大学数学练习题.doc

大学数学习题及答案
一 填空题:
1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.
2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.
3 方程的基本解组是_________.
4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.
5 方程的常数解是________.
6 方程 一个非零解为 x1(t) ,经过变换_______
7 若4(t)是线性方程组的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________.
8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.
9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.
10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.
11 一阶线性方程有积分因子( ).
12 求解方程的解是( ).
13已知(为恰当方程,则=____________.
14 ,,由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).
15方程的通解是( ).
16方程的阶数为_______________.
17若向量函数在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________.
18若P(X)是方程组的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________.
19．方程所有常数解是____________________．
20．方程的基本解组是____________________．
21．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________．
22．函数组在区间I上线性无关的____________________条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．
23．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们____________________共同零点．
二 单项选择:
1 方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ).
(A)上半平面 (B)平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面
2 方程( ) 奇解.
(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个
3 在下列函数中是微分方程的解的函数是( ).
(A) (B) (C) (D)
4 方程的一个特解形如( ).
(A) (B) (C) (D)
5 连续可微是保证方程解存在且唯一的( 　)条件．
　（A）必要　 （B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分
6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).
(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间
(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间
7 方程过点(0,0)有( ).
(A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解
8 初值问题 x , 在区间,上的解是( ).
(A) (B) (C) (D)
9 方程是( ).
(A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程
（C)超越方程 (D)二阶线性方程
10 方程的通解是( ).
(A) (B) (C) (D)
11 方程的一个基本解组是( ).
(A) (B) (C) (D)
12 若y1和y2是方程的两个解,则 （e1,e2为任意常数）
(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解
(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解
13 方程过点(0,0)的解为,此解存在( ).
(A) (B) (C) (D)
14 方程是( ) .
(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程
15 微分方程的通解是( ).
(A) (B) (C) (D)
16 在下列函数中是微分方程的解的函数是( ).
(A) (B) (C) (D)
17 方程的一个数解形如( ).
(A) (B) (C) (D)
18 初值问题 在区间上的解是( ).
(A) (B) (C) (D)
19．方程的奇解是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
20. 方程过点共有（ ）个解．
　　（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三
21．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．
（A） （B）-1 （C）+1 （D）+2
22．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．
（A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解
（C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解
23．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（ ）．
（A）必为 （B）必为 （C）必为 （D）将因解而定
三 求下列方程的解:
1 求下列方程的通解或通积分:
(1) (2) (3) (4) (5)
2 求方程的解
3 解方程:并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解
4 求方程:
5求方程: 的通解
6 求的通解.
7 求解方程:
8 求方程: 的解
9 求方程的通解
10 求下列方程组的通解
11求初值问题 的解的存在区间并求出第二次近似解
12 求方程的通解
(1) (2) (3) (三种方法) (4)
13 计算方程 的通解
14计算方程
15 求下列常系数线性微分方程:
16 试求 x的基解矩阵
17 试求矩阵 的特征值和对应的特征向量.
18 试求矩阵 的特征值和特征向量
19 解方程组
20．求下列方程组的通解
．
四 名词解释
1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程
4伯努利方程 5条件 6 线性相关
五 证明题
1在方程中已知p(x);q(x)在上连续
求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.
2 设x1(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程

证明：x1(t)+x2(t)是方程的解。
3设f (x)在[0；+]上连续且f (x)=0求证：方程的一切解y(x)；
均有y (x)=0
4 在方程中p(x)、q(x)在（）上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w（x）是（）上的严格单调函数。
5证明：x1(t)+x2(t)是方程的解。
6证明：函数组（其中当时）在任意区间（a ,b）上线性无关。
7．在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为．
8．在方程中，已知，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切．

练习题答案
一 填空题:
1、 2
2、 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）
3、 ex ; xex
4、 开
5、
6、
7、 ,c为常数列向量
8、 y=x2+c
9、 初始
10、常微分方程
11、ep(x)dx
12、x2+y2=c ; c为任意正常数
13、/
14、
15、
16、4
17、0
18、；其中c是确定的n维常数列向量
19．
20．
21．，（或不含x 轴的上半平面）
22．充分
23．没有
二 单项选择
1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、C
11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D 19．D 20．B 21．A 22.C 23．D
三 求下列方程的解
1 (1）解：当时，分离变量取不定积分，得

