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单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,第一章 函数、连续与极限,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第一章,第二节 数列的极限定义与计算,第三节 函数的极限定义与计算,第四节 极限的证明与性质,第五节 两个重要极限,第六节 无穷小的概念与比较,第七节 函数的连续性及其性质,第一节,集合与函数,课 前 导 读,集 合,习惯上，用大写英文字母,表示集合，用小写字母,表示集合的元素,.,2,具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别对象称为集合的元素,.,表示,是集,的元素（读作,属于,），,表示,不是集,的元素（读作,不属于,）,.,集合按照元素的个数分为有限集和无限集,，不含任何元素的集合称为空集，记为,.,一、集合的概念,我们把自然数的全体组成的集合称为,自然数集,，记作,.,由整数的全体构成的集合称为,整数集,，记为,.,用,表示全体有理数构成的,有理数集,，,表示全体实数构成的,实数集,.,显然有,.,注,：,在本书中所讨论的数集除特别说明外均为,实数集,.,1.,集合及其运算,由同时包含于,与,的元素构成的集合（见图,1-2,），称为,与,的,交集,（简称,交,），记作,，即,且,；,由包含于,或包含于,的所有元素构成的集合（见图,1-3,），称为,与,的,并集,（简称,并,），记作,，即,或,；,集合的基本运算有四种：并、交、差、补,.,设,是两个集合,.,图,1-2,图,1-3,1.,集合及其运算,由包含于,但不包含于,的元素构成的集合（见,图,1-4,），称为,与,的,差集,（简称,差,），记作,，即,且,；,特别地，若我们所讨论的问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为,）中进行，,图,1-4,图,1-5,集合,是,的子集,（见图,1-5,），此时称,为,的,余集,（或,补集,），记作,或,.,1.,集合及其运算,关于集合的余集，我们有如下性质,.,性质,1,（对偶性质）设,是一个基本集，,是它的两个子集，则,01,OPTION,02,OPTION,1.,集合及其运算,设,是两个非空的集合，则由有序数对,组成的集合,称为,与,的,直积,.,例如,：,设,即为,面上全体点的集合，,常记作,.,图,1-6,则,，,如图,1-6,所示,.,除了集合的四种基本运算，我们还可以定义两个集合的乘积,.,2.,区间,数集 称为,开区间,，记作,（见图,1-7,），即,和 称为开区间 的,端点,，其中 为左端点，为右端点，且 ，,.,类似地，数集 称为,闭区间,，记作 （见图,1-8,），,图,1-7,设 和 都是实数，且 ，,图,1-8,和 也称为闭区间 的端点，且 ，,.,a,b,x,(,a,b,),a,b,a,b,x,2.,区间,数集 及 称为,半开区间,，分别记作 和,(,见图,1-9,和图,1-10,）,.,以上这些区间都称为,有限区间,，数 称为这些区间的,长度,.,从数轴上看，这些区间是长度为有限的线段,.,图,1-9,图,1-10,a,b,),(,a,b,a,b,x,a,b,x,2.,区间,这些区间在数轴上表示长度无限的半直线，如图,1-11 1-14,所示,.,图,1-11,此外，对于这样的集合：，我们引进记号,（读作正无穷大）及 （读作负无穷大），则可类似的表示无限的半开区间或开区间：,图,1-12,图,1-13,图,1-14,全体实数的集合 也记作 ，它也是无限的开区间,.,a,b,x,a,x,b,x,b,x,3.,邻域,图,1-15,设 与 为两个实数，,且 ，数集 称为点 的,邻域,，记作,，即,，其中 称作 的,中心,，称作 的,半径,.,因此，也就是开区间,.,见图,1-15,，显然，这个开区间以点 为中心，而长度为,.,+,在数轴上，表示点 与点 