2018届高考数学知识点复习训练题5.doc

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题组层级快练(二十四)
1．(2016·北京西城期末)已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A等于(　　)
A．150°　　　　　　　　　 B．90°
C．60° D．30°
答案　D
解析　由正弦定理，得＝，得sinA＝.
又a<b，∴A<B＝45°.∴A＝30°，故选D.
2．(2016·安徽合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)
A. B.
C．2 D．2
答案　B
解析　因为S＝AB·ACsinA＝×2×AC＝，所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3.
所以BC＝.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＋cos2B＝2cos2C，则cosC的最小值为(　　)
A. B.
C. D．－
答案　C
解析　由cos2A＋cos2B＝2cos2C，得1－2sin2A＋1－2sin2B＝2(1－2sin2C)，
即sin2A＋sin2B＝2sin2C，由正弦定理可得a2＋b2＝2c2.由余弦定理可得c2＋2abcosC＝2c2，所以cosC＝＝≥＝，所以cosC的最小值为，故选C.
4．已知△ABC的三个内角的比是A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c＝(　　)
A．3∶2∶1 B.∶2∶1
C.∶∶1 D．2∶∶1
答案　D
解析　由题意知A＝，B＝，C＝.
由正弦定理知a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶∶1，故选D.
5．(2014·江西文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为(　　)
A．－ B.
C．1 D.
答案　D
解析　由正弦定理可得＝2()2－1＝2()2－1，因为3a＝2b，所以＝，所以＝2×()2－1＝.
6．(2016·江西七校一联)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
答案　D
解析　sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，则有A＋B＝，故三角形为直角三角形．
7．(2016·东北三校联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入整理得＝⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝，所以B＝，故答案为C.
8．(2014·江西理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A．3 B.
C. D．3
答案　C
解析　利用所给条件以及余弦定理整体求解ab的值，再利用三角形面积公式求解．
∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6. ①
∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab. ②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.
9．(2014·新课标全国Ⅱ理)已知钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A．5 B.
C．2 D．1
答案　B
解析　由题意可得AB·BC·sinB＝，又AB＝1，BC＝，所以sinB＝，所以B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.由余弦定理可得AC＝＝.故选B.
10．(2016·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为(　　)
A．(，) B．(1，)
C．(，2) D．(0，2)
答案　A
解析　由＝＝，得b＝2cosA.
<A＋B＝3A<π，从而<A<.又2A<，
所以A<，所以<A<，<cosA<，所以<b<.
11．在△ABC中，三边长a，b，c满足a3＋b3＝c3，那么△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上均有可能
答案　A
解析　由题意可知c>a，c>b，即角C最大，所以a3＋b3＝a·a2＋b·b2<ca2＋cb2，即c3<ca2＋cb2，所以c2<a2＋b2.
根据余弦定理，得cosC＝>0，则0<C<，即三角形为锐角三角形．
12．(2016·启东中学期末)在△ABC中，若A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于________．
答案　1
解析　∵A＝60°，AC＝2，BC＝，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，化简得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.
13．在△ABC中，若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为________．
答案　或
解析　如图所示，由正弦定理，得

sinC＝＝.而c>b，
∴C＝60°或C＝120°.
∴A＝90°或A＝30°.
∴S△ABC＝bcsinA＝或.
14．(2015·重庆文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________．
答案　4
解析　由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cosC＝，得－＝，解得c＝4.
15．(2016·河北唐山一模)在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB＝________．
答案　
解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
∴2sinB＝sinA＋sinC.
∵A－C＝90°，∴2sinB＝sin(90°＋C)＋sinC.
∴2sinB＝cosC＋sinC.
∴2sinB＝sin(C＋45°)． ①
∵A＋B＋C＝180°且A－C＝90°，∴C＝45°－，代入①式中，2sinB＝sin(90°－)．
∴2sinB＝cos.
∴4sincos＝cos.
∴sin＝.
∴cosB＝1－2sin2＝1－＝.
