LTI系统的时域频率复频域分析.pptx
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1、1LTILTI系统的描述系统的描述1.1.用用 描述系统描述系统;2.2.用线性常系数微分或差分方程(用线性常系数微分或差分方程(LCCDELCCDE)描述;)描述;3.3.用方框图描述系统(等价于用方框图描述系统(等价于LCCDELCCDE描述);描述);4.4.用系统频率响应用系统频率响应 或系统函数或系统函数21.用单位冲激响应和单位脉冲响应表示用单位冲激响应和单位脉冲响应表示LTILTI系统系统一、一、LTILTI系统时域分析系统时域分析32.用微分和差分方程描述的用微分和差分方程描述的因果因果LTI系统系统一个一个LTI系统的数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系统的数学模型可以
2、用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类系统,就是要求解线性常系数系数差分方程来描述。分析这类系统,就是要求解线性常系数微分微分方程方程或差分方程。或差分方程。对于因果系统,当输入为对于因果系统,当输入为0 0时,输出也为时,输出也为0 0。也就是说对于因果。也就是说对于因果LTILTI系统,其输出的初始状态为零,此时的输出常称为系统的系统,其输出的初始状态为零,此时的输出常称为系统的零状态响应零状态响应。系统分析时,往往不是通过微分系统分析时,往往不是通过微分/差分方程的时域求解,而是差分方程的时域求解,而是通过频域或复频域分析来求解方程。但是对离散通过频域或复频域分析来求解
3、方程。但是对离散LTILTI系统,其系统,其差分方程的时域递归解法在数字滤波器的设计中有非常重要的差分方程的时域递归解法在数字滤波器的设计中有非常重要的应用。应用。4(1 1)线性常系数微分方程)线性常系数微分方程(Linear Constant-Coefficient Differential Equation,LCCDE)均为常数均为常数一阶系统二阶系统5(2 2)线性常系数差分方程)线性常系数差分方程(Linear Constant-Coefficient Difference Equation,LCCDE)一般的线性常系数差分方程可表示为:一般的线性常系数差分方程可表示为:一阶系统二阶
4、系统6对于差分方程,可以将其改写为:对于差分方程,可以将其改写为:可以看出:要求出可以看出:要求出y0,不仅要知道所有,不仅要知道所有xn(-Mn 0),还要,还要知道知道y-1、y-2、y-N,这称为一组初始条件。这称为一组初始条件。对于因果对于因果LTILTI系统系统,若当,若当n0时时,xn=0,则有则有y-1、y-2 y-N都为都为0,于是可以求得于是可以求得y0=b0 x0/a0。进一步,又可以通过进一步,又可以通过y0和x0、x1求得求得y1,依次类推可求出所有依次类推可求出所有yn。由于这种差分方程可以通过递推求解,因而称为由于这种差分方程可以通过递推求解,因而称为递递归方程(归
5、方程(recursive equationrecursive equation)。)。(3 3)线性常系数差分方程的时域递归解法)线性常系数差分方程的时域递归解法7解:8(1 1)离散时间系统离散时间系统 基本单元基本单元:A.加法器加法器 B.放大器放大器(乘以系数乘以系数)C.单位延时器单位延时器一阶差分方程一阶差分方程 :相加 延时 相乘a3.LTI系统的方框图表示系统的方框图表示D9(2)(2)连续时间系统连续时间系统一阶微分方程一阶微分方程 :微分 相加 相乘 基本单元基本单元:A.加法器加法器 B.放大器放大器 C.积分器积分器a10例:写出右图所示系统的差分方程例:写出右图所示系
6、统的差分方程由加法器可写出等式:例:画出由微分方程例:画出由微分方程 所描述的所描述的LTI系统的框图系统的框图将方程写为:依上式可画出系统框图如右图当当系系统统框框图图中中有有多多个个积积分分器器或或延延时时器器时时,就就可可以以描描述述高高阶阶系统,其对应的方程为高阶微分方程或差分方程。系统,其对应的方程为高阶微分方程或差分方程。11例:例:某连续LTI系统的系统框图如下,求系统的微分方程 解解 由图可知第一个和第二个积分器的输入分别为 ,根据加法器的输入输出关系有 所以系统的微分方程为:+3-212例:求下图所示系统的微分方程例:求下图所示系统的微分方程21+-13例:求下图所示系统的差
7、分方程例:求下图所示系统的差分方程xnf nf n-114例:例:某连续LTI系统的系统框图如下,求系统的微分方程 4解解 选图中右端积分器的输出为中间变量f(t),则其输入为f(t),左端积分器的输入为f(t),如图所示。写出左端加法器的输出 右端加法器的输出:所以系统的微分方程为:由(2)可得y(t),y(t)为:15二二.LTI.LTI系统的频域分析系统的频域分析1.LTI系统的频域分析和频率响应系统的频域分析和频率响应 根据卷积特性根据卷积特性,可以对可以对LTI系统进行频域分析系统进行频域分析,其过其过程为程为:1.1.由由2.2.根据系统的描述,求出根据系统的描述,求出3.3.4.