通积分为 1ny= Cex
（2）解：令y= xu , 则代入原方程，得

分离变量，取不定积分，得
（）
通积分为：
（3） 解： 方程两端同乘以 y-5,得

令y -4= z ，则代入上式，得

通解为

原方程通解为

（4） 解： 因为 ， 所以原方程是全微分方程。
取（x0,y0）=（0，0）原方程的通积分为

即
（5） 解：原方程是克莱洛方程，通解为： y = cx+2c3
2 解：设则方程化为 ，积分后得y = ct 即
于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5 其中 c1 , c2 , c3 , c4 , c5为任意常数
=
= f1(t) + f2(t)

故x1(t)+x2(t)为方程=f1(t)+f2 (t)的解。
3 解： 将变量分离，得到

两边积分，即得
因而，通解为

这里c是任意常数。以x=0 , y=1代入通解中以决定任意常数c，得到
c = -1
因而，所求特解为

4 解：以 及 代入，则原方程变为

即

将上式分离变量,即有

两边积分,得到

这里是任意函数,整理后,得到

令,得到 sinu = cx
5 解: 令z = y-1得

代入原方程得到

这是线性方程,求得它的通解为

代回原来的变量y , 得到

这就是原方程的通解。此外，方程还有解 y=0 。
6 解： 这里M =3x2+6xy2 .N = 6x2y+4y3 ，这时

因此方程是恰当方程。现在求u ，使它同时满足如下两个方程

由（1）对x 积分，得到
为了确定，将（3）对y求导数，并使它满足（2），即得

于是
= 4y4
积分后可得
=y4
将代入（3），得到
u = x3 + 3x2y2 + y4
因此，方程的通解为
x3 + 3x2y2 + y4=c
这里c是任意常数
7 解： 特征方程即特征根i是重根，因此方程有四个实值解cost、tcost 、sint 、tsint
故通解为x = (c1+c2t)cost + (c3+c4t)sin 其中c1 ; c2 ; c3 ; c4为任意常数
8 解： 令 则方程化为：
积分后得y=ct 即于是 x=c1t5 + c2t3 + c3t2 + c4t1 + c5

其中c1 ; c2 … c5 为任意常数 ，这就是原方程的通解。
9 解 对应齐次方程的特征方程为，
特征根为
齐次方程的通解为 y=C1+C2e5x
因为a=0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
y1(x)=x（Ax2 + Bx + C）
代入原方程，比较系数确定出
A=， B= ，C=
原方程的通解为

10 解： 先解出齐次方程的通解
=C1 +C2
令非齐次方程特解为
=C1(t)+C2(t)
满足
=
解得
积分，得
通解为

11 解： M=max=4 故解的存在区间为
2) q0(x)=0 q1(x)=0
q2(x)=0+
=
12 求方程的通解:
1)
解: 变形(1),将y看作自变量, x为未知函数
解齐线性方程, 通解为x = cy
令x = c (y)y….. (2)微分得,
由(1)(2)知
,积分得故(是任意常数)
2)
解: 令则, 于是
则原方程变为
即
将上式分离变量有
积分得为任意常数。
整理
令得
方程还有解tanu=0 即 sinu=0, 故通解为 sinu = cx (c为任意常数)
3）(三种方法)
解：法一，这里M=y-3x2 , N= - (4y-x )= 4-4y
因此此方程是恰当方程
现求 u使（1）， （2）
对（1）中x积分得 （3）
对（3）中y求导
积分得，代入（3）得
故通解为，c为任意常数
法二，重新组合得
，即

于是通解为其中c是任意常数。
4）
解： 令则
对x求导得
积分得
于是方程通解为 （p=0）
13 方程的通解
解： 齐次方程是

由于2i是特征方程单根
故所求特解应具形式
代入原方程

故通解为，其中c1c2为任意常数
14
解：特征方程有重根
因此对应齐线性方程的通解为，其中c1,c2为任意常数。
因为不是特征根，现求形如的特征解，
代入原方程化简
于是 故
故通解为其中c1,c2为任意常数
15 求下列常系数线性微分方程
对应的齐次方程为 特征方程为
特征根为 a不是特征根，
故原方程有形如y*=(ax+b) e 2x的特解代入原方程得
故原方程通解为，（为任意常数）
16 解：因为 = + 而且后面的两个矩阵是可交换的
得到 t = {E + t +
但是，
=
所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是

