初一数学分类讨论思想例题分析及练习.doc
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1、 分类讨论思想 在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。在数学学习中,我们不仅要分阶段学习知识,还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有:分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言,经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说:“分类讨论一旦出现,就是中高档次题”。今天,我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。1. 什么
2、样的题会出现分类讨论思想-往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定,无法进行下一步”(如几何中,画图的不确定;代数中,出现字母系数等)。2. 分类讨论需要注意什么-关键是“不重、不漏”,特别要注意分类标准的统一性。3. 分类讨论中最容易错的是什么-总是有双重易错点“讨论有重漏,讨论之后不检验是否合题意”。【例1】 解方程:|x-1|=2分析:绝对值为2 的数有2个解:x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1说明 应该说,绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底,一般考察绝对值的问题有三。1. 化简(如当a0b时,化简|a-1|+|b+1|+|a-b|)处理方法:根据绝
3、对值符号内的式子的正负性2. 类似于“解方程”(如本题)处理方法:注意解往往不只一个,需关注绝对值为正数的数有两个。3. 使用绝对值的几何意义解题(如已知|x-1|2,求x的取值范围)处理方法:画数轴,|x-1|b即a-b0 a=b即a-b=0 ab即a-b0时,2a0,即(1+a)-(1-a)0,即1+a1-a当a=0时,2a=0,即(1+a)-(1-a)=0,即1+a=1-a当a0时,2a0,即(1+a)-(1-a)0,即1+a0时,1+a1-a;当a=0时,1+a=1-a;当a0时,1+a1-a。【例3】 已知线段AB长度为6cm,点C在直线AB上,且AC=2cm,求BC的长度。分析:注
4、意点C的位置不能确定。在直线上,与一个定点的距离为定值的点有两个。处理方法:画一个示意图,往往能帮助理解。解:如示意图,有两种情况。如图1,点C在AB之间时,BC=AB-AC=6cm-2cm=4cm如图2,点C在BA的延长线上时,BC=AB+AC=6cm+2cm=8cm【例4】一张桌子有四个角,砍掉一只角后,还剩几个角?解:5个或4个或3个。【例5】已知ABC周长为20cm,AB=AC,其中一边边长是另一边边长的2倍,BC长多少?解:设AB=AC=x当AB=2BC时,BC=0.5x据题意,列x+x+0.5x=20,解得x=8cm,则BC=0.5x=4cm当BC=2AB时,BC=2x据题意,列x
5、+x+2x=20,解得x=5cm,则BC=2x=10cm检验:当AB=2BC时,三边长为8cm,8cm,4cm,可组成三角形;当BC=2AB时,三边长为5cm,5cm,10cm,不可组成三角形,舍。答:BC长为4cm。 【例6】 富城书店推出售书优惠方案:一次性购书不超过100元,不享受优惠;一次性购书超过100元,但不超过200元,一律打九折;一次性购书超过200元,一律打八折。如果小明一次性购书 付款162元,那么小明所购书的价格为多少。解:付款162元,由于162100,可确定享受了优惠。因不确定是打九折还是打八折,所以分类。200=180162,162元可能享受了九折优惠,162=18
6、0(元);200=160162,162元可能享受了八折优惠,162=202.5(元)答:小明所购书的价格为180元或202.5元。 【例7】 三人分糖,每人都得整数块,乙比丙多得13块,甲所得的糖果数是乙的2倍,已知糖果总数是一个小于50的质数,且它的各位数字之和为11,试求甲、乙、丙各分得几块糖?分析:1. 两个限制条件:整数、质数 2.一个常见说法:乙比丙多得13块,甲所得的糖果数是乙的2倍 3.一个常见不等式列法:糖果总数是小于50解:设丙获得了x块粮果,则乙的糖果数为(x+13)块,甲的糖果数为2(x+13),根据题意,可列不等式 2(x+13)+(x+13)+x50整理这个不等式,解
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