高等数学第四章不定积分.ppt
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1、第四章第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分 1 1.4.1 不定积分的概念与性质定义1:设 F(x)与 f(x)是定义在某区间上的函数,如果在该区间上有 或 ,则称 F(x)是 f(x)在这个区间上的一个原函数。4.1.1 原函数原函数2 2.问题问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理定理1.存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 3.定理定理.原函数都在函数族(C 为任意常数)内.证证:1)又知故即属于函数族机动 目录 上页 下页 返回 结束 即4 4.定义
2、定义 2.2.在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号积分号;被积函数被积函数;被积表达式被积表达式.积分变量积分变量;若则(C 为任意常数)C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢!例如,记作4.1.2不定积分的概念不定积分的概念5 5.4.1.3 4.1.3 不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线积分曲线.6 6.例例1.1.设曲线通过点设曲线通过点设曲线通过点设曲线通过点(1,2)(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解解:所求曲线过点(1
3、,2),故有因此所求曲线为机动 目录 上页 下页 返回 结束 7 7.性质性质1 一个函数积分后导数或微分等于这个函数。一个函数积分后导数或微分等于这个函数。性质性质2 一个函数微分后积分,等于这个函数加上任意常数。一个函数微分后积分,等于这个函数加上任意常数。4.1.4 不定积分的简单性质不定积分的简单性质1010.性质性质3 积分形式不变性积分形式不变性 如果如果 u为为 x 的任何的任何 可微函数,则有可微函数,则有性质性质4 函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和1111.性质性质5 常数因子可从积分号中提出常数因子可从积分号中提出k
4、是常数且是常数且 k 01212.4.2 不定积分的 基本公式(k 为常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 1313.或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 1414.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1515.例例1 1616.例例21717.例例3.3.求求解解:原式 =例例4.求解解:原式=1818.例例5.5.求求求求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 1919.例6.求解解:原式=2020.例例7.求解解:原式=注意方法注意方法2121.例例8.8.求求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意方法注意方法2222.例例1 2323.例例22424.例例3
5、.3.求求解解:原式 =例例4.求解解:原式=2525.例例5.5.求求求求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 2626.例6.求解解:原式=2727.例例7.求解解:原式=注意方法注意方法2828.例例8.8.求求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意方法注意方法2929.内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形恒等变形,及 基本积分公式基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质积分性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 3030.思考与练习1.若提示提示:
6、机动 目录 上页 下页 返回 结束 3131.2.2.若若若若是的原函数,则提示提示:已知机动 目录 上页 下页 返回 结束 3232.3.3.若若若若的导函数为则的一个原函数是().提示提示:已知求即B?或由题意其原函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 3333.4.4.求下列积分求下列积分求下列积分求下列积分:提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 3434.5.5.求不定积分求不定积分求不定积分求不定积分解:解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 3535.6.6.已知已知求 A,B.解解:等式两边对 x 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 3636.二、第二类换元法二
7、、第二类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.3 两种积分法 第四四章 3737.4.3.1.换元积分法换元积分法 复合函数的微分法大大拓展了求导数复合函数的微分法大大拓展了求导数(或求积分)的范围。同样,将复合函数的(或求积分)的范围。同样,将复合函数的微分法用于求积分即得复合函数得积分法微分法用于求积分即得复合函数得积分法换元积分法,按其应用方法得不同可分为两换元积分法,按其应用方法得不同可分为两种换元法。种换元法。3838.1 第一换元积分法第一换元积分法 如果不定积分如果不定积分 用基本积分法不易求得,用基本积分法不易求得,但被积表达式可分解为但
8、被积表达式可分解为 作变量代换作变量代换 ,得到,得到 则则 而而 可以求出,不妨设可以求出,不妨设 3939.这一步常称为这一步常称为“凑积分凑积分”,第二步就是求不定积分,第二步就是求不定积分 。定理(第一类换元积分法)定理(第一类换元积分法)设设 ,且,且 在区间在区间 I 可微,则可微,则 用第一换元积分法求不定积分用第一换元积分法求不定积分 ,分为两步完成,分为两步完成,第一步从第一步从 f(x)中分出一个因子中分出一个因子 ,使,使 与与dx凑成凑成u的微分的微分 du,并把被积函数剩下的部分写成的,并把被积函数剩下的部分写成的u函数,即函数,即例例4040.例例1.1.求求求求解
9、解:原式原式=注注:当时机动 目录 上页 下页 返回 结束 4343.例例2.2.求求求求解解:想到公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 4444.例例3.3.求求求求想到解解:(直接配元)机动 目录 上页 下页 返回 结束 4545.例例4.4.求求求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似4646.例例5.5.求求求求解解:原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 4747.常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 4848.例例6.6.求求求求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 4949.例例7.7.求求求求解解:原式=
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