的距离，,因此点 的 邻域,在数轴上就表示与点 距离小于 的点 的全体,.,由于 等价于 ，,即 ，所以,3.,邻域,有时用到的邻域需要将邻域中心去掉（见图,1-16,），点 的 邻域去掉中心 后，称为点 的,去心,邻域,，记作 ，即,这里 就表示,.,为了方便，有时将开区间 称为 的左邻域，而将开区间 称为,的右邻域,.,如果不强调半径，以点 为中心的任何开区间称为点 的邻域，记作,.,-,+,图,1-16,二、常用函数,(,是常数,),y=x,y,y=x,2,x,1,1,o,y=x,3,(1,1),图,1-17,1.,基本初等函数,当 时，的定义域是 ；,(,),幂函数,:,当 时，的定义域是 ；,当 时，的定义域是,（见图,1-17,）；,当 时，的定义域是,幂函数的最小定义域是,.,(,),对数函数,:,1.,基本初等函数,y,x,1,O,y,x,1,O,(,a,1),(,0,a,1,),图,1-20,图,1-21,当 时，,是,单调减少,函数,(,见图,1-21).,当 时的对数函数记为 ，称为,自然对数函数,.,对数函数 的,定义域,是,其图像位于,轴的右方且通过点,.,当,时，是,单调增加,函数,(,见图,1-20),；,1.,基本初等函数,对数具有以下运算性质：对任意的 ，,（,i,）,（,ii,）,（,iii,）,和 互为反函数，它们的图像关于直线 对称，且有 ，进一步，我们在以后的计算中经常会用到 和,.,1.,基本初等函数,的定义域是 ，值域是 ，最小正周期是,，在定义域上是奇函数（见图,1-24,）；,图,1-24,图,1-25,的定义域是 ，值域是 ，最小正周期是,，在定义域上是奇函数（见图,1-25,）；,-,2,3,x,2,3,x,y,y,1.,基本初等函数,正割、余割函数与余弦、正弦函数的关系式为,1.,基本初等函数,(,),反三角函数,定义,在区间 上的正弦函数的反函数记作 ，,定义域为 ，值域为 ，称为,反正弦函数,(,见图,1-26).,y,2,2,1,1,O,x,图,1-26,1.,基本初等函数,定义,2,在区间 上的余弦函数的反函数记作 ，,图,1-27,定义域为 ，值域为 ，称为,反余弦函数,(,见图,1-27).,y,=,arccos,x,1,1,y,-,1,1,O,x,2.,几类特殊的函数,例,1,函数 ，其中,C,为某确定的常数,.,它的定义域为 ，值域为 ，它的图形是一条平行于,x,轴的直线,(,见图,1-30,),，这个函数称为,常数函数,.,O,x,y,图,1-30,例,2,函数 的定义域为 ，值域 ，它的图形如图,1-31,所示，这个函数称为,绝对值函数,.,O,x,y,x,y,=,图,1-31,2.,几类特殊的函数,例,3,函数 的定义域为 ，值域 ，它的图形如图,1-32,所示,这个函数称为,符号函数,.,x,y,1,O,y,=,sgn,x,-1,图,1-32,2.,几类特殊的函数,例,4,设 为任一实数，,比如，,-2,-1,0,1,2,3,-1,-2,1,2,y=,x,x,y,图,1-33,函数 的定义域为 ，值域为整数集 ，它的图形如图,1-33,所示,.,不超过 的最大整数称为 的整数部分，记作,.,可以看出，它的图形在 的整数值处出现跳跃，而跃度为，,这个函数称为,取整函数,.,一般地，有,，当,2.,几类特殊的函数,在例、例 等例子中看到，有时一个函数要用几个式子表示，这种自变量在不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数称为,分段函数,.,分段函数在实际问题中经常出现，我们应重视对它的研究,.,2.,几类特殊的函数,例,5,函数,是一个分段函数,它的定义域,.,当 时，对应的函数值 ；,当 时，对应的函数值,.,它的图形如图,1-34,所示,.,例如 ，则 ；,，则,.,y,y=f,(,x,),y=x-,1,1,O,1,y=x,3,x,1,图,1-34,3.,初等函数,我们把由常数和基本初等函数经过,有限次,的四则运算和,有限次,函数复合所构成的，并可以用一个算式表示的函数统称为,初等函数,.,例如 