8、4.16从信号分解观点分析从信号分解观点分析对于任意 x(t),可以分解为无穷多特征函数 的线性组合,每一个特征函数对应的系数为频域分析法:也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础频域分析法:也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础上,与时域分析法不同处在于信号分解的基本函数不同。上,与时域分析法不同处在于信号分解的基本函数不同。17 由于由于 的傅氏变换的傅氏变换 就是频率为就是频率为 的复指数信号的复指数信号 通过通过LTI系统时,系统对系统时,系统对输入信号在幅度上产生的影响,所以称为输入信号在幅度上产生的影响,所以称为系统的频系统的频率响应率响应。鉴于鉴于 与与 是一一对应的,因而是一
9、一对应的,因而LTI系统可以由其频率响应完全表征系统可以由其频率响应完全表征。仅当仅当LTI系统是稳定系统时,即:系统是稳定系统时,即:其频率响应其频率响应 存在存在18-幅频特性幅频特性(幅频响应)(幅频响应)-相频特性相频特性(相频响应)(相频响应)系统的输出响应系统的输出响应y(t)令:令:19对对LCCDE两边进行傅立叶变换:两边进行傅立叶变换:由于由于 故有:故有:2.由由LCCDE描述的因果描述的因果LTI系统的频域分析系统的频域分析可见由可见由LCCDELCCDE描述的因果描述的因果LTI LTI 系统其系统其频率特性是一个有理函数频率特性是一个有理函数。由由 做反变换,可以求得
10、做反变换,可以求得对有理函数求傅立叶反变换通常采用对有理函数求傅立叶反变换通常采用部分分式展开部分分式展开和和利用常用利用常用变换对变换对进行。进行。20例:描述一因果例:描述一因果LTI系统的微分方程为:系统的微分方程为:求系统的频率响应,并求求系统的频率响应,并求 时系统的响应时系统的响应解:系统方程两边作解:系统方程两边作FTx(t)为单边指数函数,其为单边指数函数,其FT为为系统的频率响应函数系统的频率响应函数由傅里叶逆变换求由傅里叶逆变换求y(t)21例:例:可见,可见,对对由微分方程所描述的系统通过求频率由微分方程所描述的系统通过求频率响应可以方便地求出其单位冲激响应。响应可以方便
11、地求出其单位冲激响应。22解法一:时域递归解法例:描述一离散因果例:描述一离散因果LTI系统的差分方程为:系统的差分方程为:求系统的频率响应求系统的频率响应设 ,则23解法二:频域解法例:描述一离散因果例:描述一离散因果LTI系统的差分方程为:系统的差分方程为:求系统的频率响应求系统的频率响应24例:例:某连续LTI系统的系统框图如下,求系统的单位冲激响应 解解 由傅立叶变换的微分特性首先写出图中各处信号的傅立叶变换,根据加法器的输入输出关系有 所以系统的单位冲激响应为:+-3-23.由由方框图方框图描述的描述的LTI系统的频率特性系统的频率特性25例:求下图系统的频率响应例:求下图系统的频率
12、响应解解 设第2个积分器的输出为w(t),相应的傅立叶变换为 由两个加法器可以写出如下关系式:26互联系统的互联系统的*级联级联:*并联并联:H1(j)H2(j)H1(j)H2(j)27*反馈联结反馈联结:28一个信号所携带的全部信息分别包含在其频谱的模和一个信号所携带的全部信息分别包含在其频谱的模和相位中相位中:LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面系统对输入信号所起的作用包括两个方面:1.改变输入信号各频率分量的幅度;改变输入信号各频率分量的幅度;2.改变输入信号各频率分量的相位。改变输入信号各频率分量的相位。4.无失真传输无失真传输以下内容为第六章的部分内容以下内容为第六章的部分内容
13、29 在工程实际中,不同的应用场合,对幅度失在工程实际中,不同的应用场合,对幅度失真和相位失真有不同的敏感程度,也会有不同真和相位失真有不同的敏感程度,也会有不同的技术指标要求。的技术指标要求。因此,导致信号失真的原因有两种:因此,导致信号失真的原因有两种:1.1.幅度失真:幅度失真:由于频谱的模改变而引起的失真。由于频谱的模改变而引起的失真。2.2.相位失真:相位失真:由于频谱的相位改变引起的失真。由于频谱的相位改变引起的失真。30(1)线性与非线性相位线性与非线性相位 当相位特性仅仅是附加一个线性相移时,只引当相位特性仅仅是附加一个线性相移时,只引起信号在时间上的平移。如连续时间起信号在时
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