第四章协方差分析.pptx
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1、 方方差差分分析析中中,所所接接触触到到的的各各种种处处理理多多数数都都是是人人为为控控制制的的。有有时时一一些些变变量量很很难难或或者者不不可可能能人人为为控控制制,对对于于这这种种情情况况则则不不能能用用第第三三章章所所述述的的方方差差分分析析方方法法,推推断断处处理理之之间间的的差差异异而而应应用用协方差分析的方法做推断。协方差分析的方法做推断。例如,在研究不同饲养条件下,动物的增例如,在研究不同饲养条件下,动物的增重情况时,由于动物的原体重不同,如果只考重情况时,由于动物的原体重不同,如果只考虑饲料对增重的作用而不考虑原体重时增重的虑饲料对增重的作用而不考虑原体重时增重的影响,显然是不
2、全面的。动物的增重不仅与饲影响,显然是不全面的。动物的增重不仅与饲料有关,而且还与原体重有关。一般来讲,原料有关,而且还与原体重有关。一般来讲,原体重高的增童较多,原体重低的增重较少,增体重高的增童较多,原体重低的增重较少,增重与原体重之间有回归关系,为了得到正确的重与原体重之间有回归关系,为了得到正确的结论,就要在排除原体重对增重的影响之后,结论,就要在排除原体重对增重的影响之后,推断处理的效应。这就是本章所要讨论的协方推断处理的效应。这就是本章所要讨论的协方差分析。差分析。在协方差分析中,通常将动物增重称为反应变在协方差分析中,通常将动物增重称为反应变量量(response variabl
3、e)Y,而与而与Y 有线性回归关系有线性回归关系的另一变量的另一变量(原始体重原始体重)称为称为伴随变量伴随变量(concomitant variable)或或协变量协变量(covariate)X。协方差分析就协方差分析就是通过反应变量与协变量之间的线性关系,调整观是通过反应变量与协变量之间的线性关系,调整观察的反应变量。假若不做这种调整,由于协变量的察的反应变量。假若不做这种调整,由于协变量的存在会使误差平方和加大,其结果有可能检验不出存在会使误差平方和加大,其结果有可能检验不出反应变量在不同处理之间所存在的真正差异。因此,反应变量在不同处理之间所存在的真正差异。因此,协方差分析协方差分析是
4、一种调整无法控制又影响效应的变量是一种调整无法控制又影响效应的变量的方差分析方法,是方差分析与回归分析的结合。的方差分析方法,是方差分析与回归分析的结合。在上述动物重实验中,很难将全部实验动物都选为在上述动物重实验中,很难将全部实验动物都选为具有相同体重的个体,动物的原体重是无法控制的具有相同体重的个体,动物的原体重是无法控制的变量,而原体重对增重又有明显的影响,使用协方变量,而原体重对增重又有明显的影响,使用协方差分析,便可排除原体重差分析,便可排除原体重X对增重对增重Y的影响,使结果的影响,使结果更为可靠更为可靠。第第一一节节 具具一一个个协协变变量量的的一一种种方方式式分分组组的的协协方
5、方 差差 分分 析析(one-way classification with a single covariate)本本节节讨讨论论协协方方差差分分析析中中最最简简单单的的一一种种情情况况,即即以以只只有有一一个个协协变变量量的的单单因因素素实实验验设设计计的的协协方方差差分分析析为为例例,说说明明协协方方差差分分析析的的基基本本原原理理和和计计算方法。算方法。单因素协方差分析的统计模型单因素协方差分析的统计模型是:是:其其中中yij是是第第i 次次处处理理所所得得到到的的反反应应变变量量的的第第j 次次观观察察值值。c cij是是相相当当于于yij的的协协变变量量值值。c c是是c cij的
6、的平平均均数数,m m是是总总平平均均数数,a ai是是第第i次次处处理理效效应应,b b是是yij在在c cij上上的的线线性性回回归归系系数数,e eij是是随随机机误误差差成成份份。做做协协方方差差分分析析,需需要要满满足足以以下下几几个个条条件件:e eij是是服服从从正正态态分分布布的的独独立立随随机机变变量量;b b0,即即yij与与c cij之之间间存存在在线线性性关关系系;各各处处理理的的回回归归系系数数都都相相同同;处处理理效效应应之之和和等等于于零零(a ai0)以以及及协协变变量量不不受处理效应的影响等。受处理效应的影响等。从(从(41)式中可以看出:协方差分析的模)式中
