计算方法数值积分PPT.pptx
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1、计算方法数值积分若函数若函数f(x)在区间在区间a,b上连续且其原函数为上连续且其原函数为F(x),则可用牛顿则可用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式,来求定积分。来求定积分。(51)求定积分求定积分复习复习 函数关系由表格函数关系由表格或图形表示或图形表示,无法无法求出原函数。求出原函数。定积分计算可能定积分计算可能遭遇得三种情况遭遇得三种情况被积函数得原函被积函数得原函被积函数得原函被积函数得原函数不就是初等函数不就是初等函数不就是初等函数不就是初等函数数数数被积函数被积函数f(x)没有没有具体得解析表达式具体得解析表达式被积函数被积函数被积函数被积函数f(x)f(x)得原得原得原得原函数函数函
2、数函数F(x)F(x)不易找到不易找到不易找到不易找到第第第第5 5 5 5章章章章 数值积分数值积分数值积分数值积分从几何上瞧定积分从几何上瞧定积分定积分就是曲边梯形得面积图图5、1左矩形左矩形右矩形右矩形(52)(53)图图5、2梯形面梯形面积积图图5、3抛物求抛物求积积(54)(55)第第第第5 5 5 5章章章章 数值积分数值积分数值积分数值积分近似近似近似近似值值55、1 155、2 255、4 4牛顿牛顿 柯特斯柯特斯(NewtonCotes)(NewtonCotes)公式公式 复合求积公式复合求积公式龙贝格龙贝格(Romberg)(Romberg)积分方法积分方法5、1牛顿牛顿柯
3、特斯柯特斯(NewtonCotes)公式公式建建立立数数值值积积分分公公式式最最基基本本得得思思想想就就是是选选取取一一个个既既简简单单又又有足够精度得函数有足够精度得函数(x),用用(x)代替被积函数代替被积函数f(x),于就是有于就是有现用第四章介用第四章介绍得插得插值多多项式式Pn(x)来代替被来代替被积函数函数f(x),即有即有将积分区间将积分区间a,bn等分等分,则节点就是等距分布得则节点就是等距分布得,节点节点x0,x1,x2,xn可表示成可表示成xk=x0+kh(k=0,1,n),其中其中x0=a,xn=b,称为步长。称为步长。Newton-Cotes公式公式若Ln(x)为Lag
4、range插值多项式,则由公式于就是令 (5、5)公式(5、6)称为等距节点内插求积公式。则有 (5、6)求求Ak在等距节点前提下,做变换,由,可得而x-xj=(t-j)h (j=0,1,2,n),xk-xj=(k-j)h (j,k=0,1,2,n且jk)。于就是(5、5)式即为记则 (5、9)称为牛顿-柯特斯公式。其中Ck(n)叫Cotes系数,Cotes系数与被积函数及积分区间无关。计算柯特斯系数计算柯特斯系数 n=1时,有两个Cotes系数 n=2时,有三个Cotes系数 类似可得,n=3时有四个Cotes系数 n=4时,有五个Cotes系数12大家应该也有点累了,稍作休息大家有疑问的,
5、可以询问和交流大家有疑问的,可以询问和交流大家有疑问的,可以询问和交流大家有疑问的,可以询问和交流几个常用得牛顿几个常用得牛顿-柯特斯公式柯特斯公式 n=1时,此即(5、3)式,为梯形公式。,其中,称为Simpson公式。其中 c,d,e为a,b得四等分点,称为Cotes公式。n=2时,n=4时,表 51 柯特斯系数柯特斯系数柯特斯系数C(n)i仅与仅与n与与i有关有关,与被积函数与被积函数f(x)无关无关,且满足且满足(515)柯特斯公式对柯特斯公式对f(x)=1就是准确成立得。就是准确成立得。柯特斯系数得特点柯特斯系数得特点例例1试分别用梯形公式与辛普森公式计算积分试分别用梯形公式与辛普森
6、公式计算积分解解:利用梯形公式利用梯形公式利用抛物线公式利用抛物线公式原积分得准确值原积分得准确值5、1、2误差估计误差估计现现对对牛牛顿顿柯柯特特斯斯求求积积公公式式所所产产生生得得误误差差作作一一个个分析。牛顿分析。牛顿柯特斯求积公式得余项为柯特斯求积公式得余项为易易知知,牛牛顿顿柯柯特特斯斯求求积积公公式式对对任任何何不不高高于于n次次得得多多项式就是准确成立得。这就是因为项式就是准确成立得。这就是因为f(n+1)()0故故Rn(f)0(510)代数精度代数精度一一般般说说来来,若若某某个个求求积积公公式式对对于于次次数数不不高高于于m得得多多项项式式都都准准确确成成立立(即即Rn(f)
