高数下册笔记精.doc
《高数下册笔记精.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高数下册笔记精.doc(7页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、第七章 微分方程1 微分方程得基本概念一、基本概念:1、微分方程;凡表示未知函数,未知函数得导数与自变量之间得关系式称为微分方程.2、常微分方程;如果微分方程中得未知函数就是一元函数,则称此类方程为常微分方程.3、偏微分方程; 如果微分方程中得未知函数就是多元函数,则称此类方程为偏微分方程.4、微分方程得阶;微分方程中所出现得未知函数得最高阶导数得阶数,就称为此微分方程得阶.5、微分方程得解;将某个已知函数代入到微分方程得左右两边可使其成为恒等式,那么就称此已知函数为此微分方程得解.6、微分方程得通解:如果微分方程得解中含有任意常数,并且任意常数得个数与微分方程得阶数相等,则这样得解就称为此微
2、分方程得通解.7、微分方程得初始条件与特解、8、微分方程得积分曲线: 微分方程得解得图象就是一条平面曲线,称此曲线为微分方程得积分曲线.二.例题分析P263.5.写出由下列条件所确定得曲线所满足得微分方程:例1.曲线在点处得切线得斜率等于该点横坐标得平方、解:设该曲线得方程为,则由题意得: 、这就就是所需确定得曲线应满足得微分方程.例2.曲线上点处得法线与轴得交点为,且线段被轴平分、解:设该曲线得方程为,且设曲线在点P处得法线记为L,则其斜率为;设法线与轴得交点为点,再设法线上任意一点得坐标为M,进而得法线得方程为:且即;则易求得:且.由题意知点为线段得中点知:且.由上述,两式最终可得:这就就
3、是所需确定得曲线应满足得微分方程.2.可分离变量得一阶微分方程(注:它就是一类最易求解得微分方程!)一.一阶微分方程得一般形式与一阶微分方程得对称形式:一般形式:对称形式:二.何为可分离变量得一阶微分方程?如果某一阶微分方程由对称式:,可等价地转化为得形式,则称原方程为可分离变量得微分方程.三.可分离变量得一阶微分方程得基本解法:(可由如下两步来完成求解过程)第一步:进行自变量,与因变量,得左右分离;第二步:方程两边同时作不定积分即可求得原方程得隐式通解.一阶齐次微分方程(注:它就是一类经变量代换之后,可转化为变量左右分离得一阶微分方程!)一.一阶齐次微分方程得定义:在某个一阶微分方程中,如果
4、方程右边得函数可写成得函数式即,也即原方程形如:,则称此微分方程为一阶齐次微分方程.二.一阶齐次微分方程得基本解法:转化求解法即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程;然后再按变量分离方程得解法去求解即可!具体地说,第一步,作变量代换令,则,代入原一阶齐次微分方程得:;第二步,进行变量与得左右分离得:;第三步,两边求不定积分即可得其解.三.例题分析参见271.例.又如.276.(4).求方程得通解.解:原方程可转化为,作变量代换令,则;则原方程转化为:(注意:齐次方程在进行变量代换之后,一定就是可以进行变量分离得!)紧接着就进行自变量与因变量得左右分离.最后两边作不定积分即可.一阶线性微分
5、方程一.一阶线性微分方程得定义:称形如:得方程为一阶线性微分方程.(注:因为方程得左边对未知函数及其导数来说就是一次线性组合得形式,所以称上述方程为线性方程!)(i)、当时,则称为一阶线性齐次微分方程.(ii)、当时,则称为一阶线性非齐次微分方程.二.一阶线性微分方程得解法(常数变易法就是求解线性非齐次方程得基本方法).所谓得常数变易法:就就是为了求解某一阶线性非齐次方程,可先去求解与其所对应得齐次方程;然后在所得齐次方程得通解中,将任意常数代换成一个待定得未知函数来构造生成非齐次方程得解;最后再将由此法构造生成得解,代回原非齐次方程中去确定那个待定函数得表达式.整个这样得求解过程就称为非齐次
6、方程得常数变易法.(可参考278.例).一阶线性微分方程:得通解公式如下:请牢记!三.伯努利方程(注:它就是一类经变量代换之后可转化为可分离变量得一阶微分方程!).伯努利方程得定义我们称形如:.()得方程为伯努利方程(或称级伯努利方程).伯努利方程得解法(变量代换转化法)只要令,则,将其代入原级伯努利方程()可得这就是一个一阶线性非齐次方程!进而可由一阶线性非齐次方程得通解公式求出其解,这样也就求出原伯努利方程()得解!.变量代换法在求解微分方程中得运用利用变量代换(包括自变量得变量代换与因变量得变量代换),把一个微分方程转化为可分离变量方程,或转化为一个已知其求解步骤得方程,这就是解微分方程
