑每一个分量的预测误差,对第i个分量而言,有:,这里是矩阵中的第个元素。所以,第i个分量的预测误差要受到其他分量的影响。又由于,所以,。和式表示第k个分量的冲击对第i个分量在h步后造成的预测误差的方差,和式则表示第i个分量h步后预测误差的总方差。因此,比例值表示第k个分量的冲击占对第个分量预测误差的总方差的比例。此分析方法称为方差分解。直观的讲就是,把的第行的平方和做分母,每个分量的平方做分子。方差分解解释了系统中每个分量的随机性冲击造成对其他分量的误差占整体波动的相对重要性,在宏观经济的政策分析中非常有用。 举例(暂略)。3 的极大似然估计3.1 不
10、受限制下的极大似然估计前述的方差分解等的应用是建立在估计的基础上的,本节讨论的估计。给,。如果平稳,如何估计和?这里我们介绍常用的条件极大似然估计方法。设,且有T个观测。我们希望利用这些观测来估计和。设,那么,。用联立的OLS方法,得:, ,且。由于假定具有正态性,我们证明,估计就是极大似然估计。首先,给定之下,对数极大似然函数为: 。其中,如果用代,那么,。所以,给定条件下,对数极大似然函数是一个关于的矩阵连续可微函数。引理:A,B正定,且B给定。则矩阵函数在时取得最大值。证明:当时,因为A正定,存在正交阵Q使,且。所以,。得FOC:。又因为矩阵。例如,m=2,是加性可和的,且,;,。故时取
11、得极大值。 当时,由B正定,且正交变换不改变迹和行列式的值,故可设B为对角阵。重复上述过程,仍可得时取最大值。由引理,当时,取得极大值。且有:。再最大化,求。等价于求最小化。因为,这是OLS方法。故得。所以用OLS方法所求的和的估计就是它的条件极大似然估计。注:条件极大似然估计的做法是,欲故和,先任意固定,求得在固定条件下的最大值。然后,又在给定的最大值的条件下,反过来求的最大值。这种方法也可以倒过来做,先任意固定,求得在固定条件下的最大值,然后,又在给定的最大值的条件下,反过来求的最大值。至于谁先谁后,要看和谁受到约束,受到约束参数的先求。这在后面要讲到的结构性VAR时的估计是非常有用的。3
12、.2和的极限分布及检验下面考虑极大似然估计和的的极限分布。记 相应的估计, (注:对按行分块。)那么,第i个方程能被写成: ,得的OLS: 。由的平稳性,令,且Q与t 无关,是矩阵。由 ,即每一分量有不同的方差,和CLT可得:,。由向量大数定律,。故得: 其中 对VAR模型可进行类似联立方程模型的关于同方程参数的t检验和F检验。如果要对不同的进行检验,即跨方程的检验。需要知道的联合分布。由可求得和的极限分布, 。如果令 (按列分块) 注:Vec称为矩阵按列的拉直算子。那么,向量的联合极限分布就是:是Kronecker 乘积所以,对的线性约束条件,就有相应的Wald统计量:其中,q是的秩(或R的
13、行数)。从而我们可以进行相应的类似多元线性回归的Wald检验,或部分参数为0约束下的Lagrange乘子检验。不再详述。关于方差矩阵的极限分布则要麻烦得多。因为是对称阵,故只需考虑的下三角阵。定义的对称拉直算子为Vech, 例如,。又定义算子D,。意思是将向量恢复到在拉直算子作用下的向量。所以D是一个的矩阵。当 , 那么 ,则 。 所以, 。记 , (故是投影矩阵) 。当m=2,即 ,所以 。注:称为D的广义逆,因为。符号慢慢熟悉,关键是知道定义的意思。 有了上述准备,我们有下面关于的极限定理。定理: 即极大似然估计不仅是一致的,而且是正态的。这个证明很麻烦,但结论需要记住。(证明略,参见Ha
14、milton的时间序列分析)。例如,当m=2时, 这个定理的含义是,且,中的元素,和的渐近协方差是 ,或 。由于正态变量的三阶矩为零,即对成立,所以,还可以进一步证明,极大似然估计和也是渐近独立的。则和有 联合分布:有了这个联合极限分布,我们可以做许多有意义的假设检验。特别是有关误差方面的检验。例如,和是否相关,检验,或者和是否具有同方差,检验等等。具体问题具体分析。注:当不具有正态性时,上述结论不一定成立。特别是的极限分布变得很敏感。但对,只要有4+的有限矩,则仍具有渐近正态性。故对的有关参数检验仍然是有效的。 举例(暂略)3.3存在条件异方差情况下的极限分布VAR模型中,当序列不再是i.i
15、.d.而是鞅差分时,条件异方差问题就会产生。这是一个普遍存在的问题,不能回避,如前述的ARCH过程。在条件异方差情形下,虽然得到的条件似然估计和仍是和的一致估计,但和的精度会降低,且它们的极限分布和联合分布要有相应的改变。这会影响到假设检验。讨论如下:记,因为是一个鞅差分序列(),所以,的极限方差就是的概率极限。如果在条件同方差的假设下,即 ,那么, 。又因为 注意:,其中是一个分量,则上式为:。的极限方差阵就是:再用残差代替,可得到一个一致的估计: 。特别,在条件同方差假定下,由,。接下来讨论异方差条件下的的极限。注意:是一个常数矩阵,与t无关。在一般的异方差条件下,由,仍然有:其中,是一个
16、关于t的无穷小量。注意:即使是序列不相关的,如, 也是一个具有条件异方差的相关序列,如ARCH过程。因此,的极限方差为 : 。由前述,这是关于的长期方差。为获得的一致估计,令,再用Newey-West的光滑调整的方法: 给定一个充分大的J,得估计是: 且,。知是的一致估计。特别,当是序列不相关时,得,即此时是的短期方差。在给定,是条件正态的情况下,和极限分布仍是独立的。从而可得它们的联合分布为:。又当不具有条件正态性的情况下,则和是相关的,从而联合分布中的方差矩阵没有准对角的形式,我们需要求得它们间的协差矩阵C。因为是鞅差分的,故,当st。于是和的协方差矩阵:则C的一致估计是。所以,在干扰是鞅
17、差分过程的前提下,估计和的联合分布就得修正为:。这是一般情况下的联合分布。利用该联合分布适应进行各种一般假定下的关于和的检验。如格兰杰因果关系检验,如果误差项关于时间不一定是独立不相关的。将分成两部分,相应地,定义则VAR过程可以写成:如果矩阵中,=0,意味着不受的影响,即不是引致的格兰杰原因。由于和的联合分布可求得,我们可适当选择R,使得当且仅当=0。采用Wald统计量进行检验。一个更方便的基于回归方式的极大似然比检验方法是:1对、和回归,得残差和2对、回归,得残差和 3极大似然比统计量为:在之下,其中q是中变量的个数。这要在块约束=0之下,求和的极大似然估计,涉及到麻烦的矩阵代数运算。(略
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