7、0),而而对对于于某某一一次次数数为为m+1得得多多项项式式并并不不准准确确成成立立(即即Rn(f)0),则则称称这这一一求求积积公公式式得得代代数数精精度为度为m。牛顿牛顿柯特斯求积公式得代数精度至少为柯特斯求积公式得代数精度至少为n,若若n为偶为偶数数,则至少具有则至少具有n+1次代数精度。通常在基点个数相等得次代数精度。通常在基点个数相等得情况下情况下,代数精度愈高代数精度愈高,求积公式愈精确。求积公式愈精确。梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别具有梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别具有1、3、5次代数精度。次代数精度。例例5、1分别利用梯形公式、分别利用梯形公式、Simpson公式、
8、公式、Cotes公式计公式计算算,n=1,2,3,4,5,并与用牛顿并与用牛顿-莱布尼兹公式计算莱布尼兹公式计算得结果进行比较。得结果进行比较。解解计算结果列于表计算结果列于表5-2中。中。表表5-2函数函数f(x)xx2x3x4x5梯形值梯形值0、50、50、50、50、5Simpson值值0、50、3333330、250、2083330、1875Cotes值值0、50、3333330、250、200、166667准确值准确值0、50、3333330、250、200、166667定定理理2(抛抛物物线线公公式式得得误误差差)设设f(x)在在a,b上上有有连连续得四阶导数续得四阶导数,则抛物线
9、公式得误差为则抛物线公式得误差为定定理理1(梯梯形形公公式式得得误误差差)设设f(x)在在区区间间a,b上上具具有连续得二阶导数有连续得二阶导数,则梯形求积公式得误差为则梯形求积公式得误差为 如果在每个子区间上使用梯形公式如果在每个子区间上使用梯形公式,就得到复合梯形就得到复合梯形公式。将积分区间公式。将积分区间 a a,b b N N等分后得节点记为等分后得节点记为x xk k,x xk k=a a+khkh(k k=0,1,2,=0,1,2,N N),在每个子区间在每个子区间 x xk k,x xk k+1+1 (k k=0,1,2,=0,1,2,N N-1)-1)上应用梯形公式上应用梯形
10、公式,1 1、复合梯形公式复合梯形公式5、2复合求积复合求积公式公式再求与得再求与得:1 1、复合梯形公式复合梯形公式其中xk=a+kh(k=0,1,2,N),1 1、复合梯形公式复合梯形公式2 2、复合复合Simpson公式公式 如果在每个子区间上使用Simpson公式,就得到复合Simpson公式。将N等分后的每个子区间再对分一次,于是共有2N+1个节点,(k=0,1,2,2N),在每个N等分的子区间x2k,x2k+2(k=0,1,2,N-1)上应用Simpson公式,再求与得:2 2、复合复合Simpson公式公式其中 (k=0,1,2,2N),2 2、复合复合Simpson公式公式其中
11、 (k=0,1,2,4N),3 3、复合复合Cotes公式公式4 4、复合、复合Simpson公式算法公式算法(1)输入a,b,N(2)(3)当 i=1,2,N时 做循环 x=x+h s=s+4f(x)x=x+h s=s+2f(x)(4)例例 5、2:利用数据表利用数据表 xk01/81/43/81/25/83/47/81f(xk)43.938463.764703.506853.200002.876402.460002.265492计算积分计算积分这个问题有明显得答案这个问题有明显得答案取取n=8用复合梯形公式用复合梯形公式取取n=4,用辛普森公式用辛普森公式二、复合求积公式得余项二、复合求积
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