都是初等函数，本书中讨论的函数基本上都是初等函数,.,3.,初等函数,例,6,设 ，求 和,.,解,01,OPTION,02,OPTION,03,OPTION,3.,初等函数,例,求函数 的定义域,.,解,所给函数由 复合而成,.,从而 ，,的定义域是 ，,因此，函数 的定义域为,.,即 ，,解这个关于 的不等式，得 ，,3.,初等函数,例,8,设 的定义域是 ，求 的定义域,.,解,函数,由 复合而成,.,因为,的定义域为 ，,因此，开区间,的并即为,的定义域,.,即,.,故必有,的值域是 ，,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第一章,第一节 集合与函数,第三节 函数的极限定义与计算,第四节 极限的证明与性质,第五节 两个重要极限,第六节 无穷小的概念与比较,第七节 函数的连续性及其性质,第二节 数列的极限定义与计算,课 前 导 读,35,数列,:,我们把这无穷多个数排成的序列称为数列，其中 称为数列的首项，称为数列的第,n,项，或称为数列的一般项,(,通项,).,等差数列,:,公差 ，通项公式为 ，前,n,项求和公式为,.,等比数列,:,公比 ，通项公式为 ，前,n,项求和公式为,.,一、数列极限的概念,一尺之棰，日取其半，万世不竭,.,庄子,天下篇,一尺长的木棍，每天截掉一半，每天截取的长度按照天数可排成一个数列,:,.,数列极限的引入,数列的通项为 ，,当,无限增大,(,记作 ，读作 趋于无穷大,),时，,在数学上称这个确定的数,0,是数列 当 时的,极限,.,无限接近一个确定的数,0,.,.,数列极限的引入,解决实际问题时，经常用到极限方法,.,极限方法作为高等数学中的一种基本方法，很有必要做进一步详细的讨论,.,先看下面的 个数列,.,，,，,，,，,，,;,，,，,，,，,，,;,，,，,，,，,，,;,，,，,，,，,，,;,（,2,）,（,1,）,（,4,）,（,3,）,它们的一般项依次为,，,，,，,.,.,数列极限的引入,在几何上，数列,可看作数轴上的一个动点，如图,1-35,所示，,它依次取数轴上的点 ，,x,3,x,2,x,1,x,4,x,5,x,6,x,n,x,图,1-35,按函数的定义，数列,可看作自变量为正整数 的函数，即 ，,它的定义域是全体正整数，当自变量 依次取 时，对应的函数值就排列成数列,.,.,数列极限的引入,现在我们所关心的问题是,:,(,),给定一个数列后，该数列的变化趋势如何？,随着 的,无限增大,，能否,无限接近,某个常数,?,(,),如果能无限接近某个确定的数，则该常数是多少,?,数列,(,),的一般项,将,无限接近,于常数,1.,可以看出，在前面所列的,4,个数列中，当 时，,数列,(,),的一般项 将,无限接近,于常数,0.,而数列,(,),的一般项 却在,无限增大,，它不接近于任何确定的数值,.,数列,(,),的一般项 始终交替地取值为,1,和,-1,，不接近于任何确定的数值,.,据此，我们可以认为，数列,(,),和,(,),是“有极限”的，,而数列,(,),和,(,),是“,无极限,”的,.,.,数列极限的引入,从上述各例观察可以看到，数列的一般项变化趋势有两种情况,:,无限接近于某个确定的常数和不接近于任何确定的常数,.,这样就可以得到数列的描述性定义,.,如果当数列,的项数 无限增大时，,它的一般项 无限接近于一个确定的常数 ，,记作 或,则称 为数列,的,极限,.,此时也称数列,收敛,于 ，,例如，,.,.,数列极限的引入,如果当数列,的项数 无限增大时，,它的一般项 不接近于任何确定的常数，则称数列,没有极限，或称数列,发散,，,习惯上记作 不存在,.,例如，不存在,.,例如,.,当数列,的项数 无限增大时，如果 也无限增大，,则数列,没有极限,.,此时，习惯上也称数列,的极限是,无穷大,，,记作,.,，,2.,数列极限的定义,在上述极限的描述性定义中，我们都是用“无限增大”和“无限接近”来描述极限概念的,.,为了给极限一个精确的定义，关键是要给予“,无限增大,”和“,无限接近,”以定量的刻画,.,一般来说，两个数,a,、,b,的接近程度可用,b-a,来度量,.,我们以数列 