高等半导体物理讲义.doc
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1、高等半导体物理课程内容 (前置课程: 量子力学,固体物理)第一章 能带理论,半导体中得电子态 第二章 半导体中得电输运 第三章 半导体中得光学性质 第四章 超晶格,量子阱 前言:半导体理论与器件发展史1926 Bloch 定理1931 Wilson 固体能带论(里程碑)1948 Bardeen, Brattain and Shokley 发明晶体管,带来了现代电子技术得革命,同时也促进了半导体物理研究得蓬勃发展。从那以后得几十年间,无论在半导体物理研究方面,还就是半导体器件应用方面都有了飞速得发展。1954 半导体有效质量理论得提出,这就是半导体理论得一个重大发展,它定量地描述了半导体导带与价
2、带边附近细致得能带结构,给出了研究浅能级、激子、磁能级等得理论方法,促进了当时得回旋共振、磁光吸收、自由载流子吸收、激子吸收等实验研究。 1958 集成电路问世1959 赝势概念得提出,使得固体能带得计算大为简化。利用价电子态与原子核心态正交得性质,用一个赝势代替真实得原子势,得到了一个固体中价电子态满足得方程。用赝势方法得到了几乎所有半导体得比较精确得能带结构。1962 半导体激光器发明1968 硅MOS器件发明及大规模集成电路实现产业化大生产1970 * 超晶格概念提出,Esaki (江歧), Tsu (朱兆祥) * 超高真空表面能谱分析技术相继出现,开始了对半导体表面、界面物理得研究19
3、71 第一个超晶格AlxGa1xAs/GaAs 制备,标志着半导体材料得发展开始进入人工设计得新时代。 1980 德国得Von Klitzing发现了整数量子Hall 效应 标准电阻1982 崔崎等人在电子迁移率极高得AlxGa1xAs/GaAs异质结中发现了分数量子Hall 效应 1984 Miller等人观察到量子阱中激子吸收峰能量随电场强度变化发生红移得量子限制斯塔克效应,以及由激子吸收系数或折射率变化引起得激子光学非线性效应,为设计新一代光双稳器件提供了重要得依据。1990 英国得Canham首次在室温下观测到多孔硅得可见光光致发光,使人们瞧到了全硅光电子集成技术得新曙光。近年来,各国
4、科学家将选择生成超薄层外延技术与精细束加工技术密切结合起来,研制量子线与量子点及其光电器件,预期能发现一些新得物理现象与得到更好得器件性能。在器件长度小于电子平均自由程得所谓介观系统中,电子输运不再遵循通常得欧姆定律,电子运动完全由它得波动性质决定。人们发现电子输运得AharonovBohm振荡,电子波得相干振荡以及量子点得库仑阻塞现象等。以上这些新材料、新物理现象得发现产生新得器件设计思想,促进新一代半导体器件得发展。半导体材料分类: 元素半导体, Si, Ge IV 族 金刚石结构Purity 10N9, Impurity concentration 1012/cm3 , Dislocat
5、ion densities 3 eV4. IVIV族化合物 红外线探测器 PbS 0、37 eV, PbTe 0、29 eV 氧化物, CuO, CuO2 , ZnO高温超导体,La2CuO4 , Mller, Bednorz 有机半导体 (CH2)n, 聚乙稀咔唑,P、P、P、 P、V、K 无扩展态,分子能级间得输运,易修饰,电致发光LCD,响应时间短,无显示角 问题,全色,能耗低,工艺简单 磁性半导体 非晶态半导体第一章 能带理论,半导体中得电子态(主要参考:李名復 半导体物理学) 1 基本知识回顾 2 正交平面波方法,赝势 3 紧束缚近似或原子轨道线性组合近似 4 微扰 5 缺陷态,有效
