初二数学上学期知识点和典型例题总结.docx
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1、全等三角形类型一:全等三角形性质的应用1、如图,ABDACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角. 思路点拨: AB=AC,AB和AC是对应边,A是公共角,A和A是对应角,按对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边可求解.解析:AB和AC是对应边,AD和AE、BD和CE是对应边,A和A是对应角,B和C,AEC 和ADB是对应角.总结升华:已知两对对应顶点,那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角,第三对角是对应角;再由对应角所对的边是对应边,可找到对应边.已知两对对应边,第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角.举一反三:【变式1】如图,ABCDBE.问线段AE和CD相等吗?为什么?【答
2、案】证明:由ABCDBE,得AB=DB,BC=BE, 则AB-BE=DB-BC,即AE=CD。【变式2】如右图,。 求证:AECF【答案】AECF2、如图,已知ABCDEF,A=30,B=50,BF=2,求DFE的度数与EC的长。思路点拨: 由全等三角形性质可知:DFE=ACB,EC+CF=BF+FC,所以只需求ACB的度数与BF的长即可。解析:在ABC中, ACB=180-A-B,又A=30,B=50,所以ACB=100.又因为ABCDEF,所以ACB=DFE,BC=EF(全等三角形对应角相等,对应边相等)。所以DFE=100EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华:全等三角形的对应
3、角相等,对应边相等。举一反三:【变式1】如图所示,ACDECD,CEFBEF,ACB=90. 求证:(1)CDAB;(2)EFAC.【答案】(1)因为ACDECD,所以ADC=EDC(全等三角形的对应角相等).因为ADC+EDC=180,所以ADC=EDC=90.所以CDAB.(2)因为CEFBEF,所以CFE=BFE(全等三角形的对应角相等).因为CFE+BFE=180,所以CFE=BFE=90.因为ACB=90,所以ACB=BFE.所以EFAC.类型二:全等三角形的证明3、如图,ACBD,DFCE,ECBFDA,求证:ADFBCE 思路点拨: 欲证ADFBCE,由已知可知已具备一边一角,由
4、公理的条件判断还缺少这角的另一边,可通过ACBD而得解析:ACBD(已知)AB-BDAB-AC(等式性质)即 ADBC在ADF与BCE中ADFBCE(SAS)总结升华:利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下:(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形,(2)证明这两个三角形全等;(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等举一反三:【变式1】如图,已知ABDC,ABDC,求证:ADBC【答案】ABCD34在ABD和CDB中ABDCDB(SAS)12(全等三角形对应角相等)ADBC(内错角相等两直线平行)【变式2】如图,已知EBAD于B,FCAD于C,且EBFC,AB
5、CD 求证 AFDE【答案】EBAD(已知) EBD90(垂直定义)同理可证FCA90EBDFCAABCD,BCBCACAB+BCBC+CDBD在ACF和DBE中ACFDBE(SAS)AFDE(全等三角形对应边相等)类型三:综合应用4、如图,AD为ABC的中线。求证:AB+AC2AD. 思路点拨: 要证AB+AC2AD,由图想到:AB+BDAD,AC+CDAD,所以AB+AC+BC2AD,所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD,即倍长中线。解析:延长AD至E,使DE=AD,连接BE因为AD为ABC的中线,所以BD=CD.在ACD和EBD中,所以ACDEBD(SAS).所以BE=C
6、A.在ABE中,AB+BEAE,所以AB+AC2AD.总结升华:通过构造三角形全等,将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三:【变式1】已知:如图,在RtABC中,AB=AC,BAC=90,1=2,CEBD的延长线于E, 求证:BD=2CE.【答案】分别延长CE、BA交于F. 因为BECF,所以BEF=BEC=90.在BEF和BEC中,所以BEFBEC(ASA).所以CE=FE=CF.又因为BAC=90,BECF.所以BAC=CAF=90,1+BDA=90,1+BFC=90.所以BDA=BFC.在ABD和ACF中,所以ABDACF(AAS)所以BD=CF.所以BD=2CE.5、如图,ABCD,
7、BEDF,BD, 求证:(1)AECF,(2)AECF,(3)AFECEF思路点拨: (1)直接通过ABECDF而得,(2)先证明AEBCFD,(3)由(1)(2)可证明AEFCFE而得,总之,欲证两边(角)相等,找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等解析:(1)在ABE与CDF中ABECDF(SAS)AECF(全等三角形对应边相等)(2)AEBCFD(全等三角形对应角相等)AECF(内错角相等,两直线平行)(3)在AEF与CFE中AEFCFE(SAS)AFECEF(全等三角形对应角相等)总结升华:在复杂问题中,常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件举一反三:【
8、变式1】如图,在ABC中,延长AC边上的中线BD到F,使DFBD,延长AB边上的中线CE到G,使EGCE,求证 AFAG【答案】在AGE与BCE中AGEBCE(SAS)AGBC(全等三角形对应边相等)在AFD与CBD中AFDCBD(SAS)AFCB(全等三角形对应边相等)AFAG(等量代换)6、如图 ABAC,BDAC于D,CEAB于E,BD、CE相交于F 求证:AF平分BAC思路点拨: 若能证得得AD=AE,由于ADB、AEC都是直角,可证得RtADFRtAEF,而要证AD=AE,就应先考虑RtABD与RtAEC,由题意已知AB=AC,BAC是公共角,可证得RtABDRtACE解析:在RtA
9、BD与RtACE中RtABDRtACE(AAS)AD=AE(全等三角形对应边相等)在RtADF与RtAEF中RtADFRtAEF(HL)DAF=EAF(全等三角形对应角相等)AF平分BAC(角平分线的定义)总结升华:条件和结论相互转化,有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三:【变式1】求证:有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】根据题意,画出图形,写出已知,求证已知:如图,在ABC与ABC中AB=AB,BC=BC,ADBC于D,ADBC于 D且 AD=AD求证:ABCABC证明:在RtABD与RtABD中RtABD RtABD(HL)B=B(全等三角形对应角相等)在
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