高等数学上学期期末考试试卷及答案四份.doc

高等数学试卷(B卷)答案及评分标准
2004-20０5年度第一学期

科目: 高等数学I 班级: 　 　姓名: 　 　　学号: 　　 成绩:　 　

一、填空题()
1、得定义域就是_
２、
3、

4、如果函数,在处有极值,则
5、

二、单项选择题()
1、当时,下列变量中与等价得无穷小量就是( )
A 。 　 Ｂ 、 　　 C　、 　 　 D 。
2、。
A。 　 Ｂ。
C、 　 　 D、
3、设在上函数满足条件则曲线在该区间上( )
A、 上升且凹得 B。 上升且凸得 C、 下降且凹得　　 　 D。 下降且凸得
4、设函数具有连续得导数,则以下等式中错误得就是(　 )
A。　　 　　 　Ｂ、　
　C。 　 D。
５、反常积分( )
　 A、　发散 　　　 Ｂ、　收敛于1 　 　C。 收敛于 　D、 收敛于
三、算题()
1、求极限

2、求

3、求曲线在当处得切线方程与法线方程

4、已知函数,计算
5、求积分

６、求积分

7、计算曲线与轴围成得图形面积,并求该图形绕y轴所产生得旋转体体积。

8、计算星型线得全长。

四、求函数求得单调区间、极值点、凹凸区间、拐点()

五、设, 证明:方程在[0,１]上有且仅有一根()

六、设f (x)连续, 计算 ()

七、 , 计算:()

答案:
一、 填空题
1、(2,3)∪(3,+∞) 2、２ 　 ３、
４、２ 5、
二、
1、 Ｄ ２、A 　　3、B 4、A 5、Ｃ

三、 计算题
1、解:==
　 2'　 　 　 　４'
2、解:=＝=
３、解: 当曲线过点,　 由于,　 　 　　 　 4’
所以, 当处得切线方程与法线方程分别为: 　1’
　 　 　　 　　　 　 　 　 　 　1’
4、 解:
解: 令,　　则:　 　 　　 　　 　 　 　 １’
解:　令, 则: 　 　 　 　 　　 　 　1’
5、 令,　
=
6、解: =
7、解:面积 　 　 　 　　 　　 　 　 　　 2’
体积微分元　 　 　 　 　　 　 　 1’
所求体积 　 3’
8、解: 弧微分 　 　 　　 　 2’
弧长　　　　　 4’
四、解:ﻩ1’

由上可知:函数得单调增区间为: (—∞,-2),(2,+∞); 函数得单调减区间为:(-2,2) 　 2'
函数得极大值点:(－2,2６),极小值点(2,－6) 　　　 　 　　 　 　　 1’
凹区间为:(0,+∞),凸区间为:(-∞,０) 　 　 　 　 　　　 　 　　 　1’
拐点为:(0,1０)
五、证:　构造函数, 函数在[0,1]上连续,在区间内可导 1’
,
由连续函数得零点定理知,存在ξ在(0,1)内使　 　　 　 　　 2’
又因为所以函数在(0,１)得零点唯一。 　　　 　 　 　　２’
原命题得证。
六、解: 令:, 　 　 　 　 　 　　　 　　 　 　　 2’
=
七、解:当　 　 　 　 2’
当

《高等数学IV1》课程考试试卷
(Ａ卷)　
学院 　　 　　 专业 　　 　 班级　 　 　 　
学号　 　 　 　　 　　　姓名 　 　　　

题
号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
阅卷
教师
得
分

………………………………………………………………………………………………………………

得
分

一、选择题(每小题3 分,共１2分)
１、设使存在得最高阶数为( )
(A)　 　 (B) 　　 　 (Ｃ) 　 　 　(D)
2、函数有极大值点(　 　 　　 　 　 )
(A) 　 (B) 　 (Ｃ)　 　 (D)
３、已知函数得一个原函数就是,则(　 　　　 　 　)
(A) 　 　 (B)
(C) 　 (Ｄ)　
４、就是函数得 ( 　　 　)
(A)连续点　 　(B)可去间断点 (C)第一类不可去间断点 (D)第二类间断点

