第5章-点的运动学.ppt
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1、哈尔滨工业大学理论力学教研室哈尔滨工业大学理论力学教研室哈尔滨工业大学理论力学教研室哈尔滨工业大学理论力学教研室 编著编著编著编著武汉轻工大学机械工程学院武汉轻工大学机械工程学院武汉轻工大学机械工程学院武汉轻工大学机械工程学院第七版 高等教育出版社高等教育出版社高等教育出版社高等教育出版社 发行发行发行发行运动学运动学运动学运动学运动学引言运动学引言u 任务:研究物体运动的几何性质(包括运动规律、轨迹、速度、加速度)。只从几何的角度来研究物体的机械运动,不考虑影响物体运动的物理原因。u 意义:为动力学打下必要基础及直接用于工程实际。u 物体运动的描述是相对的:研究一个物体的运动,必须选取另一个
2、物体作为参考,这个参考的物体称为参考体。固结于参考体上的坐标系称为参考系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。u 力学模型:点和刚体。u 内容:建立机械运动的描述方法;建立各运动量之间的关系。第第第第5 5章章章章 点的运动学点的运动学点的运动学点的运动学5-1矢量法矢量法5-2直角坐标法直角坐标法5-3自然法自然法引言引言 本章将介绍研究点的运动的三种方法,即:矢量法、直角坐标法和自然法。点运动时,在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线,称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。本章
3、研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度,以及它们之间的关系。5-1 矢量法矢量法5.1.1 点的运动方程点的运动方程矢量形式矢量形式选取参考系上某确定点O为坐标原点,自点O向动点M作矢量r,称为点M相对原点O的位置矢量,简称矢径。当动点M运动时,矢径r随时间而变化,并且是时间的单值连续函数,即:(5-1)式(5-1)称为以矢量表示的点的运动方程。5-1 矢量法矢量法5.1.2 点的运动轨迹点的运动轨迹矢径端图矢径端图动点M在运动过程中,其矢径r的末端描绘出一条连续曲线,称为(矢径的)矢端曲线(矢径端图)。矢径r的矢端曲线就是动点M的运动轨迹。MrO5-1 矢量法矢量法5.1.3 点的速度
4、矢点的速度矢动点的速度矢等于它的矢径 r 对时间的一阶导数。动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线,即沿动点运动轨迹的切线,并与此点运动的方向一致。OMr(t)r(t+t)Mvv*r 速度的大小(即速度矢的模),表明点运动的快慢。(5-2)5-1 矢量法矢量法5.1.3 点的速度矢点的速度矢速度矢端曲线(速度端图)在空间任意取一点O,把动点M在连续不同瞬时的速度矢v1,v2,v3,等都平行地移到点O,连接各矢量的端点P1,P2,P3,就构成了矢量v端点的连续曲线,称为速度矢端曲线(速度端图)。OP1P2P3v1v2v3速度端图M1v1v2v3M2M3矢径端图5-1 矢量法矢量法5.1.4 点的加
5、速度矢点的加速度矢(5-3)OPv(t)v(t+t)Paa*v点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数,也等于矢径对时间的二阶导数。它表征了速度大小和方向的变化。动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点的切线相平行。有时为了方便,在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数,加“.”表示该量对时间的二阶导数。所以式(5-2)和(5-3)可以写为:5-2 直角坐标法直角坐标法5.2.1 点的运动方程点的运动方程直角坐标形式直角坐标形式如以矢径r的起点为直角坐标系的原点,则矢径r可表示为:(5-4)这组方程称为以直角坐标表示的点的运动方程。运动方程式(5-1)可写为:MrOkjyyxxzzi
6、(5-5)式(5-5)也是点的轨迹的参数方程。如需要求点的轨迹方程,可将式中的时间t消去。5-2 直角坐标法直角坐标法5.2.2 点的速度点的速度 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。若已知速度的投影,则速度的大小为:其方向余弦为:5-2 直角坐标法直角坐标法5.2.3 点的加速度点的加速度 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。若已知加速度的投影,则加速度的大小为:其方向余弦为:5-3 自然法自然法5.3.1 弧坐标弧坐标 设动点M的轨迹为如图所示的曲线,则动点M在轨迹上的位置可以这样确定:在轨迹上任选一点O为参考点,并设点O的某一侧为正向,动
7、点M在轨迹上的位置由弧长s确定,视弧长s为代数量,称它为动点M在轨迹上的弧坐标。MOs()(+)当动点M运动时,s随着时间变化,它是时间的单值连续函数,即:(5-13)式(5-13)称为点沿轨迹的运动方程,或以弧坐标表示的点的运动方程。5-3 自然法自然法5.3.2 自然轴系自然轴系 在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点M和M1,这两点切线的单位矢量分别为t t和t t1,其指向与弧坐标正向一致。将t t1平移到点M,则t t 和t t1决定一平面。令M无限趋近点M1,则此平面趋近于某一极限位置,此极限平面称为曲线在点M的密切面。过点M并与切线垂直的平面称为法平面,法平面与密切面的交线称主法线
8、。令主法线的单位矢量为n,指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线,其单位矢量为b,指向与t t、n构成右手系。t t1t t1t tM1Mnb5-3 自然法自然法5.3.2 自然轴系自然轴系 以点M为原点,以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系,这三个轴称为自然轴。且三个单位矢量满足右手法则,即:5-3 自然法自然法5.3.2 自然轴系自然轴系曲率和曲率半径 曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在M点的曲率。曲率的倒数称为M点的曲率半径。MMsjt tt t(5-14)5-3 自然法自然法5.3.2 自然轴系自然轴系两个相关的计算结
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