7、得常用方法.例.解方程.282.9.(1).解:可令,则原方程转化为两边积分就可得其解.例.282、9、(3)解方程解:可令两边关于自变量求导得代入原方程得:,两边积分就可得其解.可降阶得高阶微分方程(本节着重掌握三种容易降阶得高阶微分方程得解法)一.型微分方程这类高阶微分方程得解法很简单,只要两边积分次,就可得其通解.二.型微分方程首先此方程得类型就是二阶显微分方程,且此这类二阶显微分方程得特征就是不显含因变量.此类方程得解法:运用变量代换进行降阶求解.具体地,可令,则,进而原方程转化为:这就是一个一阶显微分方程.根据其具体形式,可按前几节所介绍得求解一阶方程得解法去求解.得其通解设为又,也
8、即有,最后只要两边再作一次积分,就可得原二阶显微分方程得解.三.型微分方程首先方程得类型也就是二阶显微分方程,且此这类二阶显微分方程得特征就是不显含自因变量.此类方程得解法:也就是运用变量代换进行降阶求解.具体地,可令,则,进而原方程转化为这也就是一个一阶显微分方程.根据其具体形式,可按前几节所介绍得求解一阶方程得解法去求解.设得其通解为又,也即有,最后只要两边再作一次积分,就可得原二阶显微分方程得解.四.例题分析292.1.(5)求解方程:解:第一步:判定此方程得类型就是二阶显微分方程且不显含因变量,即型.接着可令,则,进而原方程转化为:.这就是一阶线性非齐次方程.由一阶线性非齐次方程得通解
9、公式知:;进而知:,最后只要两边再作一次积得原方程得通解.五.微分方程得参数方程形式得隐式通解及其在有关问题中得运用所谓微分方程得参数方程形式得隐式通解就就是将微分方程得通解用参数方程形式来刻画.即将微分方程得自变量与因变量都表达成某个参数得函数式得形式.例如:292.1.(4)求解方程:.解:首先判定此方程得类型就是二阶显微分方程且不显变量与,它同属与型;所以解法相对由自.以下我们来介绍微分方程得参数方程形式得隐式通解给大家!先设,则.进而原方程转化为:.这就求得了自变量关于参数得函数式;以下再来求出因变量关于参数得函数式,进而就可得原方程得参数方程形式得隐式通解.由,所以;从而原方程得参数
10、方程形式得隐式通解为:.注:运用同样得方法,大家可以尝试一下去求解292.(8);(9);(10).高阶线性微分方程(主要得就是学习二阶线性微分方程得有关理论!)一.二阶线性微分方程得定义: 称形如:.()得方程为二阶线性微分方程.(注:方程得左边对未知函数及其导数这三者来说,就是一次线性组合形式!)(i)、当时,则称为二阶线性齐次微分方程.(ii)、当时,则称为二阶线性非齐次微分方程.二.二阶线性微分方程得解得结构.二阶线性齐次微分方程解得叠加原理定理:设与都就是二阶线性齐次微分方程得解,则此两解得任意线性组合也就是此二阶线性齐次微分方程得解.定理揭示了齐次方程得解所满足得一种性质.此性质常
11、称为齐次方程解得叠加原理.多个函数间得线性相关性与线性无关性得定义(参见教材296从略)特别地,两个函数与在区间上线性相关常数,.二阶线性齐次微分方程得通解得结构定理:设与就是二阶线性齐次微分方程得解,且与线性无关,则此两解得任意线性组合就就是原二阶线性齐次微分方程得通解.定理揭示了如何用齐次方程得两个线性无关得特解去构造生成齐次方程得通解! .二阶线性非齐次微分方程通解得结构定理:设就是二阶线性非齐次微分方程.()得一个特解,且就是对应得二阶线性齐次方程得通解,则就就是原二阶线性非齐次微分方程()得通解.定理揭示了如何用齐次方程得通解去构造非齐次方程得通解!即:非齐次通解齐次通解非齐次特解.
12、二阶线性非齐次微分方程解得叠加原理(297定理)定理:设有二阶线性非齐次微分方程,(其中.)而就是得特解,且就是得特解则就就是原二阶线性非齐次方程得一个特解.定理揭示了如何去求非齐次方程特解得一种方法.它通常又称为非齐次方程解得叠加原理!.定理:设与就是二阶线性非齐次微分方程.()得两个不相等得特解,则就是对应得二阶线性齐次方程得一个非零特解.此定理揭示了如何用二阶线性非齐次方程得二个特解去构造生成对应得齐次方程得特解!.例题分析326、.(4).已知就是某二阶线性非齐次微分方程得三个解,试求该方程得通解?分析与解答:设此二阶线性非齐次微分方程为.(),则由定理知:非齐次通解齐次通解非齐次特解
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 下册 笔记
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【w****g】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【w****g】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。