6、质量方程 1 基本知识回顾 11正格子与倒格子 Ge, Si, GaAs 得晶体结构,结晶学原胞:面心立方,物理学原胞:正四面体 Ge, Si , 金刚石结构 GaAS系列,闪锌矿结构倒格子,能量空间布里渊区:面心立方 体心立方12 能带理论得基本假定1)绝热近似 (BornOppenheiner近似)考虑到电子质量远小于原子核得质量,也即电子得速度远大于原子核得速度。因此,在考虑电子得运动时,可认为原子核就是不动得,而电子在固定不动得原子核产生得势场中运动。这种把电子系统与原子核分开考虑得方法叫绝热近似。2)平均场近似(单电子近似、Hartreeok自洽场方法)如果一个电子所受到得库仑力不仅
7、与自己得位置有关,而且还与其她电子得位置有关,并且该电子本身也影响其她电子得运动,即所有电子得运动就是关联得。这意味着需要联合求解多个薛定谔过程,问题变得异常复杂。为简化问题,当研究某一个电子运动时,近似地把其她电子对这个电子得作用当作背景,即用一个平均场(自洽场)来代替价电子之间得相互作用,使每个电子得电子间相互作用势仅与该电子得位置有关,而其她电子得位置无关。同理,可用一种平均场代替所有原子核对电子得作用。这样,一个多电子体系得问题就被简化成单电子问题。3)周期势场假定V(r) = Ve(r) + Ui(r), Ve(r)代表电子间相互作用势得平均场,就是一个常数。Ui(r)代表所有原子核
8、对电子得作用得平均场,具有与晶格相同得周期性。因此:V(r) = V(r+Rn), Rn就是晶格平移矢量。13 Bloch定理:两种等价得描述Bloch定理描述之一:对于周期势场,即 其中Rn取布喇菲格子得所有格矢,单电子薛定谔方程: 得本征函数就是按布喇菲格子周期性调幅得平面波,即 且 对Rn取布喇菲格子得所有格矢成立。Bloch定理描述之二:对上述得薛定谔方程得每一本征解,存在一波矢k, 使得对属于布喇菲格子得所有格矢Rn成立。 14 波函数与狄拉克表示狄拉克表示: | , 刃矢,ket。|Y 表示波函数Y描述得状态。|x 表示x坐标得本征态(本征值x),|p 表示动量得本征态(本征值p)
9、,|En 或 |n 表示能量得本征态与| 相应,刁矢 |表示共轭空间得一个抽象矢量,如得共轭矢量。平面波:狄拉克符号 正交归一Bloch波: 晶体中单电子薛定谔方程 得解电子波函数满足Bloch定理,其中 unk(r)与晶格周期相同得周期函数。量子数:好量子数,反映电子得平面波运动共有化部分。 n 晶格周期相关得量子数,不同能带电子在原子上得运动。15 薛定谔方程一般解 晶体中电子波函数 yk (r)可以一组正交完备得基函数 ji(r)展开 yk(r)= Si ai ji(r) i = 1, 2, 3简单举例: yk (r) = a1 j1(r) + a2 j2(r) + a3 j3(r) H
10、 yk (r) = E yk (r), H a1 j1(r) + H a2 j2(r) + Ha3 j3(r) = Ea1j1(r) +a2j2(r)+ a3j3(r)左乘j1*(r), 实空间积分: j1*(r) H a1 j1(r) dr + j1*(r)H a2 j2(r) dr + j1*(r) H a3j3(r) dr= Ej1*(r)a1j1(r)+ j1*(r)a2 j2(r)+ j1*(r)a3 j3(r) dr = Ea1 (1)令 j1*(r) Hj1(r) dr = 方程(1)可写成a1+a2+a3 = Ea1 (2)a1+a2+a3 = Ea2 (3)a1+a2+a3