17 解： 特征方程为

因此，是A的二重特征值.为了寻求对应于的特征向量,考虑方程组

因此, 向量

是对应于特征值的特征向量,其中是任意常数.
18 解A特征方程为
特征根为 对应于1=3+5i的特征向量满足
解得u = a 为任意常数

对应于特征向量满足
解得 为任意常数
19 解:的特征方程为
1=1, 2=4为特征根,为方程组解a为任意常数.
为方程组解.
这样为方程的解
20．解 方程组的特征方程为

即
特征根为 ，
对应的解为

其中是对应的特征向量的分量，满足

可解得．
同样可算出对应的特征向量分量为 ．
所以，原方程组的通解为

四 名词解释
1 联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称之为微分方程。
2 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两个以上
的微分方程称为偏微分方程。
3 形如

的方程，称为变量分离方程，这里分别是x , y的连续函数。
4 形如
的方程，称为伯努利方程，这里为x的连续函数，是常数
5 函数f (x , y)称为在R上关于y满足条件，如果存在常数L>0,使得
不等式
对于所有都成立, L称为常数.
6 定义在区间上的函数, 如果存在不全为零的常数c1 , c2 ,
…. ck 使得恒等式对于所有都成立,称这些函数是线性相关的.
五 1在方程中,已知p (x),q (x)在上连续,
求证:该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切.
证明：方程，设是它的任一非零解。
若p (x),q (x)在上连续，假设在平面上与轴相切。
则与方程有非零解矛盾。
故与x轴不相切。
2 由已知得

把x1(t)+x2(t)代入方程由左端得
=
3 证明 设y = y(x)是方程任一解，满足y (x 0) = y0 ，该解的表达式为

取极限

4 证明 设y1(x),y2(x)是方程的基本解组,则对任意,它们朗斯基行列式在上有定义,且.又由刘维尔公式

由于 ,于是对一切,
有或
故是上的严格单调函数
5答案略
6证明:已知函数组的行列式为
W(x) =
=
上述最后的行列式为范德蒙受行列式 它等于由题设知 由此行列式不为零.从而由性质知.已知的函数组在上线性无关证毕.
7．证明 由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．
显然 是方程的两个常数解．
任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为． （10分）
8．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是．
显然，该方程有零解．
假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件= 0，于是由解的惟一性，有 ．这与是非零解矛盾．

一、计算（20分）
1） 2）
二、证明：（20分）
1）若向量组线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。
2）若向量组中部分向量线性相关，则向量组必线性相关
三、（15分）已知A为n阶方阵为A的伴随阵，则|A|=0，的秩为1或0。
四、（10分）设A为n阶阵，求证，rank（A+I）+rank（A-I）≥n
五、（15分）求基础解系

六、（10分）不含零向量的正交向量组是线性无关的
七、（10分）求证△ABC的正弦正定理

答案(一)

一、1）-126 2）
二、证明：
1）线性无关，是其部分向量组，若存在不全为0的数使则取，则，则可知线性相关矛盾，所以必线性无关。
2）已知是向量组中中的部分向量，且线性相关即 不全为0，使，取，于是有不全为0的，使即线性相关。
三、证明：
由于|A|=0 ，A的秩≤n-1
1）若A的秩为n-1，则中的各元素为A的所有n-1阶子式，必有一个子式不为0，又由于的各列都是AX=0齐次线性方程组的解，其基础解系为n-（n-1）=1，由此的秩为1。
2）若A的秩＜n-1，则中的所有A的n-1阶子式全为0，即=0，的秩为0。
四、证明：∵对任意n级方阵A与B，有
rank（A+B）≤rank（A）+ rank （B）
又∵rank（A－I）=rank[－（A－I）]=rank（I－A）
∴rank[（A+I）+（I－A）]=rank（2I）= rank（I）=n
≤rank（A+I）+rank（I－A）=rank（A+I）+rank（A－I）

五、
取基础解系

六、证明：设是正交向量组，且不含空向量。若有

则
且
即 线性无关
七、证明：如图：

A

B C