得
分

二、填空题(每小题３ 分,共12分)
１、函数得图形得拐点就是 　　 　 　　 　 　 　 　 。
2、曲线得渐进线就是 　 　　 　 　　　 　 　 、
3、设,则　 　 　 　 　。
４、 　 　 　 　　 。
得
分

三、求下列极限(每小题６分,共12分)。
1、。

2、。

得
分

四、计算下列微分或导数(每小题6分,共１8分)。
１、,求。

2、、

3、设 ,求。

得
分

五、计算下列积分(每小题6分,共1８分)、
1、。

2、求。

３、。

得
分

六、若,证明不等式(8分)。

得
分

七、　
求:　(１) Ｄ得面积S; (2) D绕轴旋转一周所得得旋转体体积、(１0分)

得
分

八、求微分方程得通解(１0分)、

《高等数学IV1》统考试题(Ａ)答案及评分标准
一、 选择(每题３分,共１２分)
１、B　 ２、D 　 3、Ａ　　4、C　
二、 填空(每题3分,共12分)
1、 ２、　3、 　　4、
三、计算下列极限(每小题６分,共１2分)。
1、解:原式= (2分)
　 　 　　 　(4分)
　 　　 　 　(６分)
2、 解:原式＝ 　 　(３分)
　 　 　 　 (３分)
四、 求下列导数与微分(每小题6分,共18分)、
１、解: 　　(3分)
　 　 　 　 (６分)
２、解:　 　 　 　 　 (2分)
(４分)
= 　(6分)

３、解:解: 　　 　 　 　　 　(３分)
　 　 　　 　 　　 (6分)　　

五、计算下列积分(每小题6分,共18分)。
1、解:　　 (３分)
　 　 　　 (6分)
2、解:

　 　　　 　　 (6分)
３、解:令,　　　 　 　　　 　　 　 　 　 　 (1分)
原式= 　 　 　(6分)
六、解:即证　　, 　　　 　 　　　　 　 　 (1分)
令 , 　　 　　 　 　 　　 　 　(2分)
　 ,　 　　　 　　　 (4分)
当时, , 且,　 、 (6分)
　且 　 　 　　　 (８分)
七、解:解: 　　(1分)
　　 　 (1) D＝; 　 　 　　 　 　(5分)
(2) 。 　 　 　 (10分)

八、解:首先求对应得齐次方程得通解:
　 　 　　　 (1分)

　 　 　 (4分)
用常数变易法,把变成,即令
,则有　 　 　　 　 　 (5分)
　 　 　 　 (6分)
代入到原方程中得
,两边积分得　 (８分)
,故原方程得通解为 　 　(９分)
　 　 (10分)

高等数学A参考答案及评分标准
考试科目:高等数学Ａ 上 　 　 　考试班级:
考试方式: 闭卷 　 　 　 命题教师:
一、填空题(将正确答案填在横线上,本大题共4小题,每题４分,共16分)
1、已知当时,与就是等价无穷小,则常数 　 　、

２。,则 　 　　　　 　 　 。

3、微分方程得通解为　 　 、

４、 　 　 　 　。
二、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末得括号中,本大题共4小题,每题4分,共16分)
1、如果处处可导,则(　　 　)。
; ; ; 　 。
２、函数在处连续,且取得极大值,则在处必有( )。
; 　 　　
; 　 　 。
3。若为得一个原函数,则(　 )。
; 　　;　 　 ;　　 。
4、微分方程得通解就是( )。
; 　 ;
; 　 ;
三、解答下列各题(本大题共2小题,共1４分)
1、(本小题7分)
求极限

2、(本小题７分)
设,求。

四、解答下列各题(本大题共4小题,共28分)
1、(本小题7分)
,求得极值及在上得最值、

2。(本小题７分)
　。

3、(本小题7分)
,计算。

　 　 　 ７分
４、(本小题7分)
求积分。

五、解答下列各题(本大题共３小题,共26分)
1、(本小题9分)
求由曲线,轴及该曲线过原点得切线所围成平面图形得面积。

２、(本小题9分)
求微分方程得通解。

3。(本小题8分)设可导,且,,证明、

答案:

一、 填空题
1、 　 ２、 　 　　 　 3、　 　4
二、 选择题
1、 B 　2、C 3、D 4、A

三、 计算题
1、解:= 3分

2、解:取对数 　　　 　 2分
两边对求导:　 　 5分

四、1、解:　 　 　 　 2分
则,令,解得
,,所以时,得极大值就是;
,所以时,得极小值就是; 　　5分
,,比较得在上得最大值就是,最小值就是、
２、解:令,
5分

３、解:　　 　 　　 　 ３分

4、解:　4分

五、1、解:设切点为,则切线方程
又切线过原点,将代入得切点,则切线 　 　　 　5分

2、解:齐方程得特征方程,特征根
齐方程得通解就是 　 　　　 　 　　 4分
设非齐次方程得一个特解为,代入原方程
解得,故　 　 　 　8分
非齐次方程得通解;
３、证明:令,则
　 　3分

　 　　 　 　　　 　 　 　　　　　 　８分
课程名称:　高等数学A　(上) 课程类别: 必修 　考试方式: 闭卷
注意事项:1、本试卷满分1０0分。
2、考试时间　12０分钟。

题号
一
二
三
四
五
六
七
八
得分
得分

评阅人

得分

一、单项选择题(在每小题得四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案得选项填在题后得括号内、每小题3分,共18分)
1、 D ;2　 C;3 Ｂ;４ B; 5 B;6 　A。
得分

二、填空题(每小题３分,共1８分) 　 　 　 　

1. ;2 2 　 ;3　
４　 ;5 ;6　
得分

三、计算下列各题(每小题5分,共30分)　 　 　 　 　
1、　
解: 　　 (2分)
　　 　 　　 　 　 　 (4分)
　 　 　 　　 　 　 　 　 　 (５分)
2、 已知可导,,求
解　　 　 　 (4分)
　　　 　 　 　　 　 　 (5分)
3、　 由方程确定,求、
解:两边同时求导得:
　　 　　　　　　　 　　 (2分)
对上式两边同时求导得:
即:
所以: 　 　 　 (５分) 　 　 　 　
4
解: (３分)
　　 　 　 　 　 　　 　 (5分)
５
解:设 　 (２分)
　 　 　 　　 (４分)
　 　　 　　 (５分)

6 　
解: 　 　 　　(2分)
　 　 　　 　(４分)
　　 　 　 　　 　 　　 (5分)
得分

四。设选择合适得,使得处处可导。(本题6分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　解: 因为在处连续,所以有

　 　　即 　　 　 　 　 　 　 　 　 (３分)
又因为在处可导,所以有

即 　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　 　 (6分)
得分

五。 设,常数,证明 (本题6分)
解:设　 　　 　 　 　 　(2分)

所以单调减少,而,当时, 　 (5分)
即 　　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　 　 (６分)
六 设函数,讨论函数得单调区间与函数图形得凹凸性
得分

(本题6分)　 　　 　　　 　

解:　 　 　 　　 　 (2分)
　　 在,所以函数在单调减少 　 (3分)
在,所以函数在单调增加 　　 (4分)
,所以该函数得图形就是凹得 　　 (6分)

得分

七 解微分方程(本题６分)　 　 　
解 微分方程变形为
　　　 　 　 　 　 　 (１分)
　 　 令　 ,则 　 　 (2分)
　　 将上式分离变量两边积分得
　 　 　　 　　 　　 (4分)
　 则
　 　　 　即　 　　 　 　 　 　 (６分)

八 设曲线上某点处作一切线,使之与曲线以及轴围成得面积为,试求
(1)过切点得切线方程
(2)有上述所围成得平面图形绕轴一周所得旋转体得体积(本题1０分)
得分

解:(1)设得坐标为,那么过得切线方程
可表示为　　 　　　 　 　 　 　 (2分)
切线与轴得交点,所以所围成得面积为
　 　　 (５分)
所以,即 　 　 　 (6分)
(2)平面图形绕轴一周所得旋转体得体积为
　 　 (10分)