7、可以看出:协方差分析的模型是方差分析和回归分析线性模型的结合。型是方差分析和回归分析线性模型的结合。a ai是是单因素方差分析中的处理效应,单因素方差分析中的处理效应,b b是回归分析中是回归分析中的回归系数。在(的回归系数。在(41)式中的协变量是以()式中的协变量是以(c cijc c)的形式而不是以的形式而不是以c cij 的形式表示的,因此的形式表示的,因此参量参量m m是总的平均值。统计模型的另一种形式是:是总的平均值。统计模型的另一种形式是:其中其中m m并不等于总平均值。在这个模型中,总平并不等于总平均值。在这个模型中,总平均值为均值为m mb b c c。经常使用的模型是(经常
8、使用的模型是(41)式。)式。协方差分析需要计算以下一些量:协方差分析需要计算以下一些量:以上各式的符号:以上各式的符号:S、T 和和E 分别表示总的、处理的分别表示总的、处理的误差的平方和及交叉乘积和。它们之间的关系可用通误差的平方和及交叉乘积和。它们之间的关系可用通式式STE表示。仔细阅读并分析以上各式,弄清楚表示。仔细阅读并分析以上各式,弄清楚各式的意义,对下面的学习是有益的。各式的意义,对下面的学习是有益的。协方差分析的核心协方差分析的核心,就是通过协变量调整反,就是通过协变量调整反应变量。下面讨论如何做这种调整。在统计模型应变量。下面讨论如何做这种调整。在统计模型(41)中,)中,m
9、 m的估计值为的估计值为c c,b b的估计值为的估计值为b*,处理效应处理效应a ai 的估计值为的估计值为c cic cb*(c cic c)。)。其中,其中,在这个模型中,误差平方和在这个模型中,误差平方和SSe为:为:具具a(n1)1自由度。自由度。实验误差均方由下式估计,实验误差均方由下式估计,若实验不存在处理效应,模型(若实验不存在处理效应,模型(41)将变为:)将变为:具具an2自由度,其中自由度,其中S2XYSXX是由于是由于Y和和X的的回归所产生的平方和。回归所产生的平方和。如如果果实实验验本本身身存存在在处处理理效效应应,但但却却按按不不存存在在处处理理效效应应对对待待,这
10、这时时所所计计算算出出来来的的误误差差平平方方和和SSe要要大大于于按按存存在在处处理理效效应应计计算算所所得得到到的的误误差差平平方方和和SSe。两两者者的的差差(SSeSSe)是是由由于于处处理理效效应应a ai 所所产产生生的的平平方方回回归归系系数数,具具a1自自由由度度。可用可用F 检验不存在处理效应的假设。检验不存在处理效应的假设。若若FFa1,a(n1),a a,则接受则接受H0:a ai0;若若FFa1,a(n1),a a,则拒绝则拒绝H0:a ai0。将以上结果列在表将以上结果列在表41中。中。表表41协方差分析调整的方差分析协方差分析调整的方差分析变差来源变差来源平方平方和
11、和自自由由度度均均方方F回归回归处理处理误差误差S2XYSXXSSeSSe(SYYS2XYSXX)(EYYE2XYEXX)SSeEYYE2XYEXX1aa(n1)1(SSeSSe)(a1)MSeSSea(n1)1(SSeSSe)(a-1)MSe总和总和SYYan1表表41与方差分析表基本上是一致的。所与方差分析表基本上是一致的。所不同的是没一项平方和都是经过调整的。因此,不同的是没一项平方和都是经过调整的。因此,协方差分析又称为调整的方差分析协方差分析又称为调整的方差分析。在变差来。在变差来源一列中,总的变差是由具源一列中,总的变差是由具an1自由度的自由度的SYY度量的;回归的变差由具度量的
12、;回归的变差由具1自由度的平方和自由度的平方和S2XYSXX度量。假若不存在协变量,则度量。假若不存在协变量,则SXYSXXEXYEXX0。误差平方和将简化为误差平方和将简化为EYY,处理处理平方和为平方和为SYYEYYTYY,成为一种方式分组的成为一种方式分组的方差分析。然而由于存在协变量,我们必须通方差分析。然而由于存在协变量,我们必须通过过Y在在X上的回归,调整上的回归,调整SYY和和EYY(见表见表41)。)。因为在调整平方和时,用了另一个参量因为在调整平方和时,用了另一个参量b,所以所以调整的误差平方和具调整的误差平方和具a(n1)1自由度,而不是自由度,而不是a(n1)自由度。自由
13、度。通常将协方差分析结果纳成协方差分析表。通常将协方差分析结果纳成协方差分析表。表表42具一个协变量的一种方式分组实验的协方差分析表具一个协变量的一种方式分组实验的协方差分析表变差变差来源来源自由度自由度平方和与平方和与交叉乘积和交叉乘积和因因回回归归所所做做的的调调整整XXYYY自由度自由度均均方方处理处理误差误差总和总和a1a(n1)an1TXXEXXSXXTXYEXYSXYTYYEYYSYYSSeEYYE2XYEXXSSeSYYS2XYSXXa(n1)1an2MSeSSea(n1)1调整调整的处的处理响理响SSeSSea1(SSeSSe)(a1)在协方差分析表中,除列入检验假设所需在协方
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