为例,.,2.,数列极限的定义,考虑 ，显然，越大，就越“接近”,1.,这个数,1,就是 的极限,.,只要 足够大，,就可以小于任何给定的正数,.,这时 ，,均能使不等式,成立,.,如果要求 ，即 ，只要 ，,这时 ，,均能使不等式 成立,.,同样，如果要求 ，,即 ，只要 ，,一般地，不论给定的正数,多么小，,总存在一个正整数 ，,使得对于,时的一切 ，,不等式,均成立，,这就是数列,当 时无限“接近”于,1,的精确刻画，,2.,数列极限的定义,设 为一数列，,定 义,如果这样的常数 不存在，就称数列没有极限，或称数列,发散,.,，或,.,或者称数列,收敛,于 ，记作,如果存在一个,常数,，,对于,任意给定,的正数 ，,总,存在,一,个正整数 ，,使得对于,时的一切 ，不等式,均成立，,则称常数,是数列,的极限，,2.,数列极限的定义,我们用“”表示“任意的”，用“”表示“存在”，就可以用更简洁的语言来描述数列的极限,.,如果,，当,时，恒有 ，则,.,注,(,),定义中，,刻画了 和 的接近程度，的“,任意,”性极其重要,.,只有这样，,才能体现 和 的“,无限接近,”；,(,),正整数 与任意给定的正数,有关,.,对于给定的,，相应的,不是唯一,的，即只要其存在，并没有要求其达到最小；,(,),由定义也可看出，的极限是否存在仅与它的,发展趋势,有关,.,只要从某项 开始，,即可，与前有限项的变化无关,.,若在数轴上标出 ，,，,及 ，,2.,数列极限的定义,下面给出“数列,的极限为 ”的几何解释,.,数列极限几何解释,再作 的,邻域,(,见图,1-36),，,就会发现，当,时，点 均落在 内，至多有有限个,(,个,),落在,外,.,a-,2,a+,图,1-36,2.,数列极限的定义,例,已知 ，证明,.,必须指出，数列的定义可用于验证 是数列,的极限，但却无法用于求极限,.,要使,证明,，,即 ，,故数列,的极限为,0,，,取 ，,则当,时，恒有 ，,即,2.,数列极限的定义,例,2,已知 ，证明,.,证明,即 ，,由例,2,的证明可以发现：对于任意的 ，都有,.,请感兴趣的读者自行证明,.,(,不妨设 ，想想为什么可以这样假设,.),要使,恒有 ，,等式两端同时取对数，,从而 ，,取 ，,则当,时，,故数列,的极限为,0,，,即,二、数列极限的计算,极限的定义只能用来验证极限，而不能计算数列的极限，所以下面给出数列极限的运算法则,.,定理,(,数列极限的运算法则,),若 ，则,；,(,加减法则,),（,1,）,；,(,乘法法则,),（,2,）,；,(,交换法则,),（,3,）,；,(,除法法则,),（,4,）,定理的证明见第一章第四节,.,二、数列极限的计算,例,3,求下列函数的极限：,（,1,）,（,3,）,（,5,）,（,2,）,（,4,）,（,6,）,二、数列极限的计算,解,(,),将分子、分母,同时除以,，则有,（,1,）,题,二、数列极限的计算,（,2,）利用等差数列,求和公式,，可得,解,（,2,）,题,二、数列极限的计算,解,（,3,）,（,3,）,题,利用数列的,交换法则,，可得,（,4,）,二、数列极限的计算,题,（,4,）,解,二、数列极限的计算,解,（,5,）,（,5,）,题,先将分子,有理化,，再利用数列极限的运算法则，可得,二、数列极限的计算,题,（,6,）,（,6,）,解,利用等比数列,求和公式,，可得,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第一章,第一节,集合与函数,第二节 数列的极限定义与计算,第四节 极限的证明与性质,第五节 两个重要极限,第六节 无穷小的概念与比较,第七节 函数的连续性及其性质,第三节 函数的极限定义与计算,课 前 导 读,58,这一节介绍函数极限的定义,.,在前一节，我们探讨了数列的极限,.,数列的通项可以看成一类特殊的函数 ，,本节将介绍自变量趋于无穷大（）和自变量趋于固定值,（）时的两种函数的极限,.,那么数列极限就变成了 ，这里,.,如果我们把函数的定义域扩充到 ，那么就变成了函数的极限,.,一、自变量趋于无穷大时的极限,一般地，我们假设函数,在,(,为某一正数,),时有定义，,，或,.,定义,如果在,过程中，对应的函数值,无限接近,确定的常数 ，,则称 为函数,当 时的,极限,.,精确地说，就有如下定义,.,设函数,当 大于某一正数时有定义，,如果存在常数 ，,对,于任意给定的正数,(,不论它多么小,),，,总存在正数 ，使得当 满足不等式,时，,对应的函数值 都满足不等式 ，,则 就叫作函数,当 时的,极限,，记作,一、自变量趋于无穷大时的极限,定义 也可简述为以下形式,.,若 ，,，当,时，恒有,，则,.,如果 ，,，当,时，恒有 ，则,.,同样，我们也可以定义当 时的函数,的极限,.,若,且 ，,当,且,时，我们就得到 时的函数,的极限定义,.,即 时，,有 ，,或记为 ，,如果 ，当,时，恒有 ，则,.,即,一、自变量趋于无穷大时的极限,下面看一下极限,的几何解释,.,对任意给定的 ，作直线,及 ，,总存在 ，,当,时，,的图形必位于这两直线之间（见图,1-39,）,.,-X,o,X,x,y,A,函数极限的几何,解释,(,趋于无穷大,),图,1-39,一、自变量趋于无穷大时的极限,显然可以得到下面的结论,.,定理,且,.,注,一般地，如果,或 ，,同理，不存在，因为,.,很容易看出，,.,直线 称为函数 图形的水平渐近线,.,直线 和 称为函数 图形的水平渐近线,.,那么称直线 为函数,图形的水平渐近线,.,一、自变量趋于无穷大时的极限,例,证明,.,证明,对 ，要使,，,只需,，,即 ，,即,恒有 ，,取 ，,则当 时，,二、自变量趋于有限值时的极限,所谓“,无限接近于确定的数值”，,实质上等价要求,能任意小，,这“任意小”又可用,(,其中,为任给的正数,),来刻画,.,而,意小”是在 的过程中实现的，,又由于这“任,也就是仅要求 充分接近 时，使,就行了,.,二、自变量趋于有限值时的极限,综上所述，得到 时函数极限的定义,.,定义,2,或,.,定义,2,也可简述为,，当 时，恒有 ，那么,.,记作,设函数,在点 的某一去心邻域内有定义，,如果存在常数 ，,于,任意给定,的正数,(,不论它多么小,),，,对,总,存在,正数 ，,使得当 满足不等式,时，,对应的函数值,都满足不等式 ，,则称 为函数,在 时函数的,极限,，,注,这里 与 、有关,.,二、自变量趋于有限值时的极限,的几何解释如下,.,任意给定一正数 ，作平行于 轴的两直线,:,及,.,存在 ，当 时，曲线,位于两条直线,及,之间,(,见图,1-42).,x,O,A,函数极限的几何,解释,(,趋于定点,),图,1-42,二、自变量趋于有限值时的极限,例,证明,.,证明,要使,只要取 ，,，,这个例子告诉我们，当 时的极限值这一点的函数值,.,比如当,时 的极限值就是,2,.,因此,.,则当 时，有 ，,二、自变量趋于有限值时的极限,例,4,证明,.,证明,，要使,即,，,又要求 ，即 ，,注,同样的方法可以证明,.,（这个结论可以推广到更一般的 次根式）,取 ，,则当 时，恒有,.,二、自变量趋于有限值时的极限,上述,中的“”是指 可以取 左侧的点,(),而趋于 ，也可以取 右侧的点,(),而趋于,.,有时我们只需考虑 从 的一侧,(,左侧或右侧,),趋于 ，这时就需要将上述情况分别讨论,.,如果 仅从 的,左侧趋于,(,记作,),时，,趋于 ，则称 为,在 时的,左极限,，记作,.,如果 仅从 的,右侧趋于,(,记作,),时，,趋于 ，则称 为,在 时的,右极限,，记作,.,显然有,.,因此如果 、中有一个不存在，或两个虽存在但不相等，则 不存在,.,二、自变量趋于有限值时的极限,例如，函数,由于 ，,y,y=x,-1,y=x,+1,-,1,-,1,1,1,x,O,则 不存在（见图,1-43,所示）；,图,1-43,，,，,再比如，不存在，因为,.,三、函数极限的计算方法,极限的定义只能用来验证函数的已知极限，那么如何计算,(,求,),函数的极限呢？