求二元函数极限的几种方法.doc
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1、1.二元函数极限概念分析定义1 设函数在上有定义,是的聚点,是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数,总存在某正数,使得时,都有 ,则称在上当时,以为极限,记.上述极限又称为二重极限.2二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数在点处连续,则. 例1 求 在点的极限. 解: 因为在点处连续,所以 例2 求极限 解: 因函数在点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即=2.2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等.例3 求 解: 例4 解: 原式 2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小,有 ; ;
2、;同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例5 求 解: 当 ,时,有.,所以 这个例子也可以用恒等变形法计算,如: 2.4 利用两个重要极限, 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.例6 求极限 . 解: 先把已知极限化为,而 当 时,所以 故原式= 例7 求 极限.解: 因为 ,当时,所以 ,再利用极限四则运算可得:1=.这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如:当 ,时, ,.所以, 2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论 例8 求 解: 因为 是无穷小量, 是有界量 ,故可知 , 例9 求 解 原式=因为 是有界量,又 是无穷小量,所以 , .虽然这个方法计
3、算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。定理:函数点的取心领域内有定义的且、沿向量的方向余弦,若二元函数的极限,则若的值与、无关,则;若的值与、有关,则不存在; 例10 求 解 因 时, ,令 ,显然满足定理的条件,则,所以 , . 例11 求极限 解:令 又显然满足定理的条件,则2.7 利用夹逼准则二元函数的夹逼准则:设在点的领域内有,且 (常数),则 . 但要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩例12
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