b9分析06平方逼近.pptx
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1、W Y第六章 函数逼近6-1第六章目录第六章目录1最小二乘法原理和多项式拟合最小二乘法原理和多项式拟合2一般最小二乘拟合一般最小二乘拟合2.1线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式2.2非线性最小二乘拟合非线性最小二乘拟合3正交多项式曲线拟合正交多项式曲线拟合3.1离散正交多项式离散正交多项式3.2用离散正交多项式作曲线拟合用离散正交多项式作曲线拟合4函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近5最佳一致逼近最佳一致逼近第第第第1 1页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-24函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近前面对离散数据,我们利用最前面对离散数据,我们利用最小二乘法
2、求拟合函数(多项式),小二乘法求拟合函数(多项式),本节对一些连续函数,当其表达式本节对一些连续函数,当其表达式较复杂不易于计算和研究时,我们较复杂不易于计算和研究时,我们利用最小二乘法,求这些连续函数利用最小二乘法,求这些连续函数的近似函数(较简单的函数),称的近似函数(较简单的函数),称为为函数函数f(x)在在a,b上的最佳平方逼上的最佳平方逼函数函数(x)。第第第第2 2页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-34.1基本方法基本方法设设f(x)在在a,b上连续,上连续,i(x)(i=0,1,2,m)在在a,b上线性无关,上线性无关,H=Span 0,1,m为为 k(
3、x)的集合,求的集合,求(x)使:使:定义定义6.2连续情况下的连续情况下的内积内积定义为:定义为:(x x)为权函数)为权函数)为权函数)为权函数)第第第第3 3页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-4基本方法(续)基本方法(续)要求出满足(要求出满足(6-10)的)的(x),与离散情况完全,与离散情况完全类似,即要求类似,即要求 k(x)满足正规方程组(满足正规方程组(6-5),当),当 k(x)线性无关线性无关可求出唯一解可求出唯一解是是H中关于权函数中关于权函数(x)的唯一的最佳平方逼近多项式。的唯一的最佳平方逼近多项式。若若 k(x)=xk(k=0,1,2,m)
4、,此时,此时H为为 k(x)所所有线性组合生成的多项式集合,则有线性组合生成的多项式集合,则(x)称为关于称为关于(x)的的m次最佳平方逼近多项式或最小二乘逼近多次最佳平方逼近多项式或最小二乘逼近多项式。关于权函数项式。关于权函数(x)一般应给定,若没有特别一般应给定,若没有特别标明则标明则(x)1。第第第第4 4页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-5最佳平方逼近多项式最佳平方逼近多项式举例举例例例例例7 7求求求求f f(x x)=cos)=cos x x在在在在0,10,1上的一次最佳平方逼近多项式上的一次最佳平方逼近多项式上的一次最佳平方逼近多项式上的一次最佳平方
5、逼近多项式 问题问题问题问题:如何求二:如何求二:如何求二:如何求二次、三次最佳平次、三次最佳平次、三次最佳平次、三次最佳平方逼近多项式,方逼近多项式,方逼近多项式,方逼近多项式,可:可:可:可:(1 1)如上,如上,如上,如上,H H=1,=1,x x,x x2 2 即取即取即取即取 2 2(x x)=)=x x2 2(2 2)或如后面例,按三项推式构造正交多项式或如后面例,按三项推式构造正交多项式或如后面例,按三项推式构造正交多项式或如后面例,按三项推式构造正交多项式第第第第5 5页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-64.24.2利用正交多项式求最佳平方逼近多项式利
6、用正交多项式求最佳平方逼近多项式利用正交多项式求最佳平方逼近多项式利用正交多项式求最佳平方逼近多项式 从上节知道从上节知道从上节知道从上节知道 利用正交函数系可以简化最小二乘法的求利用正交函数系可以简化最小二乘法的求利用正交函数系可以简化最小二乘法的求利用正交函数系可以简化最小二乘法的求解,并提高解的精度,而正交多项式系,由于其计算简便解,并提高解的精度,而正交多项式系,由于其计算简便解,并提高解的精度,而正交多项式系,由于其计算简便解,并提高解的精度,而正交多项式系,由于其计算简便,是函数逼近的重要工具,后面一致逼近,积分也要用到,是函数逼近的重要工具,后面一致逼近,积分也要用到,是函数逼近
7、的重要工具,后面一致逼近,积分也要用到,是函数逼近的重要工具,后面一致逼近,积分也要用到正交多项式。正交多项式。正交多项式。正交多项式。定义定义定义定义6.36.3如果函数系如果函数系如果函数系如果函数系 0 0(x x),),1 1(x x),),mm(x x),),满足满足满足满足:则称此函数为区间则称此函数为区间则称此函数为区间则称此函数为区间 a a,b b 上关于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)的正的正的正的正交函数系。特别地,若交函数系。特别地,若交函数系。特别地,若交函数系。特别地,若A Ak k=1(k=0,1,2,)=1(k=0,1,2,),则称其为,则
8、称其为,则称其为,则称其为标准正交函数系,当标准正交函数系,当标准正交函数系,当标准正交函数系,当 k k(x x)为多项式时,称为为多项式时,称为为多项式时,称为为多项式时,称为正交多正交多正交多正交多项式。项式。项式。项式。第第第第6 6页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-7正交多项式举例正交多项式举例第第第第7 7页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-8正交函数系性质正交函数系性质 正交函数系具有以下性质:正交函数系具有以下性质:正交函数系具有以下性质:正交函数系具有以下性质:定理定理定理定理6.36.3 定理定理定理定理6.46.4 设设设
9、设 k k(x x)(k=0,1,2,)(k=0,1,2,)是最高次项系数不为零的是最高次项系数不为零的是最高次项系数不为零的是最高次项系数不为零的k k次多项式,则次多项式,则次多项式,则次多项式,则 k k(x x)是是是是 a a,b b 上关于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)的正交多的正交多的正交多的正交多项式系的充要条件是对任意至多项式系的充要条件是对任意至多项式系的充要条件是对任意至多项式系的充要条件是对任意至多k k1 1次的多项式次的多项式次的多项式次的多项式Q Qk k1 1(x x),均有:,均有:,均有:,均有:区间区间区间区间 a a,b b 上关
10、于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)的正交函数系的正交函数系的正交函数系的正交函数系 0 0,1 1,n n是线性无关的。是线性无关的。是线性无关的。是线性无关的。第第第第8 8页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-9定理定理6.4的证明的证明第第第第9 9页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-10定理定理6.5证明类似于定理证明类似于定理证明类似于定理证明类似于定理6.26.2,略。,略。,略。,略。构造正交多项式的一般方法由以下定理给出:构造正交多项式的一般方法由以下定理给出:构造正交多项式的一般方法由以下定理给出:构造正交多
11、项式的一般方法由以下定理给出:定定定定理理理理6 6.5 5第第第第1010页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-11几种常用的正交多项式几种常用的正交多项式 下面介绍几种常用的正交多项式下面介绍几种常用的正交多项式下面介绍几种常用的正交多项式下面介绍几种常用的正交多项式:(一)勒让德(一)勒让德(一)勒让德(一)勒让德(LegendreLegendre)多项式)多项式)多项式)多项式 LegendreLegendre多项式的一般表示式为多项式的一般表示式为多项式的一般表示式为多项式的一般表示式为:具体表达具体表达具体表达具体表达式为式为式为式为:第第第第1111页页页页
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