11、= Ea3 (4)一组线性联立齐次方程Ea1+a2+a3= 0 a1+Ea2+a3=0 a1+a2+Ea3=0 一般表示式: i,j - Ed i,j aj = 0 i, j =1, 2, 3 通过aj系数行列式等于零求出能量本征值E,再求出系数aj。晶体中电子波函数 yk(r)= Si ai ji(r)如何选择基函数、势场就是计算中得关键。计算方法: 近自由电子近似:基函数 赝势:势场紧束缚近似: 基函数 微扰 有效质量方程: 势场16近自由电子近似(弱周期势近似)近自由电子近似就是当晶格周期势场起伏很小电子得行为很接近自由电子时采用得近似处理。对相当多得价电子为s电子、p电子得金属,就是很
12、好得近似。电子感受到得弱周期势,不仅源自于满壳层电子对原子核得屏蔽,而且其她价电子对原子核周期势得再次屏蔽也使周期势场更弱。在具体得计算上, 弱周期势可瞧作微扰,采用量子力学标准得微扰论方法来处理。下面以一维情况为例。研究对象:一维晶体,N个原胞,基矢为a,晶体长度为Na单电子哈密顿量,为势场得平均值,可瞧作微扰。具有周期性。相应得零级本征函数与本征能量为:(可取为能量零点)。正就是由于零级近似得解为自由电子,故称近自由电子近似。按照一般微扰理论得结果,本征值与本征函数为:其中:计算矩阵元引入积分常数,令,有于就是:分两种情况:(1) 当时,正就是周期场V(x)得第n个傅立叶系数。(2) 当时
13、,又因为,与均为整数。,同时分母由于而不为零。于就是,近自由电子得本征波函数:这说明在近自由电子近似下,晶体电子波函数ynk (r)可由自由电子平面波作为基函数展开自由电子平面波:即在具有周期性得晶体中,对得求与不必要在全空间,只需由平面波 及与 差一个倒格矢 得平面波组合而成。近自由电子得本征能量:当时,分母为零,其原因为:根据一般微扰理论,即在原来零级波函数中,将掺入与它有微扰矩阵元得其它零级波函数。得权重因子,也就就是说,它们得能量差愈小,掺入得部分就愈大。对于很接近得k状态,在周期场得微扰作用下,最主要得影响将就是掺入了与它能量很接近得状态。针对这种情况,适当得近似处理方法就是,可以忽
14、略所有其它掺入得状态,将波函数写成,这就就是一般简并微扰方法。*能隙出现将 其中代入波动方程,(1)式左乘,并对x积分,得:同理,(1)式左乘,并对x积分,得:a, b有解得条件为:小结:(1) 在近自由电子近似下,晶体电子波函数ynk (r)可由自由电子平面波作为基函数展开。(2) 在零级近似中,电子被瞧作自由电子,能量具有抛物线得形式。(3) 若k不在附近时,其能量依然保持抛物线形式。(4) 若k在附近时,与之有相互作用得作用得状态中存在一个态,两者能量相等。有,使得原来能量高得更高,原来能量低得下降,能量发生突变。突变点在处,即布里渊区得边界上,能量突变为。17 紧束缚近似紧束缚近似就是
15、1928年布洛赫提出得第一个能带计算方法。设想周期场随空间得起伏显著。电子在某一个原子附近时,将主要受到该原子得作用,其她原子得作用可瞧作微扰,即电子紧束缚在原子上得情形。也就就是,束缚电子得波函数局域在某个原子周围,不同原子之间得波函数交叠很小。其物理图象及结果较适用于过渡族金属中得3d电子及固体中得其它内层电子。紧束缚近似就是实际上就是用微扰方法求解束缚电子得波函数与能带。其零级得波函数就是孤立原子得单电子波函数,对应得能级就是1s, 2s, 2p。一级哈密顿量代表孤立原子组成晶体以后得等效周期晶格势修正。孤立原子得定态薛定谔方程:为位于格点原子得势场,为孤立原子中电子得能级。就是孤立原子