,要讨论极限的求法，首先要建立相关的一些运算规则，比如极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等,.,三、函数极限的计算方法,定理,(,函数极限的四则运算法则,),设 ，则,定理 的证明见第一章第四节,.,（,1,）,（,2,）,（,3,）,三、函数极限的计算方法,推论,若,，存在，,则,上述极限中将“”改为“”，结论仍然成立,.,（证明过程有所差别）,（,1,）,（,2,）,（,3,）,；,若 ，则,.,；,三、函数极限的计算方法,按照四则运算法则，我们很容易计算下列极限,.,（,1,）,（,3,）,（,2,）,三、函数极限的计算方法,注,（,1,）设 ，则,三、函数极限的计算方法,（,2,）设 ，其中 、为多项式，则,三、函数极限的计算方法,例,5,求,.,解,因为 ，即分母的,极限为零,，所以不能直接应用极限运算法则,.,我们先利用多项式的,因式分解,，约去公因式后，再利用函数极限的四则运算法则进行运算,.,三、函数极限的计算方法,例,计算,解,因分母的,极限为零,，要先对函数做必要的变形，因分子中含有根式，通常用,根式有理化,，然后约去分子、分母中的公因子,.,三、函数极限的计算方法,定理,(,复合函数的极限运算法则,),设函数,是由函数,与,复合而成的，在点 的去心邻域内有定义，,若 ，,，且存在 ，当 时，有 ，则,三、函数极限的计算方法,例,7,求极限,.,解,记 ，,由于 ，,故,.,三、函数极限的计算方法,例,8,求极限,.,由于 ，故,解,记 ，,三、函数极限的计算方法,例,9,求极限,.,解一,解二,故原式,令,则当 时，,三、函数极限的计算方法,例,10,(,),求极限 ；（,2,）求极限,.,解,（,1,）当 时，分母 的极限为零，故不能直接应用商的极限运算法则,.,但若采取将分母有理化，即将分子与分母同时乘 ，则得,（,2,）当 时，分子与分母都没有极限，,极限运算法则，,故也不能直接应用商的极,需先将分子、分母同时除以,.,三、函数极限的计算方法,例,11,已知,求 之值,.,解,因,故,解得,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第一章,第一节,集合与函数,第二节 数列的极限定义与计算,第三节 函数的极限定义与计算,第五节 两个重要极限,第六节 无穷小的概念与比较,第七节 函数的连续性及其性质,第四节 极限的证明与性质,课 前 导 读,88,这一节介绍数列及函数极限性质，读者可以深入理解和熟悉极限的定义，同时为引入新的极限计算方式打下基础,.,本节可作为对极限要求较高的专业的选学内容,.,一、利用极限定义证明,例,2,证明,.,证明,，要使,即,即,，,恒有,取 ，,则当 时，,一、利用极限定义证明,例,3,证明,.,证明,，要使,只要 ，,取 ，,则当 时，有,二、数列极限的性质,定理,(,极限的唯一性,),数列,不能收敛于两个不同的极限,.,证明 （反证法）假设同时有 及 ，,由 可知，,由 可知,，,取 ，当,时，同时成立，矛盾,.,因此，数列 不能收敛于两个不同的极限,.,取,.,不妨设 ，,恒有,，,当,时，,，,恒有,当,时，,二、数列极限的性质,定理,2(,收敛数列的有界性,),如果数列 收敛，则该数列一定有界,.,证明,不妨设 ，,数列,有界是指存在 ，使一切 满足,.,因此，取 ，,如果数列无界，则其一定发散；,则 任何,，有,.,则 ，,当,时，,恒有,.,取 ，,即数列,有界,.,则对一切 ，均有 ，,数列,有界，但发散,.,如果数列有界，则其未必收敛,.,例如，,二、数列极限的性质,定理,4,如果数列,收敛于 ，,证明,由数列 收敛于 ，则,在数列,中任意抽取无限项并保持这些项在原数列,中的先后次序，,取 ，,故子数列,也收敛于,.,，当,时，恒有,.,则当,时，,，,，,有,到的一个新数列称为,的,子数列,(,子列,),，记作,.,由此得,则它的子数列,也收敛于,.,二、数列极限的性质,由定理 可以得到，若数列,的某个子列发散或某两个子列收敛于两个不同的数值，则数列,必发散,.,可以证明,:,若数列,的奇数子列,和偶数子列,均收敛于 ，则数列,收敛且极限为 ，反之亦然,.,例如，,的奇数子列,收敛于 ，偶数子列,收敛于，可知数列,发散,.,三、函数极限的性质,我们仅就 的情况给出性质,.,定理,(,函数极限的唯一性,),如果,存在，那么该极限唯一,.,证明过程与数列极限的唯一性的证明相似，略,.,三、函数极限的性质,定理（函数极限的局部有界性）,如果 ，那么存在常数,和 ，使得当,时，有,.,证明,设 ，则,记 ，,取 ，则,，当,时，恒有,.,则,.,三、函数极限的性质,定理,7(,函数极限的局部保号性,),如果 ，且,(,或,),，那么存在 ，使得当,时，有,(,或,).,证明,则,同理可证 情形,.,恒有,.,则 ，,当,时，,三、函数极限的性质,推论,如果 （），那么存在 ，使得当,时，有,.,推论,如果函数,满足,:,存在 ，使得当,时，,(,或,),，且 ，那么必有,(,或,).,从定理 的证明中可知，在其条件下，还可有更强的结论,:,同时有下述结论,.,证明,(,反证法,),略,.,三、函数极限的性质,定理,(,函数极限与数列极限的关系,),若 存在,，,为,的定义域内的任一收敛于 的数列，且 ，则,收敛，且,.,证明 设 ，则,故 ，当,时，恒有 ，,又 ，,对上述 ，当,时，恒有,.,从而有,.,进而得到,.,，当,时，恒有,.,则,即 ，,且 ，,三、函数极限的性质,注,根据本定理，可知取一数列 ，若,的极限不存在，则,不存在，,或取两数列 ，若,与,的极限不相同，则 不存在,.,因此，函数 当 时极限不存在,.,三、函数极限的性质,例,证明函数,当 时极限不存在,(,见图,1-44).,图,1-44,证明,取 ，,取 ，,，,.,四、极限运算法则的证明,定理,(,数列极限的运算法则,),若 ，则,（,1,）,；（,加减法则,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,；（,乘法法则,）,；（,交换法则,）,；（,除法法则,）,四、极限运算法则的证明,定理,10 (,函数极限的四则运算法则,),设 ，则,（,1,）,我们仅证明,(,).,（,2,）,（,3,）,从而,.,因此，取 ，当,时，,及,同时成立，,四、极限运算法则的证明,定理,11(,复合函数的极限运算法则,),设函数,是由函数,与,复合而成的,.,在点 的去心邻域内有定义，若,，且存在 ，当,时，有 ，则,.,证明,对于 ，,又 ，,则,.,由于 ，,故 ，当,时，,恒有,则对上述 ，当,时，恒有,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第一章,第一节,集合与函数,第二节 数列的极限定义与计算,第三节 函数的极限定义与计算,第四节 极限的证明与性质,第六节 无穷小的概念与比较,第七节 函数的连续性及其性质,第五节 两个重要极限,课 前 导 读,110,这一节介绍两个重要极限的计算方法,.,在正式介绍极限之前，我们需要回忆一下三角函数的相关公式及二项式定理,.,半角公式：,倍角公式：,课 前 导 读,111,和差化积公式：,二项式定理：,在介绍两个重要极限之前，需要先介绍两个推导重要极限的,夹逼准则,和,单调有界收敛准则,.,一、夹逼准则,准则,如果数列,、,及,满足,（,1,），当 时，；,（,2,），,证明,，,因此，,那么数列 的极限存在，且,又由 ，,即 ，故,.,由 可知，,，当 时，恒有 ，,.,即,，当 时，恒有,，即,取 ，当 时，,有,一、夹逼准则,利用数列收敛的夹逼准则，可以计算某些数列的极限,.,即有,解,设 ，,例,1,我们需要先对数列,则可知 为 项之和,.,的通项进行,适当,的“,放缩,”,.,因为 ，,由夹逼准则得,一、夹逼准则,准则,可以推广到函数的极限,.,准则,如果函数 ，,满足,:,(,),当,（或 ）时，；,(,),，,(,见图,1-45),则 存在，且,.,图,1-45,准则,的证明留作习题,.,一、夹逼准则,例,2,已知 ，证明,.,解,由于 ，,由准则,1,可得,，,且,，,一、夹逼准则,例,3,求极限,解,当 时,，,.,因此，当 时,，,由夹逼定理可得 ，,当 时，有 ，,由夹逼定理可得 ，,.,从而,1,二、第一重要极限,观察正弦函数的图像,(,见图,1-46),，可知当 时，那么这两个函数的比值 的极限是否存在,?,结果如何,?,图,1-46,-1,因为,二、第一重要极限,上式若用“”代替“”，则上式形式不变，表明 时，上式仍成立,.,，,且当,时，,由函数夹逼准则,得,，,故,.,，由夹逼定理可得,.,二、第一重要极限,（,1,）,我们由第一重要极限很容易得到下列结果,(,可以作为公式使用,).,；,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,；,；,（当 时 ）；,（当 时 ）；,二、第一重要极限,例,计算下列极限：,（,1,）；（,2,）；,解,(,),令 ，,（,3,）；（,4,）；,当 时，,因此,二、第一重要极限,题,（,2,）；,(2),解,可得,可以先变形为 ，,再由 时 ，,二、第一重要极限,题,（,3,）,利用二倍角公式 可得,(3),解,二、第一重要极限,解,(,),利用和差化积公式可得,题,（,4,）,注,最后一个等号应用了结论,.,三、单调有界收敛准则,如果数列 满足条件,，,在讨论数列极限的性质时曾指出，收敛数列必有界，但有界数列未必收敛，,则称数列 是,单调增加,的；,如果数列 满足条件,，,则称数列 是,单调减少,的；,单调增加或单调减少的数列简称,单调数列,.,收敛准则,.,有界是数列收敛的必要条件，但如果是单调有界数列呢？,这就得到了单调有界,三、单调有界收敛准则,准则单调有界数列必有极限,.,(,),如果数列,单调减少且有下界，即存在数 ，使得,，,那么 必存在,(,且极限,).,(,),如果数列,单调增加且有上界，即存在数 ，使得,，,那么 必存在,(,且极限,).,如果详细地说，则有下列性质,.,三、单调有界收敛准则,对准则 我们不予证明，仅给出其几何解释,.,在数轴上看,(,见图,1-48),，,图,1-48,x,1,由于数列,为单调的，故对应数列的点 只可能向一个方向移动,(,单调增加数列只向右方移动，单调减少数列只向左方移动,),，,这样，只能使数列,趋于某个确定的值，也就是数列的极限,.,或移向无穷远处，或趋于某个确定的值,.,所以只有两种可能,:,点,无穷，,但又由于数列有界，因此数列不能趋于,三、单调有界收敛准则,例,5,设 根式,),，证明数列 的极限存在，并求出极限,.,因为 ，,从而 存在，设,.,证明,由 的表达式可知,由递推关系 得,.,即 ，,解得,所以,因此可知 是单调递增的,.,所以,是有界的,.,假定 ，,则 ，,等式两边取极限，故,四、第二重要极限,现在我们利用单调有界收敛准则来讨论另一个重要极限,:.,类似地，,设 ，利用,二项式定理,，则有,比较 与 ，则有 ，即 单调增加，,先考虑,，且,时的情形,.,四、第二重要极限,又由,即 有上界，因此由单调有界定理知 存在，,得,不妨记,四、第二重要极限,设 为实数，,由,当,时，则有 ，因此,则由夹逼准则得,.,并注意到 ，,四、第二重要极限,当 时，,由 及 ，,令 ，,则当 时，因此,则得,.,四、第二重要极限,我们还可以得到第二重要极限的另一种形式,.,利用代换 ，则当 时，于是有,习惯上写作,性质,如果 ，那么,.,四、第二重要极限,例,6,求下列函数的极限,:,（,1,）；（,2,）；,（,3,）；（,4,）；,（,5,）；（,6,）,.,四、第二重要极限,解,(,),利用重要极限,求极限，要注意函数指数中变量 与底数中变量 是相同的,正负号也相同，且自变量,（,II,）适当变形：,本题 ，底数中变量为,指数中变量是,两者相差一个负号，求解时，可按下述两种方法之一计算,.,（,I,）做变换：令 ，当 时，于是,题,(,),；,.,四、第二重要极限,（,2,）,题,（,2,）；,题,（,6,）,.,题,（,3,）；,题,（,4,）；,题,（,5,）；,解,（,3,）,解,（,4,）,解,（,5,）,解,（,6,）,解,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF2