函数的奇偶性及周期性.doc
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1、第六节 函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1周期函数对于函数yf(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(xT)f(x),那么就称函数yf(x)为周期函数,称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期课前检测1下列函数为偶函数的是()Aysin
2、xByx3Cyex Dyln 解析:选D四个选项中的函数的定义域都是R.ysin x为奇函数幂函数yx3也为奇函数指数函数yex为非奇非偶函数令f(x)ln ,得f(x)ln ln f(x)所以yln为偶函数2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数,那么ab 的值是()A B.C. D解析:选Bf(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数,a12a0,a.又f(x)f(x),b0,ab.3已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x4)f(x),则f(8)的值为()A1 B0C1 D2解析:选Bf(x)为奇函数且f(x4)f(x),f(0)0,T4.f(8)f(0)0.4若函数f(
3、x)x2|xa|为偶函数,则实数a_.解析:法一:f(x)f(x)对于xR恒成立,|xa|xa|对于xR恒成立,两边平方整理得ax0,对于xR恒成立,故a0.法二:由f(1)f(1),得|a1|a1|,故a0.答案:05设函数f(x)x3cos x1.若f(a)11,则f(a)_.解析:观察可知,yx3cos x为奇函数,且f(a)a3cos a111,故a3cos a10.则f(a)a3cos a11019.答案:9 1.奇、偶函数的有关性质:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件;(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反之亦然;(3)若奇函数f(x
4、)在x0处有定义,则f(0)0;(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关于y轴对称可知,偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2若函数满足f(xT)f(x),由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期;应注意nT(nZ且n0)也是函数的周期一、函数奇偶性的判断例1设Q为有理数集,函数f(x)g(x),则函数h(x)f(x)g(x)()A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数自主解答当xQ时,xQ,f(x)f(x)1;当xRQ时,xRQ,f(x)f(x)1.综上,对任意xR,都有f(x
5、)f(x),故函数f(x)为偶函数g(x)g(x),函数g(x)为奇函数h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x),函数h(x)f(x)g(x)是奇函数h(1)f(1)g(1),h(1)f(1)g(1)1,h(1)h(1),函数h(x)不是偶函数答案A由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件;(2)如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明,否则要举出反例)注意判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系,
6、只有对各段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性以题试法1判断下列函数的奇偶性(1)f(x);(2)f(x)3x3x;(3)f(x);(4)f(x)解:(1)由得x1,f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0,f(1)f(1)0,即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)f(x)的定义域为R,f(x)3x3x(3x3x)f(x),所以f(x)为奇函数(3)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2,f(x),f(x)f(x),f(x)是奇函数(4)f(x)的定义域为R,关于原点对称,当x0时,f(x)(x)22(x22)f(x);当x0的解集为()A(2,0)(2,
7、)B(,2)(0,2)C(,2)(2,) D(2,0)(0,2)自主解答(1)yf(x)x2是奇函数,且x1时,y2,当x1时,y2,即f(1)(1)22,得f(1)3,所以g(1)f(1)21.(2)f(x)为偶函数,0.xf(x)0.或又f(2)f(2)0,f(x)在(0,)上为减函数,故x(0,2)或x(,2)答案(1)1(2)B本例(2)的条件不变,若n2且nN*,试比较f(n),f(1n),f(n1),f(n1)的大小解:f(x)为偶函数,所以f(n)f(n),f(1n)f(n1)又函数yf(x)在(0,)为减函数,且0n1nn1,f(n1)f(n)f(n1)f(n1)f(n)f(2
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