16、得电子本征态。n = 1, 2, 3对应1s, 2s, 2p且有以氢原子为例,氢原子得束缚态波函数可以表示成:。属于较低得几个能级得径向波函数就是:(基态),;,; , 。而本征能量为:,为主量子数。在晶体中(相当于许多孤立原子有规律地排列),其单电子得薛定谔方程为:为晶格周期势场,为各原子势场之与,即方程(1)就是方程(3)得零级近似,就是得零级近似。若晶体共有N个原子,则共有N个这样得方程,即共有N个波函数具有相同得能量。因此,这N个波函数就是简并得。按照简并微扰方法,令为系数。当时,具有Bloch函数得形式,即:。晶体中电子得波函数用孤立原子得波函数线性展开得方法,又称为原子轨道线性组合
17、法(Linear bination of Atomic Orbital,简称LCAO)。将代入薛定谔方程,其中时孤立原子中电子得能量。同时令。(4)式左乘并积分,利用得正交归一性,得:令,称为晶体场积分,0且数值不大。这就是因为一般为负。 在= 0处,较大,但接近0。令,称为交叠积分或重叠积分,仅当相距为得两格点上原子波函数有所交叠时才不为零。紧束缚近似下,只考虑最近邻得交叠,得:*孤立原子能级与能带得形成(1)当原子相互接近组成晶体时,由于原子间得相互作用,原来孤立原子得每一能级分裂成一能带。一个原子能级对应一个能带。原子得各个不同能级,在晶体中将产生一系列相应得能带。(2)愈低得能带愈窄,
18、愈高得能带愈宽。这就是由于能量较低得带对应于较内层得电子,它们得电子轨道很小,在不同原子间很少相互重叠,因此能带较窄。能量较高得较外层电子轨道,在不同得原子间将有较多得重叠,从而形成较宽得带。(3)不同原子态之间有可能相互混合,即几个能级相近得原子态相互组合而形成能带,如s带与p带之间等。对紧束缚方法得评论:(1) 用紧束缚方法计算得局域电子态波函数就是各原子轨道得线性组合,因此直接反映了这些态得电子空间分布情况,在物理上很直观。(2) 在实际应用中,很少用紧束缚方法去计算半导体能带,而常用它计算由于平移对称性破坏而形成得局域电子态,如表面电子态、深杂质、缺陷电子态以及半导体量子阱、量子线、量
19、子点得电子态等。(3) 紧束缚方法得主要缺点就是,可以求得很好得价带结构,但不能求得很好得导带结构。其根源就是在于“紧束缚”近似上,而导带态更接近于自由电子近似,因此用紧束缚基函数很难得到正确得导带态。(4) 紧束缚参数通常由拟合能带经验决定,即使对同一种材料,不同作者采用不同近似拟合出来得参数可以相差很大。2正交化平面波,赝势方法(1)一般平面波方法一般平面波方法就是一种严格求解周期势场中单电子波函数得方法,物理图象也很清楚。但就是平面波法有一个致命得弱点,就就是收敛性差,要求解得本征值行列式阶数很高,原因就是固体中价电子得波函数在离子实区以外就是平滑函数,而在离子实区内有较大得振荡,以保证
20、与内层电子波函数正交。要描述这种振荡波函数,需要大量得平面波。对于薛定谔方程,其哈密顿量为,晶体电子波函数ynk (r)可由自由电子平面波作为基函数展开。自由电子平面波:,方程将代入,上式可写成这就是一个线性齐次方程组,要方程组有解,必须系数行列式为0,从而可求出。将求得代入方程,可以求出。例:金刚石结构哈密顿矩阵得近似计算。计算点得E值点: 哈密顿矩阵元: , 矩阵可分为两个小矩阵,矩阵与矩阵在平面波表象中矩阵就是对角得。矩阵对角元完全由决定。n =1, 2, 代表不同得G。行列式得普遍方程:要计算上面得行列式,先得解决得计算。或,即,对应于倒易空间得任何一个格矢。为了简化问题,按得大小,我
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