勾股定理应用(含解答).doc
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1、 勾股定理点击一:勾股定理勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2b2 = c2 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方因此,在运用勾股定理计算三角形的边长时,要注意如下三点:(1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角三角形;(2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错;(3)注意勾股定理公式的变形:在直角三角形中,已知任意两边,可求第三边长 即c2= a2b2,a2= c2b2,b2= c2a2点击二:学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是:借助于图形的面积来验证,依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理如,利
2、用四个如图1所示的直角三角形三角形,拼出如图2所示的三个图形请读者证明abc(图1)(1)(2)(3)如上图示,在图(1)中,利用图1边长为a,b,c的四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形,则图2(1)中的小正方形的边长为(ba),面积为(ba)2,四个直角三角形的面积为4ab = 2ab 由图(1)可知,大正方形的面积 =四个直角三角形的面积小正方形的的面积,即c2 =(ba)22ab,则a2b2 = c2问题得证请同学们自己证明图(2)、(3)点击三:在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(
3、斜边)长的平方,注意一般其中一条线段的长是整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点点击四:直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性,除边与边、边与角、角与角的关系外,边与面积也有内的联系.设、为直角三角形的两条直角边,为斜边,为面积,于是有:,所以.即.也就是说,直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题,显得十分简便.点击五:熟练掌握勾股定理的各种表达形式如图2,在Rt中,0,A、B、C的对边分别为a、b、
4、c,则c2=a2+b2, a2=c2-b2 , b2=c2-a2,点击六:勾股定理的应用(1)已知直角三角形的两条边,求第三边;(2)已知直角三角形的一边,求另两条边的关系;(3)用于推导线段平方关系的问题等(4)用勾股定理,在数轴上作出表示、的点,即作出长为的线段类型之一:勾股定理例1:如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm,那么这个直角三角形的面积是 cm2解析:欲求直角三角形的面积,已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长,则求得另一直角边的长即可 根据勾股定理公式的变形,可求得AB图3解:由勾股定理,得13252=144,所以另一条直角边的长为12所以这个直角三角形的
5、面积是125 = 30(cm2)例2: 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为( )A B C3a D解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同但正方体的ABC图3各棱长相等,因此只有一种展开图解:将正方体侧面展开得,如图3由图知AC=2a,BC=a根据勾股定理得故选D 类型之二:在数轴上表示无理数例3:在数轴上作出表示的点解析:根据在数轴上表示无理数的方法,需先把视为直角三角形斜边的长,再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出解:以为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1,所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段,如图所示,然后即可确定斜边长,再
6、用圆规在数轴上作出长为的线段即可下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例5:阅读材料,第七届国际数学教育大会的会徽它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形,且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A8A9=1,请你先把图中其它8条线段的长计算出来,填在下面的表格中,然后再计算这8条线段的长的乘积OA1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8解:;这8条线段的长的乘积是例6:2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如
7、图所示)如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,那么的值为( )(A)13 (B)19 (C)25 (D)169解析:由勾股定理,结合题意得a2+b2=13 . 由题意,得 (b-a)2=1 .由,得 a2+b2-2ab =1 . 把代入,得 13-2ab=1 2ab=12. (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.因此,选C.说明:2002年8月20日28日,我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会,也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百
8、多年的低谷,进入了数学大国的行列,并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示:它取材于我国三国时期(公元3世纪)赵爽所著的勾股圆方图注. 类型之四:勾股定理的应用(一)求边长例1:已知:如图,在ABC中,ACB90,AB5cm,BC3cm,CDAB于D,求CD的长.(二)求面积例2:(1)观察图形思考并回答问题(图中每个小方格代表一个单位面积)观察图11.正方形A中含有_个小方格,即A的面积是_个单位面积;正方形B中含有_个小方格,即B的面积是_个单位面积;正方形C中含有_个小方格,即C的面积是_个单位面积.在图12中,正方形A,B,C中各含有多少个小方格?它们的面积各是多
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