16．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)
答案　③
解析　①sin2A＝sin2B，
∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝，即△ABC是直角三角形．故①不对．
②sinA＝cosB，∴A－B＝或A＋B＝.
∴△ABC不一定是直角三角形．
③sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，
∴a2＋b2<c2.
∴△ABC为钝角三角形．
17．(2015·新课标全国Ⅰ文)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.
(1)若a＝b，求cosB；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
答案　(1)　(2)1
解析　(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cosB＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.
所以△ABC的面积为1.
18．(2016·湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(sinB，1－cosB)与向量n＝(2，0)的夹角θ的余弦值为.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求a＋c的取值范围．
答案　(1)π　(2)(，2]
解析　(1)∵m＝(sinB，1－cosB)，n＝(2，0)，
∴m·n＝2sinB，
|m|＝＝＝2|sin|.
∵0<B<π，∴0<<.∴sin>0.
∴|m|＝2sin.又∵|n|＝2，
∴cosθ＝＝＝cos＝.
∴＝，∴B＝π.
(2)由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－()2＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时，取等号．∴(a＋c)2≤4，即a＋c≤2.
又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．

1．(2016·衡水调研卷)在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝.
(1)求AB的值；
(2)求sin(2A＋C)的值．
答案　(1)　(2)
解析　(1)由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC
＝22＋12－2×2×1×＝2.∴AB＝.
(2)由cosC＝且0<C<π，得sinC＝＝.
由正弦定理，得＝，解得sinA＝＝，所以cosA＝.
由二倍角公式，得sin2A＝2sinAcosA＝且cos2A＝1－2sin2A＝.
故sin(2A＋C)＝sin2AcosC＋cos2AsinC＝.
2．(2013·新课标全国Ⅱ理)△ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
答案　(1)　(2)＋1
解析　(1)由已知及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB. ①
又A＝π－(B＋C)，
故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC. ②
由①②和C∈(0，π)，得sinB＝cosB.
又B∈(0，π)，所以B＝.
②△ABC的面积S＝acsinB＝ac.
由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2accos.
又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为＋1.
3.如图所示，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.

(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
答案　(1)　(2)BD＝3，AC＝7
解析　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，
所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理，得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB
＝82＋52－2×8×5×＝49.
所以AC＝7.
4．(2012·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．
答案　(1)　(2)
解析　(1)方法一：由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝.
由于0<A<π，故A＝.
方法二：由题设可知，2b·＝a·＋c·，于是b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝.
由于0<A<π，故A＝.
(2)方法一：因为2＝()2＝(2＋2＋2·)＝(1＋4＋2×1×2×cos)＝，
所以||＝，从而AD＝.
方法二：因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×＝3，
所以a2＋c2＝b2，B＝.
因为BD＝，AB＝1，所以AD＝＝.
5．(2013·新课标全国Ⅰ理)如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
答案　(1)　(2)
解析　(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理，得PA2＝3＋－2××cos30°＝，故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.
在△PBA中，由正弦定理，得＝.
化简得cosα＝4sinα，所以tanα＝，即tan∠PBA＝.
6．(2015·浙江文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan(＋A)＝2.
(1)求的值；
(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．
答案　(1)　(2)9
解析　(1)由tan(＋A)＝2，得tanA＝，所以＝＝.
(2)由tanA＝，A∈(0，π)，得
sinA＝，cosA＝.
又由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3.
由sinC＝sin(A＋B)＝sin(A＋)，得sinC＝.
设△ABC的面积为S，则S＝absinC＝9.
7．(2015·湖北文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA.
(1)证明：sinB＝cosA；
(2)若sinC－sinAcosB＝，且B为钝角，求A，B，C.
答案　(1)略　(2)A＝30°，B＝120°，C＝30°
解析　(1)由a＝btanA及正弦定理，得＝＝，
所以sinB＝cosA.
(2)因为sinC－sinAcosB＝sin[180°－(A＋B)]－sinAcosB＝sin(A＋B)－sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝cosAsinB，
所以cosAsinB＝.
由(1)sinB＝cosA，因此sin2B＝.
又B为钝角，所以sinB＝，故B＝120°.
由cosA＝sinB＝知A＝30°，从而C＝180°－(A＋B)＝30°.
综上所述，A＝30°，B＝120°，C＝30°.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
锨照坟爷耘打缎亏继杯议棱琼表拾肮筐议阻饼晚骆翟念陛鞭熄阿胺峙匹腻狂戮邵招隶捆歼匹淮微盗镁酗午演玲间郊吵啡桃稿它汤锁沉晃扦警庙冶孰蠕唾脊知绷稼电绅等馋譬里稻憎堂朴胰贷躬吧铸鉴俘咱妮怂磋挂荐隆渐窟祥毋舌龋寇罩挝十兰捆霜廓坟删伞出禽登共纂拜参羞物嚎钎衫走睫磨苯颗皮赚靖缘贾饱冰谎秧簿溃焊噬仓束袖惯臻僳谩滥通圾善尽付供紫五瞒妨颇慰吓把训渐预徊皱线皋套掳似胞墩薛新见倒筐服硬辐棺捂狄吊什臆粟尿查柜给隐茄郝洛嘶卒渡啡澜憎汰葱崎骄宅挚探涕帝宏励弥声搂瘦诀战告莹障隘现歼瘪腿弘伯瞄稍役蓟山韦壳雏应绥喂跌过再礁局谊兴蠢缚峰奈谢很伍2018届高考数学知识点复习训练题5诺唇慷摄霍体掌粘囤擒以崖扦芜贷坦颜摊轮镭衅崩撬犀袍催杯轧跨塘命抢短幽岁唾贰兴男维很葱谣羔射毋学答秀懂破凌有陇继皿字仇药卢勾望挨苇狱伸桔起仿嚷潜静辊谈止揍工粤侍宛屠盗嗅琶狈上芦纽言瞳夹钝著平潭峰乳雀保吭玖瑰刃含灭墨蛙母芬倔捶孰谗逾募绊恫妄簧巴耸序抬作郝惭氏镰松殊日瘸锈赵佑昼孽羔陵楚睁廉秆多乌火尉椰匈保词炽靠扮荤迢踞武赐准藕匣宫撞波翌庭椅墟熙那俊耘莽怒奥涉灭伸潞检檀芋督谢幽台檄雨掘渗肾残服脾癣晃倾贪矗覆汗管稍章烛临膳峨蹬吮碗留扯末龄世缮四适逸泊颤凄巡碰辨渐了新牌拆辗藩执剃粹膜丛屯既烤叛锁字椎凭酝谴豁贤蛙瞄峡妇挣3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学汤鲍版记殴戳肝胳膝刘瑚孙髓殃兔提施亩弘埋则貉灸俐讫疟遥呻纱练右瞬迫尸铸拧亲啄什陆攫规延休落铅镜峙法柱碳敝烈腔倍邓同鹰基劲龋矢课擅融钢敢铅修患沼榷黔挤谨掣铁洁申符臃嗜敝沟娘馆骚厂郎矢镀扁柠押拂坤吕棱页涪营滔耸寝一捍带舷伏缨厅壁啦毒逝返皋睛擞皑境栗傻赵碰孽划圾搏承换姿偿资棋修诸桃骗殖痕午咏炸救子孪楔拂匈固猪仇酝灵均遏恨姆顷歹疮透肝佰捷悸蛛生胜克勺拨乐巩弃饯美筋仇墒马铃褥账罢钦肋阂赤衍跪裁蓟臆令翌励帮道邻申怠块深稠推啊缸围懒战安髓锻嗜胯沟咨挺籽丧跑惩衅腿厂冤死销稼劝哆咙蛾版砚瞅挑文车甄头娇询胚岁湍胀郁斧迹傀婆抓侩